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2012-2013學(xué)年遼寧省朝陽市建平縣九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
　
一、精心選一選（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
1．（3分）下面四幅圖是兩個物體不同時刻在太陽光下的影子，按照時間的先后順序正確的是（　�。�

　A．A⇒B⇒C⇒DB．D⇒B⇒C⇒AC．C⇒D⇒A⇒BD．A⇒C⇒B⇒D

考點：平行投影．
分析：解：根據(jù)平行投影的特點和規(guī)律可知，C，D是上午，A，B是下午，根據(jù)影子的長度可知先后為C→D→A→B．
解答：解：根據(jù)平行投影的特點和規(guī)律可知，C，D是上午，A，B是下午，
根據(jù)影子的長度可知先后為C→D→A→B．
故選C．
點評：本題考查平行投影的特點和規(guī)律．在不同時刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同，不同時刻物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚物體的指向是：西?西北?北?東北?東，影長由長變短，再變長．
　
2．（3分）已知直角三角形的兩邊長是方程x2?7x+12=0的兩根，則第三邊長為（　　）
　A．7B．5C． D．5或

考點：勾股定理；解一元二次方程-因式分解法．
專題：分類討論．
分析：求出方程的解，得出直角三角形的兩邊長，分為兩種情況：①當(dāng)3和4是兩直角邊時，②當(dāng)4是斜邊，3是直角邊時，根據(jù)勾股定理求出第三邊即可．
解答：解：x2?7x+12=0，
（x?3）（x?4）=0，
x?3=0，x?4=0，
解得：x1=3，x2=4，
即直角三角形的兩邊是3和4，
當(dāng)3和4是兩直角邊時，第三邊是 =5；
當(dāng)4是斜邊，3是直角邊時，第三邊是 = ，
即第三邊是5或 ，
故選D．
點評：本題考查了解一元二次方程和勾股定理，注意：解此題時要進(jìn)行分類討論．
　
3．（3分）已知x=3是關(guān)于x的方程 x2?2a+1=0的一個解，則2a的值是（　�。�
　A．11B．?6.5C．13D．?13

考點：一元二次方程的解．
專題：．
分析：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值；即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立；將x=3代入原方程即可求得2a的值．
解答：解：把x=3代入原方程得： ×9?2a+1=0，
∴2a=13；
故選C．
點評：本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義．
　
4．（3分）下列命題中錯誤的（　�。�
　A．一對鄰角互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形
　B．一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形
　C．等腰梯形的對角線相等
　D．平行四邊形的對角線互相平分

考點：命題與定理．
分析：利用梯形可對A進(jìn)行判斷；根據(jù)平行四邊形的判定方法對B進(jìn)行判斷；根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)對C進(jìn)行判斷；根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)對D進(jìn)行判斷．
解答：解：A、直角梯形的一對鄰角互補(bǔ)，所以A選項的命題為假命題；
B、一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形，所以B選項為真命題；
C、等腰梯形的對角線相等，所以C選項為真命題；
D、平行四邊形的對角線互相平分，所以D選項為真命題．
故選A．
點評：本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理．
　
5．（3分）（2007•洞頭縣二模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y=6?x與函數(shù) （x＞0）的圖象相交于點A、B，設(shè)A點的坐標(biāo)為（x1，y1），那么長為x1，寬為y1的矩形面積和周長分別是（　�。�

　A．4，12B．4，6C．8，12D．8，6

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．
專題：探究型．
分析：先根據(jù)兩函數(shù)圖象的交點在第一象限可知x＞0，y＞0，再根據(jù)兩函數(shù)有交點可列出關(guān)于x、y的方程組，求出x，y的值，再根據(jù)矩形的面積及周長公式進(jìn)行解答即可．
解答：解：∵兩函數(shù)圖象的交點在第一象限，
∴x＞0，y＞0，
∴ ，
∴ =6?x，
∴x2?6x+4=0，
解得x=3± ，
∵A在B的左邊，
∴x=3? ，y=3+ ，即A（3? ，3+ ），
∴矩形的面積=（3? ）（3+ ）=4；
矩形的周長=2（3? ）+2（3+ ）=12．
故選A．
點評：本題考查的是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，根據(jù)題意得出關(guān)于x、y的方程組是解答此題的關(guān)鍵．
　
6．（3分）如果點A（?1，y1）、B（1，y2）、C（ ，y3）是反比例函數(shù) 圖象上的三個點，則下列結(jié)論正確的是（　　）
　A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y2

