數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，在本章中，學(xué)生將通過對日常生活中大量實際問題的分析，建立等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型，探索并掌握它們的一些基本數(shù)量關(guān)系，感受這兩種數(shù)列模型的廣泛應(yīng)用，并利用它們解決一些實際問題。
一、內(nèi)容與課程學(xué)習(xí)目標(biāo)
本章的主要內(nèi)容是數(shù)列的基本概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列以及它們的一些基本數(shù)量關(guān)系。通過本章學(xué)習(xí)，要使學(xué)生達(dá)到如下學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1．通過日常生活中的實例，了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)．
2．通過實例，理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念；探索并掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和的公式；能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題．體會等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．
二、內(nèi)容安排
本章共有五節(jié)內(nèi)容，教學(xué)時間約需12課時，具體安排如下(僅供參考)：
2．1數(shù)列的概念與簡單表示法 約2課時
2．2等差數(shù)列 約2課時
2．3等差數(shù)列的前n項和 約2課時
2．4等比數(shù)列 約2課時
2．5等比數(shù)列的前n項和 約2課時
小結(jié)與復(fù)習(xí) 約2課時
本章的知識結(jié)構(gòu)如下：
1．本章是通過對一般數(shù)列的研究，轉(zhuǎn)入對兩類特殊數(shù)列──等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及前n項求和公式的研究的。教科書首先通過三角形數(shù)、正方形數(shù)的實例引入數(shù)列的概念，然后將數(shù)列作為一種特殊函數(shù)，介紹了數(shù)列的幾種簡單表示法（列表、圖象、通項公式）。作為最基本的遞推關(guān)系──等差數(shù)列，是從現(xiàn)實生活中的一些實例引入的，然后由定義入手，探索發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的通項公式。等差數(shù)列的前n項和公式是通過的高斯算法推廣到一般等差數(shù)列的前n項和的算法。與等差數(shù)列呈現(xiàn)方式類似，等比數(shù)列的定義是通過細(xì)胞分裂個數(shù)、計算機病毒感染、銀行中的福利，以及我國古代關(guān)于“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”問題的研究探索發(fā)現(xiàn)得出的，然后類比等差數(shù)列的通項公式，探索發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列的通項公式，接著通過實例引入等比數(shù)列的前n項求和，并用錯位相減法探索發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列前n項求和公式。最后，通過“九連環(huán)”問題的閱讀與思考以及“購房中的數(shù)學(xué)”的探究與發(fā)現(xiàn)，進一步感受數(shù)列與現(xiàn)實生活中的聯(lián)系和具體應(yīng)用。
2．人們對數(shù)列的研究有的源于現(xiàn)實生產(chǎn)、生活的需要，有的出自對數(shù)的喜愛。教科書從三角形數(shù)、正方形數(shù)入手，指出數(shù)列實際就是按照一定順序排列著的一列數(shù)。隨后，又從函數(shù)的角度，將數(shù)列看成是定義在正整數(shù)集或其有限子集上的函數(shù)。通過數(shù)列的列表、圖象、通項公式的簡單表示法，進一步體會數(shù)列是一種函數(shù)，是刻畫離散過程的一種重要數(shù)學(xué)模型。
教科書的這種編排和呈現(xiàn)方式，一方面可以讓學(xué)生體會數(shù)列是一種特殊函數(shù)，加深對函數(shù)概念和性質(zhì)的理解，對數(shù)列的本質(zhì)有清晰的認(rèn)識和把握；另一方面，通過數(shù)列概念引入以及數(shù)列應(yīng)用的過程，體會數(shù)列問題的實際應(yīng)用，提高對本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)興趣，為下面將要開始的有關(guān)等差數(shù)列與等比數(shù)列的學(xué)習(xí)做好鋪墊。
