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第七章 平行線的證明
7.1為什么要證明、7.2定義與命題
專題 推理在實際中的應(yīng)用
1．甲、乙、丙、丁四個小朋友在院里玩球，忽聽“砰”的一聲，球擊中了李大爺家的窗戶.李大爺跑出來查看，發(fā)現(xiàn)一塊窗戶玻璃被打裂了.李大爺問:“是誰闖的禍?”
甲說:“是乙不小心闖的禍.”
乙說:“是丙闖的禍.”
丙說:“乙說的不是實話.”
丁說:“反正不是我闖的禍.”
如果這四個小朋友中只有一個人說了實話,請你幫李大爺判斷一下,究竟是誰闖的禍( )
A.甲 B. 乙 C.丙 D.丁

2．如圖，在一條街道的兩邊各有1排房子，每排都有5間，如果標(biāo)號為G的房子被涂成灰色，要求每一排中相鄰的房子不能同色，兩排中直接相對的房子也不能是同種顏色，則剩下的7間房子中有__________間的顏色不能被涂成灰色．

3．在元旦晚會上，學(xué)校組織了一次關(guān)于語文、數(shù)學(xué)、外語、奧運及日常生活常識的知識競賽，設(shè)定滿分40分，往下依次為30分、20分、10分和0分共五個評分等級．每個小組分別回答這五個方面的問題，現(xiàn)將A、B、C、D、E五個小組的部分得分列表如下：
語文數(shù)學(xué)外語常識奧運總分名次
A組 180l
B組 2
C組 3
D組 30 4
E組40 20 5
表中（1）每一豎行的得分均不相同（包括單科和總分），（2）C組有4個方面得分相同．
求：B、C、D、E組的總分并填表進(jìn)行檢驗．

答案：
1．D 【解析】 本題可分三種情況進(jìn)行討論：
①若甲真，則乙假，丙真，丁真，這種情況下，三人說了實話，顯然與條件不符；
②若甲假，乙真，則丙假，丁真，這種情況下，兩人說了實話，顯然與條件不符；
③若甲假，乙假，則丙真，丁假，這種情況下，只有丙說了實話，符合題目給出的條件．
由于丁說了假話，因此闖禍的人一定是丁．故選D．
2．6 【解析】 第一排未涂顏色的三間房子，均與標(biāo)號為G的房子相鄰，所以均不能被涂成灰色;第二排從左向右數(shù)，第一間房子與標(biāo)號為G的房子相對，所以不能被涂成灰色,第二、四間房子與標(biāo)號為G的房子相鄰，所以不能被涂成灰色,只有第五間房子既不與標(biāo)號為G的房子相鄰也不相對，可以被涂成灰色．所以剩下的7間房子中有6間的顏色不能被除數(shù)涂成灰色．
3．解：由表格知：E組的總分 ≥6O．
五個組的總分為：5×（1O+20+3O+40）=500（分）.
若 =7O，又每一豎行得分不相同，則5組的總分之和≥70+8O+90+100+18O=520≥500，
矛盾， =60．
同理， =7O分．
故 =60分， =70分， =80分， =11O分，
或 =60分， =7O分， =9O分， =1OO分．
填表對這兩種情況分別給予檢驗（見下表）:
語文數(shù)學(xué)外語常識奧運總分名次
A組304O4O4O3O18O1
B組O1O303O4011O2
C組2O2O20O20803
D組1O3O101O1O7O4
E組4OOO20O6O5

語文數(shù)學(xué)外語常識奧運總分名次
A組30404O4O301801
B組1O1O1O3O401OO2
C組2O2O2O1O209O3
D組03O3OO1O7O4
E組40OO200605

7.3平行線的判定
專題 平行線的判定的實際應(yīng)用
1．如圖，臺球運動中，如果母球P擊中邊點A，經(jīng)桌邊反彈后擊中相鄰的另一桌邊的點B，再次反彈．那么母球P經(jīng)過的路線BC與PA一定平行．請說明理由．

2．小明到工廠去進(jìn)行社會實踐活動時，發(fā)現(xiàn)工人師傅生產(chǎn)了一種如圖所示的零件，要求
AB∥CD，∠BAE=35°，∠AED=90°．小明發(fā)現(xiàn)工人師傅只是量出∠BAE=35°，∠AED=90°后，又量了∠EDC=55°，于是他就說AB與CD肯定是平行的，你知道什么原因嗎？

3．如圖，某湖上風(fēng)景區(qū)有兩個觀望點A，C和兩個度假村B，D．度 假村D在C的正西方向，度假村B在C的南偏東30°方向，度假村B到兩個觀望點的距離都等于2km．
（1）求道路CD與CB的夾角；
（2）如果度假村D到C是直公路，長為1km，D到A是環(huán)湖路，度假村B到兩個觀望點的總路程等于度假村D到兩個觀望點的總路程．求出環(huán)湖路的長；
（3）根據(jù)題目中的條件，能夠判定DC∥AB嗎？若能，請寫出判斷過程；若不能，請你加上一個條件，判定DC∥AB．

