章末綜合測(cè)（5）三角函數(shù)、解三角形　
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．
1．已知角α的終邊過點(diǎn)P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，則m的值為(　　)
A．－12　　　　B.12　　　　C．－32　　　　D.32
解析：∵OP＝64m2＋9，且cosα＝－8m64m2＋9＝－45，
∴m＞0，且64m264m2＋9＝－1625＝－45，∴m＝12.
答案：B
2．已知扇形的周長(zhǎng)為6 cm，面積是2 cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是(　　)
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
解析：設(shè)扇形的圓心角為α rad，半徑為R，
則2R＋α•R＝6，12α•R2＝2，解得α＝1，或α＝4.
答案：C
3．已知函數(shù)f(x)＝sinωx＋π3(ω＞0)的最小正周期為π，則該函數(shù)圖像(　　)
A．關(guān)于直線x＝π4對(duì)稱 B．關(guān)于點(diǎn)(π3，0)對(duì)稱
C．關(guān)于點(diǎn)(π4，0)對(duì)稱 D．關(guān)于直線x＝π3對(duì)稱
解析：∵T＝π，∴ω＝2.
∵當(dāng)x＝π4 時(shí)，f(x)＝12；當(dāng)x＝π3時(shí)，f(x)＝0，∴圖像關(guān)于(π3，0)中心對(duì)稱.
答案：B
4．要得到函數(shù)y＝cos2x的圖像，只需將函數(shù)y＝cos2x－π3的圖像(　　)
A．向右平移π6個(gè)單位 B．向右平移π3個(gè)單位
C．向左平移π3個(gè)單位 D．向左平移π6個(gè)單位
解析：由cos2x＝cos2x－π3＋π3＝cos2x＋π6－π3
知，只需將函數(shù)y＝cos2x－π3的圖像向左平移π6個(gè)單位.
答案：D
5．若2a＝3sin2＋cos2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A.0，12 B.12，1
C.－1，－12 D.－12，0
解析：∵3sin2＋cos2＝2sin2＋π6，又34π＜2＋π6＜56 π，∴1＜2sin2＋π6＜2，
即1＜2a＜2，∴0＜a＜12.
答案：A
6．函數(shù)y＝3sin－2x－π6(x∈[0，π])的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　)
A.0，5π12 B.π6，2π3
C.π6，11π12 D.2π3，11π12
解析：∵y＝－3sin2x＋π6，∴由2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2，k∈Z，得
kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3，k∈Z. 又x∈[0，π]，∴k＝0.此時(shí)x∈π6，2π3.
答案：B
7．已知tanα＝12，tan(α－β)＝－25，那么tan(2α－β)的值是(　　)
A．－112 B.112 C.322 D.318
解析：tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tan(α－β)1－tanαtan(α－β)＝12－251－12×－25＝112.
答案：B
8．定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期為π，且當(dāng)x∈0，π2時(shí)，f(x)＝sinx，則f5π3的值為(　　)
A．－12 B.12 C．－32 D.32
解析：f5π3＝f5π3－2π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝32.
答案：D
9．已知cosπ4＋θcosπ4－θ＝14，則sin4θ＋cos4θ的值等于(　　)
A.34 B.56 C.58 D.32
解析：由已知，得sinπ4－θcosπ4－θ＝14，即12sinπ2－2θ＝14，∴cos2θ＝12.
∴sin22θ＝1－122＝34。則sin4θ＋cos4θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－12sin22θ＝1－38＝58.
答案：C
10．已知α、β為銳角，且sinα＝55，sinβ＝1010，則α＋β＝(　　)
A．－3π4 B.π4或3π4 C.3π4 D.π4
解析：∵α、β為銳角，且sinα＝55，sinβ＝1010，
∴cosα＝255，cosβ＝31010，且α＋β∈(0，π)，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝65050－5050＝55050＝22， ∴α＋β＝π4.
答案：D
11．在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊)，則△ABC的形狀為(　　)
A．等邊三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：∵cos2B2＝a＋c2c，∴2cos2B2－1＝a＋cc－1，
∴cosB＝ac，∴a2＋c2－b22ac＝ac，∴c2＝a2＋b2， 故△ABC為直角三角形．
答案：B
12．在沿海某次臺(tái)風(fēng)自然災(zāi)害中，臺(tái)風(fēng)中心最大風(fēng)力達(dá)到10級(jí)以上，大風(fēng)降雨給沿海地區(qū)帶為嚴(yán)重的災(zāi)害，不少大樹被大風(fēng)折斷，某路邊一樹干被臺(tái)風(fēng)吹斷后，折成與地面成45°角，樹干也傾斜為與地面成75°角，樹干底部與樹尖著地處相距20米，則折斷點(diǎn)與樹干底部的距離是(　　)
A.2063米 B．106米 C.1063米 D．202米
解析：設(shè)折斷點(diǎn)與樹干底部的距離為x米．
則xsin45°＝20sin(180°－75°－45°)＝20sin60°，
∴x＝20×sin45°sin60°＝2023＝2063(米).
