初一時(shí)，我們認(rèn)識(shí)了負(fù)數(shù)，使數(shù)的范圍擴(kuò)展到了有理數(shù)，初二，我們又開始學(xué)習(xí)了無(wú)理數(shù)，把數(shù)的范圍再一次擴(kuò)展到了實(shí)數(shù)。剛剛學(xué)習(xí)無(wú)理數(shù)，認(rèn)為無(wú)理數(shù)不象有理數(shù)那樣，直觀易懂，總有一種虛幻的感覺，其次，無(wú)理數(shù)和有理數(shù)一樣，有自己的鮮明特征。那么怎樣學(xué)習(xí)無(wú)理數(shù)呢？請(qǐng)同學(xué)們注意以下四個(gè)方面。

一.明確無(wú)理數(shù)的存在
無(wú)理數(shù)來自實(shí)踐，無(wú)理數(shù)并不“無(wú)理”，也不是人們臆想出來的，它是實(shí)實(shí)在在存在的，例如：
（1）一個(gè)直角三角形，兩條直角邊長(zhǎng)分別為1和2，由勾股定理知，它的斜邊長(zhǎng)為 ；
（2）任何一個(gè)圓，它的周長(zhǎng)和直徑之比為一常數(shù) 等等；
像 這樣的數(shù)，在我們周圍的生活中，不是只有少數(shù)幾個(gè)，而是像有理數(shù)一樣有無(wú)限個(gè)。

二.弄清無(wú)理數(shù)的定義
教材中指出：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫無(wú)理數(shù)，這說明無(wú)理數(shù)是具有兩個(gè)基本特征的小數(shù)：一是小數(shù)位數(shù)是無(wú)限的；二是不循環(huán)的。這對(duì)初學(xué)者來說有一定難度，因此，我們必須掌握它的表現(xiàn)形式。

三.掌握無(wú)理數(shù)的表現(xiàn)形式
在初中階段，無(wú)理數(shù)表現(xiàn)形式主要有以下幾種：
1.無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)，如0.1010010001……（兩個(gè)1之間依次多一個(gè)0）
2.含 的數(shù)，如： ， ， 等。
3.開方開不盡而得到的數(shù)，如 ， 等。
4.某些三角函數(shù)值：如 ， 等。

四.辨別一些模糊認(rèn)識(shí)
1.無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù)
無(wú)限小數(shù)分：為無(wú)限循環(huán)小數(shù)和無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，其中無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，只有無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)才是無(wú)理數(shù)。

2.無(wú)理數(shù)包括正無(wú)理數(shù)、負(fù)無(wú)理數(shù)和零。
受思維習(xí)慣的影響，有些同學(xué)錯(cuò)誤認(rèn)為正無(wú)理數(shù)與負(fù)無(wú)理數(shù)之間應(yīng)有零，零也是無(wú)理數(shù)，其實(shí)零是一個(gè)有理數(shù)，因此，無(wú)理數(shù)只分為正無(wú)理數(shù)和負(fù)無(wú)理數(shù)兩類。

3.帶根號(hào)的數(shù)是無(wú)理數(shù)。
是有理數(shù)2， 是有理數(shù)－2，可見帶根號(hào)的數(shù)不一定是無(wú)理數(shù)。

4.無(wú)理數(shù)是用根號(hào)形式表示的數(shù)。
是無(wú)理數(shù)，但并不是用根號(hào)形式表示的，再如：0.1010010001……（兩個(gè)1之間依次多一個(gè)），亦為不帶根號(hào)的無(wú)理數(shù)。

5.無(wú)理數(shù)是開方開不盡的數(shù)。
無(wú)理數(shù)并非由開方的結(jié)果來定義的，事實(shí)上，如 ，0.232232223……，等無(wú)理數(shù)，都不是由開方得到的。

6.兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和、差、積、商仍是無(wú)理數(shù)。
兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和，差，積，商不一定是無(wú)理數(shù)，如：
等都是有理數(shù)。

7.無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的乘積是無(wú)理數(shù)。
這種說法是錯(cuò)誤的！
由 等似乎易見無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的積是無(wú)理數(shù)，就下肯定結(jié)論，錯(cuò)了！
如 等足以推翻以上結(jié)論。

8.有些無(wú)理數(shù)是分?jǐn)?shù)。
因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)屬于有理數(shù)，且無(wú)理數(shù)與有理數(shù)是兩類不同的數(shù)，所以說，無(wú)理數(shù)不可能寫成分?jǐn)?shù)，當(dāng)然，有些無(wú)理數(shù)可以借助分?jǐn)?shù)線來表示。
如 ，但一定要注意它并不是分?jǐn)?shù)。

9.無(wú)理數(shù)比有理數(shù)少。
這種說法錯(cuò)誤，無(wú)理數(shù)在人們生產(chǎn)和生活中使用的少一些，但并不是說無(wú)理數(shù)就少一些，我們平常的計(jì)算中沒有特別需要時(shí)，習(xí)慣地把一些無(wú)理數(shù)按要求通過取近似值的方法用有理數(shù)來表示，這樣似乎就覺得使用無(wú)理數(shù)少一些，實(shí)際上，無(wú)理數(shù)也有無(wú)限個(gè)且比有理數(shù)多得多。

10.一個(gè)無(wú)理數(shù)的平方一定是有理數(shù)。
這種說法錯(cuò)誤，不要誤認(rèn)為只有 等無(wú)理數(shù)，如 等也是無(wú)理數(shù)，顯然 等不是有理數(shù)。

 

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