3．等差數(shù)列在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用，并且大量存在于學(xué)生周圍．教科書首先從學(xué)生熟悉的四個實例入手，引出了等差數(shù)列的概念，并且結(jié)合實例（襯衫的尺碼）對等差數(shù)列作了說明。隨后由等差數(shù)列的概念導(dǎo)出等差中項的概念，然后推導(dǎo)出了等差數(shù)列的通項公式。
這種通過對日常生活中大量實際問題的分析、建立等差數(shù)列模型的過程，加強了對等差數(shù)列基本概念、性質(zhì)的理解，初步培養(yǎng)了學(xué)生運用等差數(shù)列模型解決問題的能力。
用函數(shù)觀點去看等差數(shù)列，可以幫助學(xué)生理解等差數(shù)列的本質(zhì)：是在特殊定義域上的一次函數(shù)，通項公式就是這個特殊函數(shù)的解析式．2.2節(jié)例3和探究題注意到了等差數(shù)列與一次函數(shù)（包括代數(shù)式和圖像）之間的聯(lián)系。
另外，有關(guān)等差數(shù)列的概念、通項公式的推導(dǎo)都是由歸納得到，對培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、探索歸納能力提供了很好的素材。
4．對等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)及應(yīng)用，體現(xiàn)了特殊到一般、一般到特殊的思想：
教科書是從求1+2+3+…+100的高斯算法出發(fā)，并以1+2+3+…+n求和為過渡，目的是為了讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列任意的第k項與倒數(shù)第k項的和等于首項、末項的和這個規(guī)律。教科書給出的探究題就是為了讓學(xué)生在前面基礎(chǔ)上，把數(shù)列1+2+3+…+n內(nèi)在的這種規(guī)律性推廣到一般的等差數(shù)列，獲得一般的等差數(shù)列求和思路。2.3節(jié)的例1突出了等差數(shù)列求和公式的實際應(yīng)用；例3強調(diào)了等差數(shù)列前n項和公式與二次函數(shù)之間的關(guān)系，探究題是為了進一步認(rèn)識等差數(shù)列前n項和公式是一個常數(shù)項為0的二次函數(shù)，例4是對等差數(shù)列前n項和公式性質(zhì)（二次型）的一個應(yīng)用。從特殊到一般，可以幫助學(xué)生獲取一般等差數(shù)列求和思路；從一般到特殊，可以使學(xué)生應(yīng)用等差數(shù)列求和公式解決一些實際問題，使其來于實際，用于實際。
5.與等差數(shù)列類似，等比數(shù)列概念的引入也是通過日常生活中的實例抽象出了等比數(shù)列的模型。2.4節(jié)所列的4個背景實例和所傳達(dá)的思想為：
1. 細(xì)胞分裂模型
生命科學(xué)中的數(shù)列模型；類似的有人口增長的模型
2.《莊子》中“一尺之棰”的論述
中國古代學(xué)者的極限思想
3. 計算機病毒的傳播
計算機科學(xué)中的數(shù)列模型；計算機病毒的危害；
“指數(shù)爆炸”的例子
4. 儲蓄中復(fù)利的計算
日常經(jīng)濟生活中的數(shù)列模型
6.“為什么要求等比數(shù)列的前n項和呢”？2.5節(jié)開篇用諾貝爾獎金的計算問題——從獎金開始發(fā)放的第一年（1897）到今年（2004）所發(fā)放獎金的總額來引入了這個問題。等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)采用了“錯位相減”的方法，其中體現(xiàn)了等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)、方程、程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)等內(nèi)容的前后聯(lián)系。本節(jié)課后有關(guān)“九連環(huán)”的閱讀與思考，進一步體現(xiàn)了從具體問題中抽象出數(shù)列模型，借助數(shù)列的相關(guān)知識解決問題的思想。
三、編寫中考慮的幾個問題
1．體現(xiàn)“現(xiàn)實問題情境——數(shù)學(xué)模型——應(yīng)用于現(xiàn)實問題”的特點
數(shù)列作為一種特殊函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型。教科書通過日常生活中大量實際問題（存款利息、放射性物質(zhì)的衰變等）的分析，建立起等差數(shù)列與等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型。通過探索和掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的一些基本數(shù)量關(guān)系，進一步感受這兩種數(shù)列模型的廣泛應(yīng)用，并利用它們解決了一些實際問題。教科書的這一編寫特點，可由下面圖示清楚表明：
