第五章　圖形的相似與解直角三角形
第一節(jié)　圖形的相似與位似
河北五年中考命題規(guī)律
年份 題號 考查點 考查內(nèi)容 分值 總分
2018 15 相似三角形判定 從一個三角形紙片剪下一個三角形，判定與原三角形相似條件 2 11
 23 位似圖形的性質(zhì) 利用位似圖形的性質(zhì)證線段的數(shù)量和位置關(guān)系 9 
2018年 13 相似三角形、相似多邊形的判定 根據(jù)已知方式變換后得到新圖形，判定兩個圖形是否相似 3 3
2018年 11 相似三角形的判定及性質(zhì) 以菱形為背景，利用菱形的性質(zhì)及相似三角形的判定及性質(zhì)求線段長度 3 3
2017、2018年均未考查
命題規(guī)律 縱觀河北近五年中考，本考點共考查了4次，題型有選擇題、解答題，分值2～11分，難度中偏下，基礎(chǔ)題為主，其中相似三角形的判定和性質(zhì)考查了3次，相似多邊形考查了1次(選擇題).
 
河北五年中考真題及模擬
　 　　　　　 　　　　　 　　　　

 　圖形相似的判定及性質(zhì)
 
1．(2018河北中考)如圖，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是(　C　)
 ,A)　 ,B)　 ,C)　　　 ,D)
2．(2018年河北中考)在研究相似問題時，甲、乙同學(xué)的觀點如下：
甲：將邊長為3，4，5的三角形按圖①的方式向外擴張，得到新三角形，它們的對應(yīng)邊間距均為1，則新三角形與原三角形相似. 圖①
 
圖②
乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖②的方式向外擴張，得到新矩形，它們的對應(yīng)邊間距均為1，則新矩形與原矩形不相似．
對于兩人的觀點，下列說法正確的是(　A　)
A．兩人都對  B．兩人都不對
C．甲對，乙不對  D．甲不對，乙對
 　圖形的位似
3．(2017保定中考模擬)圖中兩個四邊形是位似圖形，它的位似中心是(　D　)
 
A．點M  B．點N  C．點O  D．點P
4．(2017保定中考模擬)若如圖所示的兩個四邊形相似，則α的度數(shù)是(　A　)
 
A．87°  B．60°  C．75°  D．120°

 
5．(2017唐山中考模擬)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點D，E分別在邊AC，AB上，若∠B＝∠ADE，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是(　D　)
①∠B和∠A互為補角；②∠A和∠ADE互為余角；③△ABC∽△ADE；④如果AB＝2AD，則S△ADE∶S△ABC＝1∶4；⑤△ABC與△ADE位似．
A．4  B．2  C．1  D．3
6．(2018滄州八中一模)如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC上的點，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于(　A　)
A．5∶8  B．3∶8
C．3∶5  D．2∶5

7．(2018石家莊二十八中一模)如圖，在 ▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線 于點F，BG⊥AE于點G，BG＝42，則△EFC 的周長為(　D　)
A．11  B．10  C．9  D．8
8．(2018保定中考模擬)在直角坐標(biāo)系中，已知點A(－2，0)，B(0，4)，C(0，3)，過C作直線交x軸于D，使以D，O，C為頂點的三角形與△AOB相似．這樣的直線最多可以作(　C　)
A．2條  B．3條
C．4條  D．6條
 
9．(2018邯鄲一模)如圖，在正方形ABCD 中，E為AB的中點，G，F(xiàn)分別為AD，BC邊上的點，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，則GF的長為(　D　)
A．4  B．2
C．5  D．3
10．(2018保定十七中一模)下列四組圖形中，一定相似的是(　D　)
A．正方形與矩形
B．正方形與菱形
C．菱形與菱形
D．正五邊形與正五邊形
11．(2018石家莊二十八中一模)如圖，點B在線段AC上，點D，E在AC同側(cè)，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC.
(1)求證：AC＝AD＋CE；
(2)若AD＝3，CE＝5，點P為線段AB上的動點，連接DP，作PQ⊥DP，交直線BE于點Q.若點P與A，B兩點不重合，求DPPQ的值．
 
解：(1)∵∠A＝∠C＝90°，DB⊥BE，
∴∠ADB＋∠ABD＝90°，∠ABD＋∠EBC＝90°.
∴∠ADB＝∠EBC.
又AD＝BC，∴△ADB≌△CBE(ASA)，
∴AB＝CE.∴AC＝BC＋AB＝AD＋CE；
(2)過點Q作QH⊥BC于點H.
則△ADP∽△HPQ，△BHQ∽△BCE，
∴ADHP＝APHQ，BHBC＝QHEC.
設(shè)AP＝x，QH＝y(tǒng)，則有BH3＝y(tǒng)5，
∴BH＝3y5，PH＝3y5＋5－x，
∴33y5＋5－x＝xy，即(x－5)•(3y－5x)＝0.
又點P不與A，B重合，
∴x≠5，即x－5≠0.
∴3y－5x＝0，即3y＝5x.
∴DPPQ＝xy＝35.

