2018-2019學(xué)年四川省自貢市富順九年級（下）期中數(shù) 學(xué)試卷
一、選擇題（每小題4分，共48分）
1．（4分）與2和為0的數(shù)是（　�。�
A．?2 B．2 C．  D．?
2．（4分）我國第一艘航母“遼寧艦”最大排水量為67500噸，用科學(xué)記數(shù)法表示是（　�。�
 A．0.675×105 B．67.5×103 C．6.75×104 D．6.75×105
3．（4分）一個幾何體的三視圖中有兩個為矩形，則這個幾何體不可能是（　�。�
A．三棱柱 B．四棱柱 C．圓柱 D．球
4．（4分）已知點A（2，y1），B（1，y2），C（?1，y3）在反比例函數(shù)y= 的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（　�。�
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y1＞y3＞y2
5．（4分）某十字路口的交通信號燈每分鐘紅燈亮30秒，綠燈亮25秒，黃燈亮5秒，當你抬頭看信號燈時，是黃燈的概率為（　�。�
A．  B．  C．  D．
6．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，則tanB的值為（　�。�
A．  B．  C．  D．
7．（4分）分式方程 = 的根為（　�。�
A．1 B．2 C．?3 D．3
8．（4分）如圖，A、B兩點在雙曲線y= 上，分別經(jīng)過A、B兩點向軸作垂線段，已知S陰影=1，則S1+S2=（　�。�
 
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（4分）如圖，⊙O與正方形ABCD的各邊分別切于E、F、G、H，點P是弧HG上的一點，則tan∠EPF的值是（　�。�
 
A．1 B．2 C．0.5 D．1.5
10．（4分）如圖，O是矩形ABCD的對角線AC的中點，M是AD的中點，若AB=5，AD=12，則四邊形ABOM的周長為（　�。�
 
A．18 B．20 C．22 D．24
11．（4分）若關(guān)于x的一元二次方程x2?2x+kb+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則一次函數(shù)y=kx+b的大致圖象可能是（　　）
A．  B．  C．  D．
12．（4分）因為sin30°= ，sin210°= ，所以sin210°=sin（180°+30°）=?sin30°；因為sin45°= ，sin225°= ，所以sin225°=sin（180°+45°）=?sin45°，由此猜想，推理知：一般地當α為銳角時有sin（180°+α）=?sinα，由此可知：sin240°=（　�。�
A．  B．  C．  D．
　
二、填空題（每小題4分，共24分）
13．（4分）分解因式ab2?a2b的結(jié)果為　   �。�
14．（4分）一個多邊形的內(nèi)角和是它外角和的2倍，則它的邊數(shù)是　   �。�
15．（4分）不等式2x?1 的解集為　   　．
16．（4分）函數(shù)y= 的自變量x的取值范圍是　   �。�
17．（4分）如圖，要使△ABC與△DBA相似，則只需添加一個適當?shù)臈l件是　   �。ㄌ钜粋�即可）
 
18．（4分）如圖，⊙O是正△ABC的外接圓，點D是弧AC上一點，則∠BDC的度數(shù)是　   　度．
 
　
三、解答題（每小題8分，共32分）
19．（8分）（2017?π）0+（? ）?2?| |?3tan30°．
20．（8分）先化簡，再求值：（ ? ） ，其中x是方程x2?3x+2=0的解．
21．（8分）已知如圖，點M是雙曲線y= 上一點，MN垂直于x軸，垂足是點N，若S△MON=2，求該雙曲線的解析式．
 
22．（8分）如圖，從A地到B地的公路需經(jīng)過C地，圖中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市規(guī)劃的需要，將在A、B兩地之間修建一條筆直的公路．
（1）求改直的公路AB的長（精確到0.1）；
（2）問公路改直后比原來縮短了多少千米（精確到0.1）？
 
　
四、解答題（每小題10分，共20分）
23．（10分）為了培養(yǎng)學(xué)生的興趣，我市某小學(xué)決定再開設(shè)A．舞蹈，B．音樂，C．繪畫，D．書法四個興趣班，為了解學(xué)生對這四個項目的興趣愛好，隨機抽取了部分學(xué)生進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖1，2所示的統(tǒng)計圖，且結(jié)合圖中信息解答下列問題：
 