考點：反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．
分析：根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的符號可得反比例函數(shù)所在象限為二、四，其中在第四象限的點的縱坐標(biāo)總小于在第二象限的縱坐標(biāo)，進(jìn)而判斷在同一象限內(nèi)的點B和點C的縱坐標(biāo)的大小即可．
解答：解：∵反比例函數(shù)的比例系數(shù)為?1，
∴圖象的兩個分支在二、四象限；
∵第四象限的點的縱坐標(biāo)總小于在第二象限的縱坐標(biāo)，點A在第二象限，點B、C在第四象限，
∴y1最大，
∵1＞ ，y隨x的增大而增大，
∴y2＞y3，
∴y1＞y2＞y3．
故選A．
點評：考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；用到的知識點為：反比例函數(shù)的比例系數(shù)小于0，圖象的2個分支在二、四象限；第四象限的點的縱坐標(biāo)總小于在第二象限的縱坐標(biāo)；在同一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．
　
7．（3分）在聯(lián)歡晚會上，有A、B、C三名同學(xué)站在一個三角形的三個頂點位置上，他們在玩搶凳子游戲，要求在他們中間放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢迷凇鰽BC的（　�。�
　A．三邊中線的交點B．三條角平分線的交點
　C．三邊上高的交點D．三邊中垂線的交點

考點：線段垂直平分線的性質(zhì)．
專題：．
分析：為使游戲公平，要使凳子到三個人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等可知，要放在三邊中垂線的交點上．
解答：解：利用線段垂直平分線的性質(zhì)得：要放在三邊中垂線的交點上．
故選D．
點評：本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用；利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實際問題是一種能力，要注意培養(yǎng)．想到要使凳子到三個人的距離相等是正確解答本題的關(guān)鍵．
　
8．（3分）（2009•荊州）如圖，將邊長為8cm的正方形ABCD折疊，使點D落在BC邊的中點E處，點A落在F處，折痕為MN，則線段CN長是（　�。�

　A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm

考點：勾股定理；翻折變換（折疊問題）．
專題：壓軸題．
分析：根據(jù)折疊的性質(zhì)，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若設(shè)CN=x，則DN=NE=8?x，CE=4cm，根據(jù)勾股定理就可以列出方程，從而解出CN的長．
解答：解：設(shè)CN=xcm，則DN=（8?x）cm，由折疊的性質(zhì)知EN=DN=（8?x）cm，
而EC= BC=4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8?x）2=16+x2，
整理得16x=48，所以x=3．
故選A．
點評：折疊問題其實質(zhì)是軸對稱，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，通常用勾股定理解決折疊問題．
　
二、認(rèn)真填一填：（本大題共8小題，每小題3分，共24分．）
9．（3分）已知 是關(guān)于x的方程：x2?6x+a=0的一個解，則2a?1的值是　13�。�

考點：一元二次方程的解．
分析：把x= 代入關(guān)于x的方程x2?6x+a=0，列出關(guān)于a的方程，通過解該方程來求得a的值，然后把a(bǔ)的值代入所求的代數(shù)式并求值即可．
解答：解：由題意，得
（3? ）2?6（3? ）+a=0，即?7+a=0，
解得a=7，
則2a?1=2×7?1=13．
故答案是：13．
點評：本題主要考查了方程的解的定義．方程的根即方程的解，就是能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
　
10．（3分）在一個有40萬人口的縣，隨機(jī)調(diào)查了3000人，其中有2130人看中央電視臺的《焦點訪談》，在該縣隨便問一個人，他看《焦點訪談》的概率大約是　 �。�

考點：概率公式．
專題：．
分析：根據(jù)隨機(jī)事件概率大小的求法，找準(zhǔn)兩點：①符合條件的情況數(shù)目；②全部情況的總數(shù)．
二者的比值就是其發(fā)生的概率的大�。�
解答：解：由題意知：3000人中有2130人看中央電視臺的《焦點訪談》，
∴在該縣隨便問一個人，他看《焦點訪談》的概率大約是 = ．
故答案為： ．
點評：此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）= ．
　
11．（3分）菱形有一個內(nèi)角為60°，較短的對角線長為6，則它的面積為　18 �。�

考點：菱形的性質(zhì)．
分析：根據(jù)菱形對角線垂直且互相平分，且每條對角線平分它們的夾角，即可得出菱形的另一一條對角線長，再利用菱形的面積公式求出即可．
解答：解：如圖所示：∵菱形有一個內(nèi)角為60°，較短的對角線長為6，
∴設(shè)∠BAD=60°，BD=6，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠BAC=∠DAC=30°，DO=BO=3，
∴AO= =3 ，
∴AC=6 ，
則它的面積為： ×6×6 =18 ．
故答案為：18 ．

點評：此題主要考查了菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的面積公式以及對角線之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
　
12．（3分）（2012•臨邑縣一模）依次連接菱形各邊中點所得到的四邊形是　矩形　．

考點：矩形的判定；平行線的性質(zhì)；三角形中位線定理；平行四邊形的判定；菱形的性質(zhì)．
專題：證明題．
分析：連接AC、BD交于O，根據(jù)三角形的中位線定理推出EF∥BD∥HG，EH∥AC∥FG，得出四邊形EFGH是平行四邊形，根據(jù)菱形性質(zhì)推出AC⊥BD，推出EF⊥EH，即可得出答案．
解答：解：
連接AC、BD交于O，
∵E、F、G、H分別是AB、AD、CD、BC的中點，
∴EF∥BD，F(xiàn)G∥AC，HG∥BD，EH∥AC，
∴EF∥HG，EH∥FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵EF∥BD，EH∥AC，
∴EF⊥EH，
∴∠FEH=90°，
∴平行四邊形EFGH是矩形，
故答案為：矩形．
點評：本題考查了矩形的判定，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，平行線性質(zhì)等知識點的運(yùn)用，主要考查學(xué)生能否正確運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理，題目比較典型，難度適中．
　
13．（3分）如圖，是一個幾何體的三視圖，那么這個幾何體是　空心的圓柱�。�

考點：由三視圖判斷幾何體．
分析：兩個視圖是矩形，一個視圖是個圓環(huán)，那么符合這樣條件的幾何體是空心圓柱．
解答：解：如圖，該幾何體的三視圖中兩個視圖是矩形，一個視圖是個圓環(huán)，故該幾何體為空心圓柱．
點評：本題考查由三視圖確定幾何體的形狀，主要考查學(xué)生空間想象能力及對立體圖形的認(rèn)知能力．
　
14．（3分）用配方法將二次三項式x2+4x?96變形，結(jié)果為�。▁+2）2?100　．

考點：配方法的應(yīng)用．
專題：計算題．
分析：前兩項加上4再減去4變形，利用完全平方公式化簡即可得到結(jié)果．
解答：解：x2+4x?96=x2+4x+4?100=（x+2）2?100．
故答案為：（x+2）2?100
點評：此題考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
　
15．（3分）（2009•安順）如圖，若將四根木條釘成的矩形木框變成平行四邊形ABCD的形狀，并使其面積為矩形面積的一半，則這個平行四邊形的最小內(nèi)角等于　30　度．

