§3.1.1 方程的根與函數的零點
目標
1. 結合二次函數的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，從而了解函數的零點與方程根的聯系；
2. 掌握零點存在的判定定理.
學習過程
一、課前準備
（教材P86~ P88，找出疑惑之處）
1：一元二次方程 +bx+c=0 (a 0)的解法.
判別式 = .
當 0，方程有兩根 高中學習方法，為 ；
當 0，方程有一根，為 ；
當 0，方程無實根.
復習2：方程 +bx+c=0 (a 0)的根與二次函數y=ax +bx+c (a 0)的圖象之間有什么關系？
判別式 一元二次方程 二次函數圖象
二、新課導學
※ 學習探究
探究任務一：函數零點與方程的根的關系
問題：
① 方程 的解為 ，函數 的圖象與x軸有 個交點，坐標為 .
② 方程 的解為 ，函數 的圖象與x軸有 個交點，坐標為 .
③ 方程 的解為 ，函數 的圖象與x軸有 個交點，坐標為 .
根據以上結論，可以得到：
一元二次方程 的根就是相應二次函數 的圖象與x軸交點的 .
你能將結論進一步推廣到 嗎？

新知：對于函數 ，我們把使 的實數x叫做函數 的零點（zero point）.
反思：
函數 的零點、方程 的實數根、函數 的圖象與x軸交點的橫坐標，三者有什么關系？

試試：
（1）函數 的零點為 ； （2）函數 的零點為 .


小結：方程 有實數根 函數 的圖象與x軸有交點 函數 有零點.
探究任務二：零點存在性定理
問題：
① 作出 的圖象，求 的值，觀察 和 的符號
② 觀察下面函數 的圖象，

在區(qū)間 上 零點； 0；
在區(qū)間 上 零點； 0；
在區(qū)間 上 零點； 0.
新知：如果函數 在區(qū)間 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有 <0，那么，函數 在區(qū)間 內有零點，即存在 ，使得 ，這個c也就是方程 的根.
討論：零點個數一定是一個嗎？ 逆定理成立嗎？試結合圖形來分析.

※ 典型例題
例1求函數 的零點的個數.

變式：求函數 的零點所在區(qū)間.

小結：函數零點的求法.
① 代數法：求方程 的實數根；
② 幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數 的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點．
※ 動手試試
練1. 求下列函數的零點：
（1） ；
（2） .


練2. 求函數 的零點所在的大致區(qū)間.
三、總結提升
※ 學習小結
①零點概念；②零點、與x軸交點、方程的根的關系；③零點存在性定理
※ 拓展
圖象連續(xù)的函數的零點的性質：
（1）函數的圖象是連續(xù)的，當它通過零點時（非偶次零點），函數值變號.
推論：函數在區(qū)間 上的圖象是連續(xù)的，且 ，那么函數 在區(qū)間 上至少有一個零點.
（2）相鄰兩個零點之間的函數值保持同號.
學習評價
※ 自我評價 你完成本節(jié)導學案的情況為（ ）.
A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差
※ 當堂檢測（時量：5分鐘 ：10分）計分：
1. 函數 的零點個數為（ ）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.若函數 在 上連續(xù)，且有 ．則函數 在 上（ ）.
A. 一定沒有零點 B. 至少有一個零點
C. 只有一個零點 D. 零點情況不確定
3. 函數 的零點所在區(qū)間為（ ）.
A. B. C. D.
4. 函數 的零點為 .
5. 若函數 為定義域是R的奇函數，且 在 上有一個零點．則 的零點個數為 .
課后作業(yè)
1. 求函數 的零點所在的大致區(qū)間，并畫出它的大致圖象.


2. 已知函數 .
（1） 為何值時，函數的圖象與 軸有兩個零點；
（2）若函數至少有一個零點在原點右側，求 值.

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