答案：
1．解：∵∠PAD=∠BAE，∠PAB=180°-∠PAD-∠BAE，
∴∠PAB=180°-2∠BAE．
同理，∠ABC=180°-2∠ABE．
∵∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠PAB+∠ABC=360°-2（∠BAE+∠ABE）=180°．
∴BC∥PA．
2．解：AB與CD平行．
理由是：延長AE交DC于M，
∵∠AED=90°，∠EDC=55°，
∴∠AMD=∠AED-∠EDC=35°，
∵∠BAE=35°，
∴∠BAE=∠AMD，
∴AB∥DC．

3．解：（1）如圖所示，過C作CM⊥CD交AB與M，則∠DCM=90°，∠MCB=30°，
∴CD與CB的夾角為90°+30°=120°；
（2）環(huán)湖路的長=AB+BC-CD=3km；
（3）不能判定DC∥AB．
加上的條件可以是：CA平分∠DCB．
證明：∵AB=AC，
∴∠CAB=∠ACB，
∵CA平分∠DCB，
∴∠DCA=∠ACB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴DC∥AB．

7.4平行線的性質(zhì)
專題 與平行線有關(guān)的探究題
1．如圖，AB∥CD，分別探討下面四個圖形中∠APC與∠PAB、∠PCD的關(guān)系，請你從所得到的關(guān)系中任選一個加以說明．（適當(dāng)添加輔助線，其實并不難）

2．利用平行線的性質(zhì)探究：
如圖，直線AC∥BD，連接AB，直線AC，BD及線段AB把平面分成①②③④四個部分，規(guī)定線上各點不屬于任何部分．當(dāng)動點P落在某個部分時，連接PA、PB，構(gòu)成∠PAC、∠APB、∠PBD三個角．當(dāng)動點P落在第①部分時，小明同學(xué)在研究∠PAC、∠APB、∠PBD三個角的數(shù)量關(guān)系時，利用圖1，過點P作PQ∥BD，得出結(jié)論：∠APB=∠PAC+∠PBD．請你參考小明的方法解決下列問題：
（1）當(dāng)動點P落在第②部分時，在圖2中畫出圖形，寫出∠PAC、∠APB、∠PBD三個角的數(shù)量關(guān)系；
（2）當(dāng)動點P落在第③、第○4部分時，在圖3、圖4中畫出圖形，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并選擇其中一種情形加以證明．

答案：
1．解：如圖：

（1）∠APC=∠PAB+∠PCD；
證明：過點P作AB∥PF，
∵AB∥PF，∴AB∥CD∥PF，
∴ （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）,
∴∠APC=∠PAB+∠PCD．
（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；
（3）∠APC=∠PAB-∠PCD；
（4）∠PCD=∠PAB+∠APC.
2．解：（1）如圖，當(dāng)動點P落在第②部分時,∠APB=360°-（∠PAC+∠PBD）；

（2）當(dāng)動點P落在第③部分時, ∠PAC=∠APB+∠PBD；
當(dāng)動點P落在第○4部分時，∠PAC =∠APB+∠PBD．
證明：如圖，∵∠PAC=∠AEB，
∠AEB=∠PBD+∠APB，
∴∠PAC= ∠APB +∠PBD．

7.5三角形內(nèi)角和定理
專題 與三角形內(nèi)角和外角有關(guān)的探究題
1．如下幾個圖形是五角星和它的變形．
（1）圖（1）中是一個五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E；
（2）圖（2）中的點A向下移到BE上時，五個角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有
無變化？說明你的結(jié)論的正確性；
（3）把圖（2）中的點C向上移到BD上時，如圖（3）所示，五個角的和（即∠CAD+∠B+ ∠ACE+∠D+∠E）有無變化？說明你的結(jié)論的正確性．

2．認(rèn)真下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題.
探究1：如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點，通過分析發(fā)現(xiàn)∠BOC=90°+ ,理由如下:
∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，

探究2：如圖2,O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請說明理由.
探究3：如圖3，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與
∠A有怎樣的關(guān)系？（只寫結(jié)論，不需證明）
答案：
1．解：（1）如圖，連接CD．

在△ACD中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得出∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°．
∵∠1=∠B+∠E=∠2+∠3，
∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=∠A+∠B+∠E+∠ACE+∠ADB=∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°.
（2）無變化．
根據(jù)平角的定義，得出∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°．
∵∠BAC=∠C+∠E，∠EAD=∠B+∠D，
∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°；
（3）無變化．
∵∠ACB=∠CAD+∠D，∠ECD=∠B+∠E，
∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°．

2．解：（1）探究2的結(jié)論：∠BOC= .
理由如下：
∵ BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線,所以

（2）探究3的結(jié)論：∠BOC=90°－

5 Y


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