（1）在這次調(diào)查中，共調(diào)查了多少名學(xué)生？
（2）請將兩幅統(tǒng)計圖補充完整；
（3）若本校一共有2000名學(xué)生，請估計喜歡“音樂”的人數(shù)；
（4）若調(diào)查到喜歡“書法”的4名學(xué)生中有2名男生，2名女生，現(xiàn)從這4名學(xué)生中任意抽取2名學(xué)生，請用畫樹狀圖或列表的方法，求出剛好抽到相同性別的學(xué)生的概率．
24．（10分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，PD切⊙O于點D，過點B作BE垂直于PD，交PD的延長 線于點C，連接AD并延長，交BE于點E．
（1）求證：AB=BE；
（2）若PA=2，cosB= ，求⊙O半徑的長．
 
　
五、解答題（每小題12分，共12分）
25．（12分）如圖，雙曲線y1= 與直線y2=ax+b相交于點A（1，4），B（4，m）．
（1）求雙曲線和直線的解析式；
（2）求△AOB的面積；
（3）根據(jù)圖象直接寫出y1＞y2時自變量x的取值范圍；
（4）P為雙曲線上的一點，過點P作PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，求矩形PMON的最小周長．
 
　
六、解答題（每小題14分，共14分）
26．（14分）矩形OABC在平面直角坐標系中位置如圖所示，A、C兩點的坐標分別為A（6，0），C（0，?3），直線y=? x與BC邊相交于D點．
（1）求點D的坐標；
（2）若拋物線y=ax2? x經(jīng)過點A，試確定此拋物線的表達式；
（3）設(shè)（2）中的拋物線的對稱軸與直線OD交于點M，點P為對稱軸上一動點，以P 、O、M為頂點的三角形與△OCD相似，求符合條件的點P的坐標．
 
　
 

2018-2019學(xué)年四川省自貢市富順九年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
　
一、選擇題（每小題4分，共48分）
1．（4分）與2和為0的數(shù)是（　　）
A．?2 B．2 C．  D．?
【解答】解∵?2+2=0，
∴與2的和為0的數(shù)是?2；
故選A．
　
2．（4分）我國第一艘航母“遼寧艦”最大排水量為67500噸，用科學(xué)記數(shù)法表示是（　　）
A．0.675×105 B．67.5×103 C．6.75×104 D．6.75×105
【解答】解：67500用科學(xué)記數(shù)法表示為：6.75×104．
故選：C．
　
3．（4分）一個幾何體的三視圖中有兩個為矩形，則這個幾何體不可能是（　　）
A．三棱柱 B．四棱柱 C．圓柱 D．球
【解答】解：三棱柱的三視圖中可能有兩個為矩形，一個三角形；四棱柱的三視圖中可能有兩個為矩形，一個四邊形；圓柱的三視圖中有兩個為矩形，一個圓；球的三視圖都為圓．
故選D．
　
4．（4分）已知點A（2，y1），B（1，y2），C（?1，y3）在反比例函數(shù)y= 的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（　�。�
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y1＞y3＞y2
【解答】解：∵點A（2，y1），B（1，y2），C（?1，y3）都在反比例函數(shù)y= 的圖象上，
∴y1= =1；y2= =2；y3= =?2，
∵2＞1＞?2，
∴y2＞y1＞y3．
故選B．
　
5．（4分）某十字路口的交通信號燈每分鐘紅燈亮30秒，綠燈亮25秒，黃燈亮5秒，當你抬頭看信號燈時，是黃燈的概率為（　�。�
A．  B．  C．  D．
【解答】解：抬頭看信號燈時，是黃燈的概率為：
5÷（30+25+5）
=5÷60
=
故選：A．
　
6．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，則tanB的值為（　　）
A．  B．  C．  D．
【解答】解：∵sinA= ，
∴設(shè)BC=5x，AB=13x，
則AC= =12x，
故tan∠B= = ．
故選：D．
 