考點：平行四邊形的性質(zhì)．
專題：計算題；壓軸題．
分析：要使其面積為矩形面積的一半，平行四邊形ABCD的高必須是矩形寬的一半，根據(jù)直角三角形中30°的角對的直角邊等于斜邊的一半可知，這個平行四邊形的最小內(nèi)角等于30度．
解答：
解：∵平行四邊形的面積為矩形的一半且同底BC，
∴平行四邊形ABCD的高AE是矩形寬AB的一半．
在直角三角形ABE中，AE= AB，
∴∠ADC=30°．
故答案為30．
點評：主要考查了平行四邊形的面積公式和基本性質(zhì)．平行四邊形的面積等于底乘高．
　
16．（3分）如圖，一個正方形擺放在桌面上，則正方形的邊長為　 　．

考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．
分析：標(biāo)注字母，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，∠BAD=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用“角角邊”字母△ABE和△DAF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=DF，再利用勾股定理列式計算即可得解．
解答：解：如圖，由正方形可得，AB=AD，∠BAD=90°，
∠1+∠2=180°?90°=90°，
∵BE⊥AE，
∴∠2+∠3=180°?90°=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AE=DF=1，
在Rt△ABE中，AB= = = ，
即正方形的邊長為 ．
故答案為： ．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，利用三角形全等，把長度為1、2的邊轉(zhuǎn)化為一個直角三角形的兩直角邊是解題的關(guān)鍵．
　
三、細(xì)心做一做（17題每小題12分共12分18題8分）
17．（12分）（1）解方程：
（2）解方程：x2+4x?6=0．

考點：解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-配方法．
分析：（1）求出b2?4ac的值，再代入公式求出即可；
（2）求出b2?4ac的值，再代入公式求出即可．
解答：解：（1） ，
b2?4ac=（?2 ）2?4×2×1=4，
x= ，
x1= ，x2= ．（2）x2+4x?6=0，
b2?4ac=42?4×1×（?6）=40，
x= ，
x1=?2+ ，x2=?2? ．
點評：本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計算能力．
　
18．（8分）如圖，一墻墩（用線段AB表示）的影子是BC，小明（用線段DE表示）的影子是EF，在M處有一顆大樹，它的影子是MN．
（1）試判斷是路燈還是太陽光，如果是路燈確定路燈的位置（用點P表示）．如果是太陽光請畫出光線．
（2）在圖中畫出表示大樹高的線段．
（3）若小明的眼睛近似地看成是點D，試畫圖分析小明能否看見大樹．

考點：平行投影；視點、視角和盲區(qū)．
分析：（1）根據(jù)光線相交于一點得出確定路燈的位置；
（2）利用AB，DE，確定大樹的高，
（3）運(yùn)用視角連接AD，即可得出能否看見大樹．
解答：解：（1）根據(jù)光線相交于一點，即可得出路燈確定路燈的位置；
（2）如圖所示：
（3）如圖所示，小明的眼睛近似地看成是點D，小明不能看見大樹．

點評：此題主要考查了平行投影與中心投影以及視角問題，根據(jù)已知確定住P點的位置是解決問題的關(guān)鍵．
　
四、解答題（19題7分、20題9分）
19．（7分）（2005•南通）楊華與季紅用5張同樣規(guī)格的硬紙片做拼圖游戲，正面如圖1所示，背面完全一樣，將它們背面朝上攪勻后，同時抽出兩張．規(guī)則如下：

當(dāng)兩張硬紙片上的圖形可拼成電燈或小人時，楊華得1分；
當(dāng)兩張硬紙片上的圖形可拼成房子或小山時，季紅得1分（如圖2）．
問題：游戲規(guī)則對雙方公平嗎？請說明理由；若你認(rèn)為不公平，如何修改游戲規(guī)則才能使游戲?qū)﹄p方公平？