數(shù)列：三角形數(shù)、正方形數(shù) 數(shù)列概念 數(shù)列的三種表示 回歸到實際問題（希爾賓斯基三角形、斐波那契數(shù)列、銀行存款等）
等差數(shù)列：4個生活實例 等差數(shù)列概念 等差數(shù)列通項公式 等差數(shù)列基本數(shù)量關(guān)系的探究（出租車收費問題等）
前100個自然數(shù)的高斯求解 等差數(shù)列的前n項和公式等差數(shù)列數(shù)量關(guān)系的探究及實際應(yīng)用（校園網(wǎng)問題）
等比數(shù)列：細(xì)胞分裂、古代“一尺之棰”問題、計算機病毒、銀行復(fù)利的實例等比數(shù)列概念等比數(shù)列的通項公式等比數(shù)列基本數(shù)量關(guān)系的探究及實際應(yīng)用（放射性物質(zhì)衰變、程序框圖等）
諾貝爾獎金發(fā)放金額問題 等比數(shù)列前n項和公式 等比數(shù)列基本數(shù)量關(guān)系探究及實際應(yīng)用（商場計算機銷售問題、九連環(huán)的智力游戲、購房中的數(shù)學(xué)等）
教科書的這種內(nèi)容呈現(xiàn)方式，一方面可以使學(xué)生感受數(shù)列是反映現(xiàn)實生活的數(shù)學(xué)模型，體會數(shù)學(xué)是來源于現(xiàn)實生活，并應(yīng)用于現(xiàn)實生活的，數(shù)學(xué)不僅僅是形式的演繹推導(dǎo)，數(shù)學(xué)是豐富多彩而不是枯燥無味的；另一方面，這種通過具體問題的探索和分析建立數(shù)學(xué)模型、以及應(yīng)用于解決實際問題的過程，有助于學(xué)生對客觀事物中蘊涵的數(shù)學(xué)模式進行思考和做出判斷，提高數(shù)學(xué)地提出、分析、解決問題的能力，提高學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。
2．加強數(shù)學(xué)知識內(nèi)容之間的相互聯(lián)系
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)絕不是孤立的學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的聯(lián)系性表現(xiàn)為兩個方面，一方面是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，我們稱為數(shù)學(xué)外部的聯(lián)系；另一方面是數(shù)學(xué)內(nèi)部之間的聯(lián)系，表現(xiàn)為數(shù)學(xué)知識內(nèi)容之間的相互聯(lián)系。本章數(shù)列與其他知識內(nèi)容的聯(lián)系，主要體現(xiàn)在：
�。�1）數(shù)列與“函數(shù)”知識內(nèi)容的聯(lián)系
數(shù)列可以看成是定義域為正整數(shù)集N*（或它的有限子集）的函數(shù)。當(dāng)自變量順次從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值，而數(shù)列的通項公式則是相應(yīng)的函數(shù)解析式。由于數(shù)列的項是函數(shù)值，序號是自變量，所以以序號為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項為縱坐標(biāo)畫出的圖像是一些孤立的點，所以說數(shù)列是一類特殊的函數(shù)。本章內(nèi)容的設(shè)計，突出了數(shù)列的這一函數(shù)背景，在通過實際問題引入數(shù)列概念后，教材對數(shù)列的函數(shù)背景進行了分析，指出通項公式實際可看作是數(shù)列的函數(shù)解析式。對兩類特殊數(shù)列——等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、通項公式，求和公式的研究，也是類比函數(shù)展開的：首先，它們是特殊數(shù)列，也是特殊函數(shù)，等差數(shù)列實際是一次型函數(shù)，是最簡單的遞推數(shù)列，等比數(shù)列實際是指數(shù)型函數(shù)；其次，它們具有函數(shù)的一般性質(zhì)，都借助了數(shù)形結(jié)合的思想研究問題，但研究的側(cè)重點有所不同，函數(shù)側(cè)重研究單調(diào)性、最值、奇偶性等，這兩類數(shù)列側(cè)重研究下標(biāo)子數(shù)列或兩個數(shù)列的合成的性質(zhì)等。
�。�2）數(shù)列與“算法”、“微積分”內(nèi)容的聯(lián)系
首先，本章對數(shù)列內(nèi)容的整體研究，體現(xiàn)了一種算法思想。具體而言，如對等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)實際就是一種算法。前者是通過高斯算法推廣到一般等差數(shù)列的前n項求和，后者是通過“錯位相減”推導(dǎo)求得。
其次，聯(lián)系算法中的程序以及程序框圖，對數(shù)列問題進行了研究。如P57例2、P65例3。
另外，結(jié)合了微積分中的“分割、取值、近似求和”思想，對數(shù)列問題進行了研究。如P65例3中對區(qū)域面積的求和。
