來
源

22、（2013•寧波）若一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，我們把這條對(duì)角線叫這個(gè)四邊形的和諧線，這個(gè)四邊形叫做和諧四邊形．如菱形就是和諧四邊形．
（1）如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求證：BD是梯形ABCD的和諧線；
（2）如圖2，在12×16的網(wǎng)格圖上（每個(gè)小正方形的邊長為1）有一個(gè)扇形BAC，點(diǎn)A．B．C均在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)诖痤}卷給出的兩個(gè)網(wǎng)格圖上各找一個(gè)點(diǎn)D，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形的兩條對(duì)角線都是和諧線，并畫出相應(yīng)的和諧四邊形；
（3）四邊形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四邊形ABCD的和諧線，求∠BCD的度數(shù)．

考點(diǎn)：四邊形綜合題．
分析：（1）要證明BD是四邊形ABCD的和諧線，只需要證明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；
（2）根據(jù)扇形的性質(zhì)弧上的點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離相等，只要D在 上任意一點(diǎn)構(gòu)成的四邊形ABDC就是和諧四邊形；連接BC，在△BAC外作一個(gè)以AC為腰的等腰三角形ACD，構(gòu)成的四邊形ABCD就是和諧四邊形，
（3）由AC是四邊形ABCD的和諧線，可以得出△ACD是等腰三角形，從圖4，圖5，圖6三種情況運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和30°的直角三角形性質(zhì)就可以求出∠BCD的度數(shù)．
解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ADB，
∴△ADB是等腰三角形．
在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，
∴∠BDC=∠C=75°，
∴△BCD為等腰三角形，
∴BD是梯形ABCD的和諧線；

（2）由題意作圖為：圖2，圖3

（3）∵AC是四邊形ABCD的和諧線，
∴△ACD是等腰三角形．
∵AB=AD=BC，
如圖4，當(dāng)AD=AC時(shí)，
∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC
∴△ABC是正三角形，
∴∠BAC=∠BCA=60°．
∵∠BAD=90°，
∴∠CAD=30°，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∴∠BCD=60°+75°=135°．
如圖5，當(dāng)AD=CD時(shí)，
∴AB=AD=BC=CD．
∵∠BAD=90°，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°
如圖6，當(dāng)AC=CD時(shí)，過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，過點(diǎn)B作BF⊥CE于F，
∵AC=CD．CE⊥AD，
∴AE=AD，∠ACE=∠DCE．
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，
∴四邊形ABFE是矩形．
∴BF=AE．
∵AB=AD=BC，
∴BF=BC，
∴∠BCF=30°．
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC．
∵AB∥CE，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°，
∴∠BCD=15°×3=45°．


點(diǎn)評(píng)：本題是一道四邊形的綜合試題，考查了和諧四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，和諧四邊形的判定，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，30°的直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用．解答如圖6這種情況容易忽略，解答時(shí)合理運(yùn)用分類討論思想是關(guān)鍵．

23、(2013年南京壓軸題)對(duì)于兩個(gè)相似三角形，如果沿周界按對(duì)應(yīng)點(diǎn)順序環(huán)繞的方向相同，那么稱這兩個(gè)三角形互為順相似；如果沿周界按對(duì)應(yīng)點(diǎn)順序環(huán)繞的方向相反，那么稱這兩個(gè)三角形互為逆相似。例如，如圖，△ABC～△A’B’C’且沿周界ABCA與A’B’C’A’環(huán)繞的方向相同，因此△ABC 與△A’B’C’互為順相似；如圖，△ABC～△A’B’C’，且沿周界ABCA與 A’B’C’A’環(huán)繞的方向相反，因此△ABC 與△A’B’C’互為逆相似。

(1) 根據(jù)圖I、圖II和圖III滿足的條件，可得下列三對(duì)相似三角形： △ADE與△ABC；
 △GHO與△KFO； △NQP與△NQ。其中，互為順相似的是 ；互為逆相似的是 。(填寫所有符合要求的序號(hào))
(2) 如圖，在銳角△ABC中，A<B<C，點(diǎn)P在△ABC的邊上(不與點(diǎn)A、B、C重
合)。過點(diǎn)P畫直線截△ABC，使截得的一個(gè)三角形與△ABC互為逆相似。請(qǐng)根據(jù)點(diǎn)P的不同位置，探索過點(diǎn)P的截線的情形，畫出圖形并說明截線滿足的條件，不必說明
理由。
解析：

(1) ； (4分)
(2) 解：根據(jù)點(diǎn)P在△ABC邊上的位置分為以下三種情況。
第一種情況：如圖，點(diǎn)P在BC(不含點(diǎn)B、C)上，過點(diǎn)P只能畫出2條截線PQ1、
PQ2，分別使CPQ1=A，BPQ2=A，此時(shí)△PQ1C、△PBQ2都與△ABC互為逆相似。
第二種情況：如圖，點(diǎn)P在AC(不含點(diǎn)A、C)上，過點(diǎn)B作CB=A，B交AC
于點(diǎn)。
當(dāng)點(diǎn)P在A(不含點(diǎn))上時(shí)，過點(diǎn)P1只能畫出1條截線P1Q，使AP1Q=ABC，此
時(shí)△AP1Q與△ABC互為逆相似；
當(dāng)點(diǎn)P在C上時(shí)，過點(diǎn)P2只能畫出2條截線P2Q1、P2Q2，分別使AP2Q1=ABC，
CP2Q2=ABC，此時(shí)△AP2Q1、△Q2P2C都與△ABC互為逆相似。