答案：A

二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．
13．若π4是函數(shù)f(x)＝sin2x＋acos2x(a∈R，且為常數(shù))的零點(diǎn)，則f(x)的最小正周期是__________．
解析：由題意，得fπ4＝sinπ2＋acos2π4＝0，∴1＋12a＝0，∴a＝－2.
∴f(x)＝sin2x－2cos2x＝sin2x－cos2x－1＝2sin2x－π4－1，
∴f(x)的最小正周期為π.
答案：π
14．在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanAtanB.sinAcosB＝34， 則△ABC的形狀為__________．
解析：∵tanA＋tanB＝3(tanAtanB－1)，
∴tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝－3， ∴tanC＝3，又C∈(0，π)，∴C＝π3.
∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝32，
∴cosAsinB＝34，∴sinAcosB＝cosAsinB，∴sin(A－B)＝0，∴A＝B.
∴△ABC為正三角形．
答案：正三角形
15．若將函數(shù)y＝tanωx＋π4(ω＞0)的圖像向右平移π6個(gè)單位后，與函數(shù)y＝tanωx＋π6的圖像重合，則ω的最小值為__________．
解析： 由已知，得tanωx－π6＋π4＝tanωx－ω6π＋π4＝tanωx＋π6，得π4－ω6π＝kπ＋
π6(k∈Z)，∴ω＝－6k＋12(k∈Z)．∵ω＞0，∴當(dāng)k＝0時(shí)，ω的 最小值為12.
答案：12
16．給出下列命題：
①半徑為2，圓心角的弧度數(shù)為12的扇形面積為12；
②若α、β為銳角，tan(α＋β)＝12，tanβ＝13，則α＋2β＝π4；
③若A 、B是△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，且sinA＜sinB，則BC＜AC；
④若a、b、c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，且a2＋b2－c2＜0，則△ABC是鈍角三角形．
其中真命題的序號(hào)是__________．
解析：①中，S扇形＝12α•R2＝12×12×22＝1，
∴①不正確．
②中，由已知可得tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan(α＋β)＋tanβ1－tan(α＋β)tanβ＝13＋121－13×12＝1，
又α、β為銳角，tan(α＋β)＝12＞0，∴0＜α＋β＜π2.
又由tanβ＝13＜1，得0＜β＜π4， ∴0＜α＋2β＜34π，∴α＋2β＝π4.∴②正確．
③中，由sinA＜sinB⇒BC2R＜AC2R(2R為△ABC的外接圓半徑)⇒BC＜AC.∴③正確．
④中，由a2＋b2－c2＜0知，c osC＜0，
∴C為鈍角，∴△ABC為鈍角三角形．∴④正確．
答案：②③④
三、解答題：本大題共6小題，共70分．
17．(10分)已知sinα＝－55 ，tanβ＝－13，且α、β∈－π2，0.
(1)求α＋β的值； (2)求2sin＝π4－α＋cosπ4＋β的值．
解析：(1)∵sinα＝－55，α∈－π2，0， ∴cosα＝255.∴tanα＝－12，
∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－1. 又∵－π＜α＋β＜0，∴α＋β＝－π4.
(2)由(1)知，α＋β＝－π4，
2sinπ4－α＋cosπ4＋β＝2sinπ4－α＋cosπ4－π4－α＝2sinπ4－α＋cosα
＝2cosα－sinα＝2×255＋55＝5.
18．(12分)已知α、β為銳角，向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝12，－12.
(1)若a•b＝22，a•c＝3－14，求角2β－α的值；
(2)若a＝b＋c，求tanα的值．
解析：(1)a•b＝(cosα，sinα)•(cosβ，sinβ)
＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝cos(α－β)＝22.①
a•c＝(cosα，sinα)•12，－12
＝12cosα－12sinα＝3－14.②
又∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜π2.
由①得α－β＝±π4，由②得α＝π6.
∵α、β為銳角，∴β＝5π12.從而2β－α＝23π.