　
7．（4分）分式方程 = 的根為（　�。�
A．1 B．2 C．?3 D．3
【解答】解：去分母得：x+3=3x?3，
解得：x=3，
經(jīng)檢驗x=3是分式方程的解，
故選D
　
8．（4分）如圖，A、B兩點在雙曲線y= 上，分別經(jīng)過A、B兩點向軸作垂線段，已知S陰影=1，則S1+S2=（　�。�
 
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵點A、B是雙曲線y= 上的點，分別經(jīng)過A、B兩點向x軸、y軸作垂線段，
則根據(jù)反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)得兩個矩形的面積都等于|k|=4，
∴S1+S2=4+4?1×2=6．
故選：D．
　
9．（4分）如圖，⊙O與正方形ABCD的各邊分別切于E、F、G、H，點P是弧HG上的一點，則tan∠EPF的值是（　�。�
 
A．1 B．2 C．0.5 D．1.5
【解答】解：連接HF，EG，F(xiàn)G，
∵⊙O與正方形ABCD的各邊分別相切于點E、F、G、H，
∴四邊形AEOH是正方形，
∴FH⊥EG，
∵OG=OF，
∴∠OGF=45°，
∵∠EPF=∠OGF，
∴tan∠EPF=tan45°=1，
故選A．
 
　
10．（4分）如圖，O是矩形ABCD的對角線AC的中點，M是AD的中點，若AB=5，AD=12，則四邊形ABOM的周長為（　�。�
 
A．18  B．20 C．22 D．24
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=5，AD=12，
∴BC=AD=12，CD=AB=5，∠ABC=90°，OA=OC，
∴AC= =13，
∴OB=OA=OC= AC=6.5，
∵M是AD的中點，
∴OM= CD=2.5，AM= AD=6，
∴四邊形ABOM的周長為：AB+OB+OM+AM=5+6.5+2.5+6=20．
故選B．
　
11．（4分）若關(guān)于x的一元二次方程x2?2x+kb+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則一次函數(shù)y=kx+b的大致圖象可能是（　�。�
A．  B．  C．  D．
【解答】解：∵x2?2x+kb+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴△=4?4 （kb+1）＞0，
解得kb＜0，
A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正確；
B．k＞0，b＜ 0，即kb＜0，故B正確；
C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正確；
D．k＜0，b=0，即kb=0，故D不正確；
故選：B．
　
12．（4分）因為sin30°= ，sin210°= ，所以sin210°=sin（180°+30°）=?sin30°；因為sin45°= ，sin225°= ，所以sin225°=sin（180°+45°）=?sin45°，由此猜想，推理知：一般地當α為銳角時有sin（180°+α）=?sinα，由此可知：sin240°=（　　）
A．  B．  C．  D．
【解答】解：∵當α為銳角時有sin（180°+α）=?sinα，
∴sin240°=sin（180°+60°）= ?sin60°=? ．
故選C．
　
二、填空題（每小題4分，共24分）
13．（4分）分解因式ab2?a2b的結(jié)果為　ab（3b?a）�。�
【解答】解：ab2?a2b=ab（3b?a），
故答案為：ab（3b?a）．
　
14．（4分）一個多邊形的內(nèi)角和是它外角和的2倍，則它的邊數(shù)是　6�。�
【解答】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n，
根據(jù)題意得，（n?2）•180°=2×360°，
解得n=6．
答：這個多邊形的邊數(shù)是6．
故答案為：6．
　
15．（4分）不等式2x?1 的解集為　x≤1�。�
【解答】解：2x?1 ，
去分母得：2（2x?1）≤3x?1，
去括號得：4x?2≤3x?1，
移項合并得：x≤1．
　
16．（4分）函數(shù)y= 的自變量x的取值范圍是　x≥1�。�
【解答】解：根據(jù)題意得，x?1≥0，
解得x≥1．
故答案為x≥1．
　
17．（4分）如圖，要使△ABC與△DBA相似，則只需添加一個適當?shù)臈l件是　∠C=∠BAD�。ㄌ钜粋�即可）
 