3．加強學(xué)生的數(shù)學(xué)探索活動
根據(jù)學(xué)習(xí)的現(xiàn)代建構(gòu)理論，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是在已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，經(jīng)過學(xué)習(xí)主體的主動建構(gòu)產(chǎn)生的。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是簡單的鏡面式反映，而是經(jīng)過觀察、實驗、猜測、歸納、類比、抽象、概括等過程，經(jīng)過交流、反思、調(diào)整等完成的。本章內(nèi)容的設(shè)計，充分體現(xiàn)了學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體這一特點。例如：
等差數(shù)列概念的教科書設(shè)置就是在對日常生活中大量實際問題分析的基礎(chǔ)上，通過學(xué)生的觀察、分析、猜想、歸納給出的，教科書對學(xué)生的自主性學(xué)習(xí)提供了一定時間和空間：在給出大量的生活實例之后，教科書沒有立刻給出等差數(shù)列的概念，緊跟在實例之后的“觀察”欄目，是為了給學(xué)生一定的思考和探索的空間，讓他們自己通過觀察、歸納、猜想等認(rèn)識到等差數(shù)列的特性。通過對數(shù)列①、②、③、④共同特點的探索，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)這幾個數(shù)列的前后項的差值都是一個常數(shù)（不同數(shù)列的常數(shù)可能不相同），從而總結(jié)出等差數(shù)列的一般概念。
等差數(shù)列前n項和公式的導(dǎo)出也給學(xué)生留有了充分發(fā)揮和自主學(xué)習(xí)的空間。教科書是從求1+2+3+…+100的高斯算法出發(fā)，并以1+2+3+…+n求和為過渡，目的是為了啟發(fā)學(xué)生
發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列任意的第k項與倒數(shù)第k項的和等于首項、末項的和這個規(guī)律。緊接的探究題是為了讓學(xué)生在前面基礎(chǔ)上，把數(shù)列1+2+3+…+n內(nèi)在的這種規(guī)律性推廣到一般等差數(shù)列，從而獲得一般等差數(shù)列的求和思路。隨后的思考題進一步給學(xué)生提供了反思、回味的空間和余地，對知識內(nèi)容之間的相互聯(lián)系以及深入理解公式，回顧、調(diào)整前面的思考過程，起到了很好的啟發(fā)和引導(dǎo)作用。
4．突出了數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)
本章內(nèi)容設(shè)置，突出了數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，尤其突出了一般到特殊、特殊到一般，以及數(shù)列的函數(shù)思想、類比思想等。
有關(guān)等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)及應(yīng)用，就體現(xiàn)了特殊到一般、一般到特殊的思想：從特殊到一般，可以由前100個自然數(shù)求和的高斯算法過渡到一般等差數(shù)列求和思路的獲得；從一般到特殊，可以使學(xué)生應(yīng)用等差數(shù)列求和公式解決一些實際問題，使其來于實際，用于實際。
函數(shù)思想、類比思想幾乎貫穿整章內(nèi)容。本章開始對數(shù)列概念的介紹，突出了數(shù)列的函數(shù)背景。對具體內(nèi)容的展開，也充分體現(xiàn)了函數(shù)思想、類比思想：對兩類特殊數(shù)列——等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、通項公式，求和公式的研究，是類比函數(shù)展開的；類比于實數(shù)的加、減、乘、除運算，等差數(shù)列與等比數(shù)列實際是對數(shù)列中的項施行加法、乘法運算得到的；類比等差數(shù)列的通項、性質(zhì)、前n項和，可以得出對等比數(shù)列相應(yīng)問題的研究；類比函數(shù)概念、性質(zhì)、表達(dá)式，可以得出對數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列相應(yīng)問題的研究。函數(shù)思想、類比思想的運用，是本章設(shè)計的主要特色。
另外，數(shù)形結(jié)合的思想、方程思想等，在本章也有體現(xiàn)。
本章注重了數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，注重了對學(xué)生從實際問題抽象出數(shù)列模型的能力的培養(yǎng)。而對涉及數(shù)列中各量之間基本關(guān)系的繁難的技能訓(xùn)練題目，要求有所降低，只要保證能達(dá)到基本技能訓(xùn)練目的就可以了。