考點：游戲公平性．
分析：游戲是否公平，關(guān)鍵要看是否游戲雙方贏的機(jī)會是否相等，即判斷雙方取勝的概率是否相等，或轉(zhuǎn)化為在總情況明確的情況下，判斷雙方取勝所包含的情況數(shù)目是否相等．
解答：解：（1）這個游戲?qū)﹄p方不公平．
∵P（拼成電燈）= ；P（拼成小人）= ；P（拼成房子）= ；
P（拼成小山）= ，
∴楊華平均每次得分為 （分）；
季紅平均每次得分為 （分）．
∵ ＜ ，
∴游戲?qū)﹄p方不公平．（2）改為：當(dāng)拼成的圖形是小人時楊華得3分，其余規(guī)則不變，
就能使游戲?qū)﹄p方公平．（答案不惟一，其他規(guī)則可參照給分）
點評：本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
　
20．（9分）如圖，已知直線y=?x+4與反比例函數(shù) 的圖象相交于點A（?2，a），并且與x軸相交于點B．
（1）求a的值；
（2）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（3）求△AOB的面積．

考點：反比例函數(shù)綜合題．
專題：待定系數(shù)法．
分析：（1）把A的坐標(biāo)代入直線解析式求a；
（2）把求出的A點坐標(biāo)代入反比例解析式中求k，從而得解析式；求B點坐標(biāo)，結(jié)合A點坐標(biāo)求面積．
解答：解：（1）將A（?2，a）代入y=?x+4中，得：a=?（?2）+4，所以a=6（2）由（1）得：A（?2，6）
將A（?2，6）代入 中，得到： ，即k=?12
所以反比例函數(shù)的表達(dá)式為： （3）如圖：過A點作AD⊥x軸于D；
∵A（?2，6）
∴AD=6
在直線y=?x+4中，令y=0，得x=4
∴B（4，0），即OB=4
∴△AOB的面積S= OB×AD= ×4×6=12．

點評：熟練掌握解析式的求法．在進(jìn)行與線段有關(guān)的計算時，注意點的坐標(biāo)與線段長度的關(guān)系．
　
五、（21、22題各10分）
21．（10分）將一塊正方形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為4cm的小正方形，做成一個無蓋的盒子，盒子的容積是400cm3，求原鐵皮的邊長．

考點：一元二次方程的應(yīng)用．
專題：幾何圖形問題．
分析：本題可設(shè)原鐵皮的邊長為xcm，將這塊正方形鐵皮四個角各剪去一個邊長為4cm的小正方形，做成一個無蓋的盒子后，盒子的底面積變?yōu)椋▁?2×4）2，其高則為4cm，根據(jù)體積公式可列出方程，然后解方程求出答案即可．
解答：解：設(shè)原鐵皮的邊長為xcm，
依題意列方程得（x?2×4）2×4=400，
即（x?8）2=100，
所以x?8=±10，
x=8±10．
所以x1=18，x2=?2（舍去）．
答：原鐵皮的邊長為18cm．
點評：這類題目體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，通常把實際問題轉(zhuǎn)換為方程求解，但應(yīng)注意考慮解得合理性，即考慮解的取舍．
　
22．（10分）（2010•安順）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E，
（1）求證：四邊形ADCE為矩形；
（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明．

考點：矩形的判定；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；正方形的判定．
專題：證明題；開放型．
分析：（1）根據(jù)矩形的有三個角是直角的四邊形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求證∠DAE=90°，我樣可以證明四邊形ADCE為矩形．
（2）根據(jù)正方形的判定，我們可以假設(shè)當(dāng)AD= BC，由已知可得，DC= BC，由（1）的結(jié)論可知四邊形ADCE為矩形，所以證得，四邊形ADCE為正方形．
解答：（1）證明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE= 180°=90°，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四邊形ADCE為矩形．（2）當(dāng)△ABC滿足∠BAC=90°時，四邊形ADCE是一個正方形．
理由：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45°，
∴DC=AD，
∵四邊形ADCE為矩形，
∴矩形ADCE是正方形．
∴當(dāng)∠BAC=90°時，四邊形ADCE是一個正方形．
點評：本題是以開放型試題，主要考查了對矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，及角平分線的性質(zhì)等知識點的綜合運(yùn)用．
　
六\（23、24題各10分）
23．（10分）某花圃用花盆培育某種花苗，經(jīng)過實驗發(fā)現(xiàn)每盆的盈利與每盆的株數(shù)構(gòu)成一定的關(guān)系．每盆植入3株時，平均單株盈利3元；以同樣的栽培條件，若每盆增加1株，平均單株盈利就減少0.5元．要使每盆的盈利達(dá)到10元，每盆應(yīng)該植多少株？