12．(2018河北中考)如圖①，E是線段BC的中點，分別以B，C為直角頂點的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同側(cè)．
 
(1)AE和ED的數(shù)量關(guān)系為________；
AE和ED的位置關(guān)系為________；
(2)在圖①中，以點E為位似中心，作△EGF與△EAB位似，H是B C所在直線上的一點，連接GH，HD，分別得到圖②和圖③.
①在圖②中，點F在BE上，△EGF與△EAB的相似比是1∶2，H是EC的中點，求證：GH＝HD，GH⊥HD.
②在圖③中，點F在BE的延長線上，△EGF與△EAB的相似比是k∶1，若BC＝2，請直接寫出CH的長為多少時，恰好使得GH＝HD且GH⊥HD.(用含k的代數(shù)式表示)
解：(1)AE＝ED；AE⊥ED；
(2)①由題意，得∠B＝∠C＝90°，
AB＝BE＝EC＝DC.
∵△EGF與△EAB的相似比為1∶2，
∴∠GFE＝∠B＝90°，GF＝12AB，EF＝12EB，
∴∠GFE＝∠C.
∵H是EC的中點，
∴EH＝HC＝12EC，
∴GF＝HC，F(xiàn)H＝FE＋EH＝12EB＋12EC＝12BC＝EC＝CD，
∴△HGF≌△DHC.
∴GH＝HD，∠GHF＝∠HDC.
∵∠HDC＋∠DHC＝90°，
∴∠GHF＋∠DHC＝90°.
∴∠GHD＝90°，∴GH⊥HD；
②∵GH＝HD，GH⊥HD，
∴∠FHG＋∠DHC＝90°.
∵∠FHG＋∠FGH＝90°，∴∠FGH＝∠DHC.
在△FGH和△CHD中，
∠FGH＝∠CHD，∠GFH＝∠HCD，GH＝HD，
∴△GFH≌△HCD.∴FG＝CH.
∵EF＝FG，∴EF＝CH.
∵△EGF與△EAB的相似比是k∶1，BC＝2，
∴BE＝EC＝1，
∴EF＝k，∴CH的長為k.
 
 ,中考考點清單)

 　比例的相關(guān)概念及性質(zhì)
1．線段的比：兩條線段的比是兩條線段的__長度__之比．
2．比例中項：如果ab＝bc，即b2＝__ac__，我們就把b叫做a，c的比例中項．
3．比例的性質(zhì)

性質(zhì) 內(nèi)容
性質(zhì)1 ab＝cd⇔__ad__＝bc(a，b，c，d≠0)．

性質(zhì)2 如果ab＝cd，那么a±bb＝c±dd.

性質(zhì)3 如果ab＝cd＝…＝mn(b＋d＋…＋n≠0)，則a＋c＋…＋mb＋d＋…＋n＝__mn(不唯一)__.

4.黃金分割：如果點C把線段AB分成兩條線段，使ACAB＝__BCAC__，那么點C叫做線段AC的__黃金分割點__，AC是BC與AB的比例中項，AC與AB的比叫做__黃金比__．
 　相似三角形的判定及性質(zhì)
5．定義：對應(yīng)角__相等__，對應(yīng)邊__成比例__的兩個三角形叫做相似三角形，相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比．
6．性質(zhì)：
(1)相似三角形的__對應(yīng)角__相等；
(2)相似三角形的對應(yīng)線段(邊、高、中線、角平分線)成比例；
(3)相似三角形的周長比等于__相似比__，面積比等于__相似比的平方__．
7．判定：
(1)__有兩角__對應(yīng)相等，兩三角形相似；
(2)兩邊對應(yīng)成比例且__夾角__相等，兩三角形相似；
(3)三邊__對應(yīng)成比例__，兩三角形相似；
(4)兩直角三角形的斜邊和一條直角邊__對應(yīng)成比例__，兩直角三角形相似．
【方法技巧】判定三角形相似的幾條思路：
(1)條件中若有平行線，可采用相似三角形的判定(1)；
 (2)條件中若有一對等角，可再找一對等角[用判定(1)]或再找夾邊成比例[用判定(2)]；
(3)條件中若有兩邊對應(yīng)成比例，可找夾角相等；
(4)條件中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證明斜邊、直角邊對應(yīng)成比例；
(5)條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個底角相等，也可找底和腰對應(yīng)成比例．

【易錯警示】應(yīng)注意相似三角形的對應(yīng)邊成比例，若已知△ABC∽△DEF，列比例關(guān)系式時，對應(yīng)字母的位置一定要寫正確，才能得到正確的答案．
如：ABBC＝DEEF，此式正確．那么想一想，哪種情況是錯誤的呢？請舉例說明．