四、對教學(xué)的幾個建議
1．重視學(xué)生自主性學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)
自主性學(xué)習(xí)能力是一個人今后生存和發(fā)展的前提和先決條件，而適應(yīng)未來社會發(fā)展要求的創(chuàng)新意識的培養(yǎng)又是現(xiàn)代社會培養(yǎng)人才的方向和目標(biāo)。
本章內(nèi)容的設(shè)計，考慮到了培養(yǎng)學(xué)生的自主性學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新意識的社會要求，提供了可供學(xué)生自主探索的空間和余地。實際教學(xué)中，要讓學(xué)生充分體驗數(shù)學(xué)知識的形成過程，要盡可能的讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、猜想、抽象、概括、歸納、類比等發(fā)現(xiàn)和探索的過程，鼓勵學(xué)生說出各種可能的設(shè)想和猜測。教師在教學(xué)中是組織者、引導(dǎo)者，要把人類已發(fā)現(xiàn)的這些“現(xiàn)成的數(shù)學(xué)”，經(jīng)過教學(xué)法的加工，變?yōu)閷W(xué)生在教師指導(dǎo)下親自“發(fā)現(xiàn)”的結(jié)論，也就是學(xué)生自己“做出來的數(shù)學(xué)”。這種親身體驗和經(jīng)歷的過程，如同是重新經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)過程，也就是學(xué)生的“再發(fā)現(xiàn)”過程，可以啟迪學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、再創(chuàng)造的解決問題，為以后適應(yīng)社會發(fā)展，解決面臨的新問題、新情況做好基礎(chǔ)的鋪墊。
本章教學(xué)要善于挖掘教材內(nèi)容的延伸和拓廣。如有關(guān)等差數(shù)列的前n項求和和等比數(shù)列的前n項求和，可以鼓勵學(xué)生探索其他可能的解答思路。對教材中有關(guān)探索等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本數(shù)量關(guān)系的題目，也可以有相應(yīng)的問題拓展。這種已有資源的挖掘和拓廣，對學(xué)生自主性學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)是很有好處的。
2．重視探究題、練習(xí)題、閱讀與思考、探究與發(fā)現(xiàn)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)
本章的探究題、練習(xí)題、閱讀與思考、探究與發(fā)現(xiàn)的內(nèi)容素材很多是來源于古代或現(xiàn)實生活情境的題目，一方面加強了與實際生活的聯(lián)系，另一方面可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的興趣，教學(xué)中要注意相關(guān)內(nèi)容的知識準(zhǔn)備和問題解答和拓廣的準(zhǔn)備。
這些題目設(shè)置的特點是貼近現(xiàn)實，有一定挑戰(zhàn)性和趣味性，具體教學(xué)時，可以結(jié)合這些題目進行，如等比數(shù)列概念引入可以結(jié)合練習(xí)題中有關(guān)“古印度國王獎賞國際象棋發(fā)明者”的題目，以設(shè)置懸念，從而更加激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)習(xí)積極性。
3．重視本章內(nèi)容與其他學(xué)習(xí)內(nèi)容的聯(lián)系，重視借助信息技術(shù)學(xué)習(xí)本章內(nèi)容
本章內(nèi)容與函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、算法、微積分等內(nèi)容都有直接聯(lián)系，與物理、化學(xué)、生物、經(jīng)濟、天文、歷法等領(lǐng)域也有關(guān)聯(lián)，教學(xué)中既要注重數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的聯(lián)系，也要結(jié)合其他學(xué)科，使學(xué)生體會到數(shù)列在現(xiàn)實生活中是有著非常廣泛的應(yīng)用的。
為更好理解教學(xué)內(nèi)容，可借助信息技術(shù)學(xué)習(xí)本章內(nèi)容，除課本提供的有關(guān)信息技術(shù)的內(nèi)容外，有條件的學(xué)校，可借助多媒體等展示例題、習(xí)題中的內(nèi)容，通過現(xiàn)代教育技術(shù)手段，給學(xué)生展示一個更加豐富多彩的“數(shù)列”內(nèi)容。
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