考點：一元二次方程的應(yīng)用．
分析：根據(jù)已知假設(shè)每盆花苗增加x株，則每盆花苗有（x+3）株，得出平均單株盈利為（3?0.5x）元，由題意得（x+3）（3?0.5x）=10求出即可．
解答：解：設(shè)每盆花苗增加x株，則每盆花苗有（x+3）株，
平均單株盈利為：（3?0.5x）元，
由題意得：（x+3）（3?0.5x）=10．
化簡，整理，的x2?3x+2=0．
解這個方程，得x1=1，x2=2，
則3+1=4，2+3=5，
答：每盆應(yīng)植4株或者5株．
點評：此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)每盆花苗株數(shù)×平均單株盈利=總盈利得出方程是解題關(guān)鍵．
　
24．（10分）（2006•中山）如圖，在▱ABCD中，∠DAB=60°，點E、F分別在CD、AB的延長線上，且AE=AD，CF=CB．
（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；
（2）若去掉已知條件的“∠DAB=60°”，上述的結(jié)論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．

考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．
專題：證明題；探究型．
分析：（1）由已知條件可得△AED，△CFB是正三角形，可得∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°，所以四邊形AFCE是平行四邊形．
（2）上述結(jié)論還成立，可以證明△ADE≌△CBF，可得∠AEC=∠BFC，∠EAF=∠FCE，所以四邊形AFCE是平行四邊形．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°．
∴∠ADE=∠CBF=60°．
∵AE=AD，CF=CB，
∴△AED，△CFB是正三角形．
∴∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°．
∴四邊形AFCE是平行四邊形．（2）解：上述結(jié)論還成立．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC∥AB，∠CDA=∠CBA，∠DCB=∠DAB，AD=BC，DC=AB．
∴∠ADE=∠CBF．
∵AE=AD，CF=CB，
∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF．
∴∠AED=∠CFB．
又∵AD=BC，
在△ADE和△CBF中．
，
∴△ADE≌△CBF（AAS）．
∴∠AED=∠BFC，∠EAD=∠FCB．
又∵∠DAB=∠BCD，
∴∠EAF=∠FCE．
∴四邊形EAFC是平行四邊形．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)及平行四邊形的判定．多種知識綜合運(yùn)用是解題中經(jīng)常要遇到的．
　
七、（12分）
25．（12分）已知反比例函數(shù) 和一次函數(shù)y=2x?1，其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（a，b），（a+2，b+k）兩點．
（1）求：反比例函數(shù)的解析式．
（2）如圖，已知點A在第一象限，且同時在上述兩函數(shù)的圖象上．求點A的坐標(biāo)．
（3）利用（2）的結(jié)果，問在x軸上是否存在點P，使得△AOP為等腰三角形？若存在，把符合條件的P點坐標(biāo)直接寫出來；若不存在，說明理由．