【解答】解：∵∠B=∠B（公共角），
∴可添加：∠C=∠BAD．
此時可利用兩角法證明△ABC與△DBA相似．
故答案可為：∠C=∠BAD．
　
18．（4分）如圖，⊙O是正△ABC的外接圓，點D是弧AC上一點，則∠BDC的度數(shù)是　60　度．
 
【解答】解：∵△ABC是正三角形，
∴∠BAC=60°；
由圓周角定理，得：∠BDC=∠A=60°．
　
三、解答題（每小題8分，共32分）
19．（8分）（2017?π）0+（? ）?2?| |?3tan30°．
【解答】解：原式=1+9?（2? ）?3× ，
=1+9?2+ ? ，
=8．
　
20．（8分）先化簡，再求值：（ ? ） ，其中x是方程x2?3x+2=0的解．
【解答】解：（ ? ）
= 
=2?0.5x
∵x是方程x2?3x+2=0的解，
∴x=1或x=2，
∵x=2時，x?2=0，
∴x=1，
∴原式=2?0.5×1=1.5．
　
21．（8分）已知如圖，點M是雙曲線y= 上一點，MN垂直于x軸，垂足是點N，若S△MON=2，求該雙曲線的解析式．
 
【解答】解：∵MN垂直于x軸，
∴S△OMN= |k|，
∴ |k|=2，
而k＜0，
 ∴k=?4，
∴該雙曲線的解析式為y=? ．
　
22．（8分）如圖，從A地到B地的公路需經(jīng)過C地，圖中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市規(guī)劃的需要，將在A、B兩地之間修建一條筆直的公路．
（1）求改直的公路AB的長（精確到0.1）；
（2）問公路改直后比原來縮短了多少千米（精確到0.1）？
 
【解答】解：（1）作CH⊥AB于H．
∵AC=10千米，∠CAB=25°，
∴在Rt△ACH中，CH=AC•sin∠CAB=10•sin25°≈4.23（千米），
AH=AC•cos∠CAB=10•cos25°≈9.06（千米）．
∵∠CBA=37°，
∴在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=4.23÷tan37°≈5.61（千米），
∴AB=AH+BH=9.06+5.61=14.67≈14.7（千米）．
∴改直的公路AB的長14.7千米；

（2）在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=4.23÷sin37 °≈7.03（千米），
則AC+BC?AB=10+7.03?14.7≈2.3（千米）．                         
答：公路改直后比原來縮短了2.3千米．
 
　
四、解答題（每小題10分，共20分）
23．（10分）為了培養(yǎng)學(xué)生的興趣，我市某小學(xué)決定再開設(shè)A．舞蹈，B．音樂，C．繪畫，D．書法四個興趣班，為了解學(xué)生對這四個項目的興趣愛好，隨機抽取了部分學(xué)生進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖1，2所示的統(tǒng)計圖，且結(jié)合圖中信息解答下列問題：
 
（1）在這次調(diào)查中，共調(diào)查了多少名學(xué)生？
（2）請將兩幅統(tǒng)計圖補充完整；
（3）若本校一共有2000名學(xué)生，請估計喜歡“音樂”的人數(shù)；
（4）若調(diào)查到喜歡“書法”的4名學(xué)生中有2名男生，2名女生，現(xiàn)從這4名學(xué)生中任意抽取2名學(xué)生，請用畫樹狀圖或列表的方法，求出剛好抽到相同性別的學(xué)生的概率．
【解答】解：（1）120÷40%=300（名），
所以在這次調(diào)查中，共調(diào)查了300名學(xué)生；
（2）B類學(xué)生人數(shù)=300?90?120?30=60（名），
A類人數(shù)所占百分比= ×100%=30%；B類人數(shù)所占百分比= ×100%=20%；
統(tǒng)計圖為：
 
（3）2000×20%=400（人），
所以估計喜歡“音樂”的人數(shù)約為400人；
（4）畫樹狀圖為：
 
共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中相同性別的學(xué)生的結(jié)果數(shù)為4，
所以相同性別的學(xué)生的概率= = ．
　
24．（10分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，PD切⊙O于點D，過點B作BE垂直于PD，交PD的延長線于點C，連接AD并延長，交BE于點E．
（1）求證：AB=BE；
（2）若PA=2，cosB= ，求⊙O半徑的長．
 