(2)由a＝b＋c，可得cosβ＝cosa－12，　　　　　　�、踫inβ＝sinα＋12. ④
③2＋④2，得cosα－sinα＝12.
∴2sinαcosα＝34.
又∵2sinαcosα＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1＝34，
∴3tan2α－8tanα＋3＝0.
又∵α為銳角，∴tanα＞0，
∴tanα＝8±82－4×3×36＝8±286＝4±73.
19．(12分)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2一個(gè)周期的圖像如圖所示．
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；
(2)若f(α)＋fα－π3＝2425，且α為△ABC的一個(gè)內(nèi)角，
求sinα＋cosα的值．
解析：(1)由圖知，函數(shù)的最大值為1，則A＝1，
函數(shù)f(x)的周期為T＝ 4×π12＋π6＝π.
而T＝2πω，則ω＝2.
又x＝－π6時(shí)，y＝0，∴sin2×－π6＋φ＝0.
而－π2＜φ＜π2，則φ＝π3.
∴函數(shù)f(x)的表達(dá)式為f(x)＝sin2x＋π3.
(2)由f(α)＋fα－&pi 高中物理;3＝2425，得
sin2α＋π3＋sin2α－π3＝2425，化簡(jiǎn)，得sin2α＝2425.
∴(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α＝4925.
由于0 ＜α＜π，則0＜2α＜2π，
但sin2α＝2425＞0，則0＜2α＜π，即α為銳角，
從而sinα＋cosα＞0，因此sinα＋cosα＝75.
20．(12分)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且bcosC＝3acosB－ccosB.
(1)求cosB的值．
(2)若BA→•BC→＝2，b＝22，求a 和c.
解析：(1)△ABC中，∵bcosC＝3acosB－ccosB，
由正弦定理，得sinB•cosC＝3sinAcosB－sinCco sB，
∴sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB，
∴sin(B＋C)＝sinA＝3sinAcosB.
∵sinA≠0，∴cosB＝13.
(2)∵BA→•BC→＝ac•cosB＝ 13ac＝2，∴ac＝6.
∵b2＝8＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－4，
∴a2＋c2＝12，∴a2－2ac＋c2＝0，
即(a－c)2＝0，∴a＝c＝6.
21．(12分)已知△ABC是半徑為R的圓的內(nèi)接三角形，且2R(sin2A－sin2C)＝(2a－b)sinB.
(1)求角C；
(2)試求△ABC面積S的最大值．
解析：(1)由2R(sin2A－sin2C)＝(2a－b)sinB，
兩邊同乘以2R，得
(2RsinA)2－(2RsinC)2＝(2a－b)2RsinB，
根據(jù)正弦定理，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
∴a2－c2＝(2a－b)b，即a2＋b2－c2＝2ab.
再由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝22，
又0＜C＜π，∴C＝π4.
(2)∵C＝π4，∴A＋B＝3π4.
S＝12absinC＝24(2RsinA)(2RsinB)＝2R2sinAsinB
＝2R2sinAsin34π－A＝22R2sin2A－π4＋12R2，
∴當(dāng)2A－π4＝π2，即A＝38π時(shí)，
S有最大值12＋22R2.
22．(12分)如圖，某市擬在長(zhǎng)為8 km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道．賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y＝Asinωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0,4]的圖像，且圖像的最高點(diǎn)為S(3,23)；賽道的后一部分為折線段MNP.為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全，限定∠MNP＝120°.
(1)求A，ω的值和M，P兩點(diǎn)間的距離；
(2)應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道MNP最長(zhǎng)？
解析：一：
(1)依題意，


故NP+MN＝1033sinθ＋1033sin(60°－θ)
＝103312sinθ＋32cosθ
＝1033sin(θ＋60°)．
∵0°＜θ＜60°，∴當(dāng)θ＝30°時(shí)，折線段賽道MNP最長(zhǎng)．
即將∠PMN設(shè)計(jì)為30°時(shí)，折線段賽道MNP最長(zhǎng)．
方法二：(1)同方法一；
(2)在△MNP中，∠MNP＝120°，MP＝5，
由余弦定理，得
MN2＋NP2－2MN•NP•cos∠MNP＝MP2，
即MN2＋NP2＋MN•NP＝25.
故(MN＋NP)2－25＝MN•NP≤MN＋NP22，
從而34(MN＋NP)2≤25，即MN＋NP≤1033，
當(dāng)且僅當(dāng)MN＝NP時(shí)等號(hào)成立．
即設(shè)計(jì)為MN＝NP時(shí)，折線段賽道MNP最長(zhǎng)．

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