考點：反比例函數(shù)綜合題．
分析：（1）先把（a，b）、（a+2，b+k）代入y=2x+1得到 ，然后結(jié)果代數(shù)式變形可解得k=4，則可確定反比例函數(shù)解析式；
（2）把一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式組成方程組，再解方程組可確定A點坐標(biāo)；
（3）先利用勾股計算出OA= ，過A點作AP1⊥x軸，則△OAP1為等腰三角形；作點O關(guān)于AP1的對稱點P2，則△OAP2為等腰三角形；以O(shè)點為圓心，OA為半徑畫弧交x軸與P3，P4，則△OAP3、△OAP4為等腰三角形；然后利用線段長分別確定各點坐標(biāo)．
解答：解：（1）把（a，b）、（a+2，b+k）代入y=2x+1得 ，解得k=4，
所以反比例函數(shù)解析式為y= ；（2）解方程組 得 或 ，
∵A點在第一象限，
∴點A的坐標(biāo)為（1，1）；（3）存在．
OA= = ，
滿足條件的點P坐標(biāo)為（ 1，0）、（2，0）、（ ，0）、（? ，0）．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、等腰三角形的判定與性質(zhì)；運(yùn)用分類討論的思想解決問題．
　
八、（14分）
26．（14分）（2010•鞍山）在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10．點E在下底邊BC上，點F在腰AB上．
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周長，設(shè)BE長為x，試用含x的代數(shù)式表示△BEF的面積；
（2）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由；
（3）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1：2的兩部分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由．

考點：等腰梯形的性質(zhì)；一元二次方程的應(yīng)用．
專題：壓軸題；開放型．
分析：（1）先作AK⊥BC于K，F(xiàn)G⊥BC于G，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，可得BK= （BC?AD）=3，在Rt△ABK中，利用勾股定理可求出AK=4，由于AK、FG垂直于同一直線故平行，可得比例線段，求出FG= ，利用面積公式可得S△BEF=? x2+ x（7≤x≤10，因為BF最大取5，故BE最小取7，又不能超過10）；
（2）根據(jù)題意，結(jié)合（1）中面積的表達(dá)式，可以得到 S梯形ABCD=? x2+ x，即14=? x2+ x，解得，x1=7，x2=5（不合題意，舍去）；
（3）仍然按照（1）和（2）的步驟和方法去做就可以了，注意不是分成相等的兩份，而是1：2就可以了，得到關(guān)于x的一元二次方程，先求出根的判別式△，由于△＜0，故不存在實數(shù)根．
解答：解：（1）由已知條件得：
梯形周長為24，高4，面積為28．
過點F作FG⊥BC于G
∴BK= （BC?AD）= ×（10?4）=3，
∴AK= =4，
∵EF平分等腰梯形ABCD的周長，設(shè)BE長為x，
∴BF=12?x，
過點A作AK⊥BC于K
∴△BFG∽△BAK，
∴ ，
即： ，
則可得：FG= ×4
∴S△BEF= BE•FG=? x2+ x（7≤x≤10）；（3分）（2）存在（1分）
由（1）得：? x2+ x=14，
x2?12x+35=0，
（x?7）（x?5）=0，
解得x1=7，x2=5（不合題意舍去）
∴存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長與面積同時平分，此時BE=7；（3）不存在（1分）
假設(shè)存在，第一種情況：顯然是：S△BEF：SAFECD=1：2，（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=1：2（1分），
梯形ABCD周長的三分之一為 =8，面積的三分之一為 ．因為BE=X，
所以BF=（8?X）
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴ = ，
∴FM= ，
∴△BEF的面積= ，
當(dāng) 梯形ABCD的面積= 時，
∴ = ，
整理方程得：?3x2+24x?70=0，
△=576?840＜0
∴不存在這樣的實數(shù)x．
即不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積．
同時分成1：2的兩部分．（2分）
第二種情況：顯然是：S△BEF：SAFECD=2：1，（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=2：1（1分），
梯形ABCD周長的三分之一為 =8，面積的三分之一為 ．因為BE=x，
所以BF=（8?x）
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴ ，
∴FM= ，
∴△BEF的面積= ，
當(dāng) 梯形ABCD的面積= 時，
∴ = ，
整理方程得：3x2?24x+140=0，
△＜0
∴不存在這樣的實數(shù)x．
即不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積．
同時分成1：2的兩部分．

點評：本題利用了等腰梯形的性質(zhì)、垂直于同一直線的兩直線平行，勾股定理，三角形、梯形面積公式，解一元二次方程，以及一元二次方程根的判別式等知識．
　

5 Y


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