【解答】（1）證明：連接OD，
∵PD切⊙O于點D，
∴OD⊥PD，
∵BE⊥PC，
∴OD∥BE，
∴∠ADO=∠E，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD=∠E，
∴AB=BE；

（2）解：由（1）知，OD∥BE，
∴∠POD=∠B，
∴cos∠POD=cosB= ，
在Rt△POD中，cos∠POD= = ，
∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，
∴ ，
∴OA=3，
∴⊙O半徑=3．
 
　
五、解答題（每小題12分，共12分）
25．（12分）如圖，雙曲線y1= 與直線y2=ax+b相交于點A（1，4），B（4，m）．
（1）求雙曲線和直線的解析式；
（2）求△AOB的面積；
（3）根據(jù)圖象直接寫出y1＞y2時自變量x的取值范圍；
（4）P為雙曲線上的一點，過點P作PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于 點N，求矩形PMON的最小周長．
 
【解答】解：（1）把點A（1，4）代入雙曲線y1= ，可得
k=1×4=4，
∴雙曲線的解析式為y= ；
把B（4，m）代入反比例函數(shù)，可得
4m=4，
∴m=1，
∴B（4，1），
把A（1，4），B（4，1）代入直線解析式，可得
 ，
解得 ，
∴直線解析式為y=?x+5．
（2）如圖，過A作AD⊥OC于D，過B作BE⊥OC于E，
則△AOD的面積=△BOC的面積= ×4=2；
∴△AOB的面積
=梯形ABED的面積+△AOD的面積?△BOC的面積
=梯形ABED的面積
= ×（1+4）（4?1）
= ；
（3）由圖可得，當y1＞y2時，自變量x的取值范圍為：0＜x＜1或x＞4；
（4）設(shè)點P的坐標為（x， ）（x＞0），則
PM= ，PN=x，
∴矩形PMON的周長=2（x+ ）= ，
∵x＞0，
∴當x=2時，矩形PMON的周長最小值為8．
 
　
六、解答題（每小題14分，共14分）
26．（14分）矩形OABC在平面直角坐標系中位置如圖所示，A、C兩點的坐標分別為A（6，0），C（0，?3），直線y=? x與BC邊相交于D點．
（1）求點D的坐標；
（2）若拋物線y=ax2? x經(jīng)過點A，試確定此拋物線的表達式；
（3）設(shè)（2）中的拋物線的對稱軸與直線OD交于點M，點P為對稱軸上一動點，以P、O、M為頂點的三角形與△OCD相似，求符合條件的點P的坐標．
 
【解答】解：（1）∵直線y=? x與BC邊相交于D點，知D點縱坐標為?3，
∴代入直線得點D的坐標為（4，?3）．（2分）

（2）∵A（6，0）在拋物線上，代入拋物線的表達式得a= ，
∴y= x2? x．（4分）

（3）拋物線的對稱軸與x軸的交點P1符合條件．
∵OA∥CB，
∴∠P1OM=∠CDO．
∵∠OP1 M=∠DCO=90°，
∴Rt△P1OM∽Rt△CDO．（6分）
∵拋物線的對稱軸x=3，
∴點P1的坐標為P1（3，0）．（7分）
過點O作OD的垂線交拋物線的對稱軸于點P2．
∵對稱軸平行于y軸，
∴∠P2MO=∠DOC．
∵∠P2OM=∠DCO=90°，
∴Rt△P2MO∽Rt△DOC．（8分）
∴點P2也符合條件，∠OP2M=∠ODC．
∴P1O=CO=3，∠P2P1O=∠DCO=90°，
∴Rt△P2P1O≌Rt△DCO．（9分）
∴P1P2=CD=4．
∵點P2在第一象限，
∴點P2的坐標為P2（3，4），
∴符合條件的點P有兩個，分別是P1（3，0），P2（3，4）．（11分）

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