平均變化率:

一般地，對于函數(shù)y =f(x)，x_1,x₂是其定義域內(nèi)不同的兩點，那么函數(shù)的變化率可用式表示，我們把這個式子稱為函數(shù)f(x)從x₁到x₂的平均變化率，習慣上用表示，即平均變化率

上式中的值可正可負，但不為0．f(x)為常數(shù)函數(shù)時，

瞬時速度:
如果物體的運動規(guī)律是s=s(t)，那么物體在時刻t的瞬時速度v就是物體在t到這段時間內(nèi)，當時平均速度的極限，即
若物體的運動方程為s=f(t),那么物體在任意時刻t的瞬時速度v(t)就是平均速度v(t，d)為當d趨于0時的極限．

函數(shù)y=f（x）在x=x₀處的導數(shù)的定義：

一般地，函數(shù)y=f（x）在x=x₀處的瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)y=f（x）在x=x₀處的導數(shù)，記作或，即。

導函數(shù)：

如果函數(shù)y =f(x)在開區(qū)間(a，6)內(nèi)的每一點都可導，則稱在(a，b)內(nèi)的值x為自變量，以x處的導數(shù)稱為f(x為函數(shù)值的函數(shù)為fx）在(a，b)內(nèi)的導函數(shù)，簡稱為f（x）在(a，b)內(nèi)的導數(shù)，記作f′(x)或y′．即f′(x）=

切線及導數(shù)的幾何意義：

（1）切線：PP_n為曲線f（x）的割線，當點P_n（x_n，f（x_n））（n∈N）沿曲線f（x）趨近于點P（x₀，f（x₀））時，割線PP_n趨近于確定的位置，這個確定的位置的直線PT稱為點P處的切線。
（2）導數(shù)的幾何意義：函數(shù)f（x）在x=x₀處的導數(shù)就是切線PT的斜率k，即k=。

瞬時速度特別提醒：

①瞬時速度實質是平均速度當時的極限值．
②瞬時速度的計算必須先求出平均速度，再對平均速度取極限，

函數(shù)y=f（x）在x=x₀處的導數(shù)特別提醒：

①當時，比值的極限存在，則f（x）在點x₀處可導；若的極限不存在，則f(x)在點x₀處不可導或無導數(shù)．
②自變量的增量可以為正，也可以為負，還可以時正時負，但．而函數(shù)的增量可正可負，也可以為0．
③在點x=x₀處的導數(shù)的定義可變形為:

導函數(shù)的特點：

①導數(shù)的定義可變形為：
②可導的偶函數(shù)其導函數(shù)是奇函數(shù)，而可導的奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù)，
③可導的周期函數(shù)其導函數(shù)仍為周期函數(shù)，
④并不是所有函數(shù)都有導函數(shù)．
⑤導函數(shù)與原來的函數(shù)f(x)有相同的定義域（a，b）,且導函數(shù)在x₀處的函數(shù)值即為函數(shù)f(x)在點x₀處的導數(shù)值．
⑥區(qū)間一般指開區(qū)間，因為在其端點處不一定有增量（右端點無增量，左端點無減量）．

導數(shù)的幾何意義（即切線的斜率與方程）特別提醒：

①利用導數(shù)求曲線的切線方程．求出y=f(x)在x₀處的導數(shù)f′(x)；利用直線方程的點斜式寫出切線方程為y-y₀ =f′(x₀)（x- x₀）．
②若函數(shù)在x= x₀處可導，則圖象在(x₀，f(x₀))處一定有切線，但若函數(shù)在x= x₀處不可導，則圖象在（x₀，f(x₀））處也可能有切線，即若曲線y =f(x)在點(x₀，f(x₀))處的導數(shù)不存在，但有切線，則切線與x軸垂直．
③注意區(qū)分曲線在P點處的切線和曲線過P點的切線，前者P點為切點；后者P點不一定為切點，P點可以是切點也可以不是，一般曲線的切線與曲線可以有兩個以上的公共點，
④顯然f′（x₀）>0，切線與x軸正向的夾角為銳角；f′（x₀）<o，切線與x軸正向的夾角為鈍角；f(x₀) =0，切線與x軸平行；f′(x₀)不存在，切線與y軸平行．

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