第三種情況：如圖，點(diǎn)P在AB(不含點(diǎn)A、B)上，過點(diǎn)C作BCD=A，ACE=B，
CD、CE分別交AC于點(diǎn)D、E。
當(dāng)點(diǎn)P在AD(不含點(diǎn)D)上時(shí)，過點(diǎn)P只能畫出1條截線P1Q，使AP1Q=ABC，此時(shí)
△AQP1與△ABC互為逆相似；
當(dāng)點(diǎn)P在DE上時(shí)，過點(diǎn)P2只能畫出2條截線P2Q1、P2Q2，分別使AP2Q1=ACB，
BP2Q2=BCA，此時(shí)△AQ1P2、△Q2BP2都與△ABC互為逆相似；
當(dāng)點(diǎn)P在BE(不含點(diǎn)E)上時(shí)，過點(diǎn)P3只能畫出1條截線P3Q’，使BP3Q’=BCA，
此時(shí)△Q’BP3與△ABC互為逆相似。 (10分)

24、（綿陽市2013年壓軸題）我們知道，三角形的三條中線一定會(huì)交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性質(zhì)，如在關(guān)線段比．面積比就有一些“漂亮”結(jié)論，利用這些性質(zhì)可以解決三角形中的若干問題。請(qǐng)你利用重心的概念完成如下問題：
（1）若O是△ABC的重心（如圖1），連結(jié)AO并延長交BC于D，證明： ；
（2）若AD是△ABC的一條中線（如圖2），O是AD上一點(diǎn)，且滿足 ，試判斷O是△ABC的重心嗎？如果是，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)說明理由；
（3）若O是△ABC的重心，過O的一條直線分別與AB、AC相交于G、H（均不與△ABC的頂點(diǎn)重合）（如圖3），S四邊形BCHG．S△AGH分別表示四邊形BCHG和△AGH的面積，試探究 S四邊形BCGHS△AGH 的最大值。

解：（1）證明：如圖1，連結(jié)CO并延長交AB于點(diǎn)P，連結(jié)PD。
∵點(diǎn)O是△ABC的重心，
∴P是AB的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，PD是△ABC的中位線，AC=2PD， AC // PD，
∠DPO=∠ACO，∠PDO=∠CAO，
△OPD∽△CA，ODAO = PDAC = 12 , ADAO = OD+OAOA= 1+22= 32 ,∴AOAD = 23 ；
（2）點(diǎn)O是是△ABC的重心。
證明：如圖2，作△ABC的中線CP，與 AB邊交于點(diǎn)P，與△ABC的另一條中線AD交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q是△ABC的重心，根據(jù)（1）中的證明可知 AQAD = 23 ，
而 AOAD = 23 ，點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合（是同一個(gè)點(diǎn)），所以點(diǎn)O是△ABC的重心；
（3）如圖3，連結(jié)CO交AB于F，連結(jié)BO交AC于E，過點(diǎn)O分別作AB、AC的平行線O、ON，分別
與AC、AB交于點(diǎn)、N，
∵點(diǎn)O是△ABC的重心，
∴ OEBE = 13 ， OFCF = 13 ,
∵ 在△ABE中，O//AB，OAB = OEBE = 13 ，O = 13 AB，
在△ACF中，ON//AC，ONAC = OFCF = 13 ，ON = 13 AC，
在△AGH中，O//AH，OAG = OHGH ，
在△ACH中，ON//AH，ONAH = OGGH ，
∴ OAG + ONAH = OHGH +OGGH =1， 13ABAG + 13ACAH =1, ABAG + ACAH = 3 ,
令A(yù)BAG = , ACAH = n , =3-n,
∵ S四邊形BCGHS△AGH = S△ABC-S△AGHS△AGH ,
S四邊形BCGHS△AGH = 12AB•AC•sin∠BAC- 12 AG•AH•sin∠BAC 12 AG•AH•sin∠BAC =AB•AC-AG•AH AG•AH
= AB•ACAG•AH -1= n-1=(3-n)n-1= -n2 +3n-1= -(n- 32 )2 + 54 ,
∴ 當(dāng) ACAH = n = 32 ，GH//BC時(shí)， S四邊形BCGHS△AGH 有最大值 54 。
附：BGAG + CHAH=1 或 ABAG + ACAH=3 的另外兩種證明方法的作圖。
方法一：分別過點(diǎn)B、C作AD的平行線BE、CF，分別交直線GH于點(diǎn)E、F。
方法二：分別過點(diǎn)B、C、A、D作直線GH的垂線，垂足分別為E、F、N、。

下面的圖解也能說明問題：

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本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/chusan/123351.html

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