 　相似多邊形
8．定義：對應(yīng)角__相等__，對應(yīng)邊__成比例__的兩個多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做它們的相似比．
9．性質(zhì)：
(1)相似多邊形的對應(yīng)邊__成比例__；
(2)相似多邊形的對應(yīng)角__相等__；
(3)相似多邊形周長的比__等于__相似比，相似多邊形面積的比等于__相似比的平方__．
 　位似圖形
10．定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形而且每組對應(yīng)點的連線交于一點，對應(yīng)邊互相平行(或在同一條直線上)，那么這樣的兩個圖形叫做__位似圖形__，這個點叫做__位似中心__，相似比叫做位似比．
11．性質(zhì)：
(1)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的 比等于__k或－k__；
(2)位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于__位似比或相似比__．
12．找位似中心的方法：將兩個圖形的各組對應(yīng)點連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點，則該點即是__位似中心__．
13．畫位似圖形的步驟：
(1)確定__位似中心__；
(2)確定原圖形的關(guān)鍵點；
(3)確定__位似比__，即要將圖形放大或縮小的倍數(shù)；
(4)作出原圖形中各關(guān)鍵點的對應(yīng)點；
(5)按原圖形的連接順序連接所作的各個對應(yīng)點．

  ,中考重難點突破)
 　比例的性質(zhì)
【例1】已知a5＝b4＝c3，且3a－2b＋c＝20，則2a－4b＋c的值為________．
【解析】比例的性質(zhì)中常見題型，把a，b，c用含有相同字母的式子表達出來，再代入解方程即可．
【答案】－6
 
1．(2018年滄州十三中一模)若x∶y＝1∶3，2y＝3z，則2x＋yz－y的值是(　A　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　

A．－5  B．－103  C.103  D．5
 　相似三角形的判定與性質(zhì)
【例2】(茂名中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，動點M從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒3 cm的速度向點A運動，同時動點N從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒2 cm的速度向點B運動，運動時間為t s0<t<103，連接MN.
(1)如圖①，若△BMN與△ABC相似，求t的值；
(2)如圖②，連接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．
 
【解析】(1)△BMN與△ABC相似，分兩種情況：△BMN∽△BAC和△BMN∽△BCA，得對應(yīng)線段成比例，求得t的值；(2)過點M作MD⊥BC于點D，把BM，DM，BD，CN用t表示后，CD就可用t表示，證得△CAN∽△DCM，得對應(yīng)線段成比例，得關(guān)于t的方程，求出t的值．
【答案】解：(1)由題意知BA＝62＋82＝10(cm)，BM＝3t cm，CN＝2t cm，
∴BN＝(8－2t)cm.
①當(dāng)△BMN∽△BAC時，有BMBA＝BNBC，
∴3t10＝8－2t8，解得t＝2011；
②當(dāng)△BMN∽△BCA時，有BMBC＝BNBA，
∴3t8＝8－2t10，解得t＝3223.
∴當(dāng)△B MN與△ABC相似時，t的值為2011或3223；
(2)如圖②，過點M作MD⊥CB于點D.
由題意得BM＝3t cm，CN＝2t cm，
DM＝BM•s inB＝3t•610＝95t(cm)，
BD＝BM•cosB＝3t•810＝125t(cm)，
∴CD＝8－125tcm.
∵AN⊥CM，∠ACB＝90°，
∴∠CAN＋∠ACM＝90°，∠MCD＋∠ACM＝90°，
∴∠CAN＝∠MCD.
∵MD⊥CB，∴∠MDC＝∠ACB＝90°，
∴△CAN∽△DCM.∴ACCD＝CNDM，
∴68－125t＝2t95t，解得t＝1312.

 
2．如圖，不等 長的兩對角線AC，BD相交于點O，且將四邊形ABCD分成甲、乙、丙、丁四個三角形，若OA ∶OC＝OB∶OD＝1∶2，則關(guān)于這四個三角形的關(guān)系，下列敘述中正確的是(　B　)
 
A．甲、丙相似，乙、丁相似
B．甲、丙相似，乙、丁不相似
C．甲、丙不相似，乙、丁相似
D．甲、丙不相似，乙、丁不相似
3．(自貢中考)如圖，在△ABC中，D，E分別為AB，AC邊的中點，求證：DE?12BC.
 
證明：∵D是AB的中點，E是AC的中點，
∴ADAB＝12，AEAC＝12，
∴ADAB＝AEAC.
又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.
∴ADAB＝DEBC＝12，∠ADE＝∠B，
∴BC＝2DE，BC∥DE，
即DE?12BC.
 　位似圖形
 
【例3】(2018承德二中模擬)如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點O在坐標(biāo)原點，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OA′B′C ′與矩形OABC關(guān)于點O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的14，那么點B′的坐標(biāo)是(　D　)
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(3，－2)或(－2，3)
D．(－2，3)或(2，－3)
【解析】在第二象限與第四象限分別能畫出符合條件的矩形OA′B′C′.
【答案】D
 
4．(2018滄州八中二模)如圖， △OAB與△OCD是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為1∶2，∠OCD＝90°，CO＝CD.若B(1，0)，則點C的坐標(biāo)為(　B　)
 
A．(1，2)
B．(1，1)
C．(2，2)
D．(2，1)
 

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