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第23章 一元二次方程檢測(cè)題
（本檢測(cè)題滿分:120分，時(shí)間：120分鐘）
一、（每小題2分，共24分）
1.下面關(guān)于 的方程：① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ．其中是一元二次方程的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.（2013•河南中考）方程 的解是（ ）
A. B. C. D.
3．（2013•山東濰坊中考）已知關(guān)于 的方程 ，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.當(dāng) 時(shí)，方程無(wú)解
B.當(dāng) 時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解
C.當(dāng) 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解
D.當(dāng) 時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解
4.若 ，則 的值是（ ）
A．2 B．3 C．-2或3 D．2或-3
5.（2013•四川瀘州中考）若關(guān)于 的一元二次方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
6．（2013•安徽中考）目前我國(guó)建立了比較完善的經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生資助體系．某校去年上半年發(fā)放給每個(gè)經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生389元，今年上半年發(fā)放了438元，設(shè)每半年發(fā) 放的資助金額的平均增長(zhǎng)率為 ，則下面列出的方程中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
7.利華機(jī)械廠四月份生產(chǎn)零件50萬(wàn)個(gè)，若五、六月份平均每月的增長(zhǎng)率是 ，則第二
季度共生產(chǎn)零件（ ）
A．100萬(wàn)個(gè) B．160萬(wàn)個(gè) C．180萬(wàn)個(gè) D．182萬(wàn)個(gè)
8.某種商品零售價(jià)經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后的價(jià)格為降價(jià)前的 ，則平均每次降價(jià)的百分率
是（ ）
A. B. C. D.
9.關(guān)于 的一元二次方程 的根的情況是（ ）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定
10．已知 分別是三角形的三邊長(zhǎng)，則方程 的根的情況是（　�。�
A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根B．有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
11.（2013•浙江麗水中考）一元二次方程 可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，其中一個(gè) 一元一次方程是 ，則另一個(gè)一元一次方程是（ ）
A. B. C. D.
12.（2013•蘭州中考）用配方法解方程 時(shí)，配方后所得的方程是（ ）
A. B. C. D.
二、題（每小題3分，共 18分）
13．（2013•天津中考）一元二次方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根中較大的根是 .
14．已知關(guān)于 的方程 的一個(gè)根是－1，則 _______．
15．（2013•蘭州中考）若 ，且一元二次方程 有實(shí)數(shù)根，則 的取值范圍是 .
16．若 是關(guān)于 的一元二次方程，則 的值是________．
17．若 且 ，則一元二次方程 必有一個(gè)定根，它是_______．
18．若長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是 ，寬為 ，一個(gè)正方形的面積等于該長(zhǎng)方形的面積，則正方形的邊長(zhǎng) 是_______．
三、解答題（共78分）
19.（10分）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“ ”，其法則為： ，求方程（4 3） 的解．
20.（10分）求證：關(guān)于 的方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
21．（10分）在長(zhǎng)為 ，寬為 的長(zhǎng)方形的四個(gè)角上截去四個(gè)全等的小正方形，使得留下的圖形（圖中陰影部分）面積是原 長(zhǎng)方形面積的80％，求所截去的小正方形的邊長(zhǎng).
22．（10分）若方程 的兩根是 和 ，方程 的正根是 ，試判斷以 為邊長(zhǎng)的三角形是否存在？若存在，求出它的面積； 若不存在，說(shuō)明理由．
23.（10分）（2013•四川樂(lè)山中考）已知關(guān)于 的一元二次方程 ．
（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若△ 的兩邊 的長(zhǎng)是這 個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊 的長(zhǎng)為5，當(dāng)
是等腰三角形時(shí)，求 的值．
24．（14分）（2013•廣東中考）雅安地震牽動(dòng)著全國(guó)人民的心，某單位開(kāi)展了“一方有難，八方支援”賑災(zāi)捐 款活動(dòng)．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增長(zhǎng)率相同，求捐款增長(zhǎng)率.
（2）按照（1）中收到捐款的增長(zhǎng)速度，第四天該單位能收到多少捐款？
25．（14分）李先生乘出租車去某公司辦事，下車時(shí)，打出的電子收費(fèi)單為“里程11千米，應(yīng)收29.10元”．該城市的出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)按下表計(jì)算，請(qǐng)求出起步價(jià) ．
里程（千米）

價(jià)格（元）
第23章 一元二次方程檢測(cè)題參考答案
1.B 解析：方程①與 的取值有關(guān)；方程②經(jīng)過(guò)整理后，二次項(xiàng)系數(shù)為2，是一元二次方程；方程③是分式方程；方程④的二次項(xiàng)系數(shù)經(jīng)過(guò)配方后可化為 ，不論 取何值，都不為0，所以方程④是一元二次方程；方程⑤不是整式方程，也可排除.故一元二次方程僅有2個(gè)．
2.D 解析：由 ，得 或 ，解得 .
3.C 解析：本題主要考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用.當(dāng) 時(shí)，原方程變?yōu)橐辉�一次方�?，該方程的解是 ，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng) 時(shí)，原方程變?yōu)橐辉�二次方�?，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解： ，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng) 時(shí)，原方程為一元二次方程， ，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，故C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤.
4.C 解析：根據(jù)方程的特點(diǎn)可考慮用換元法求值.設(shè) ，則原方程可化為
，解得 .
5.D 解析：因?yàn)橐辉�二次方�?有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以 ，且 ，解得 且 .
6.B 解析：由每半年發(fā)放的資助金額的平均增長(zhǎng)率為 ，得去年下半年發(fā)放給每個(gè)經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生 元，今年上半年發(fā)放給每個(gè)經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生 元.根據(jù)關(guān)鍵語(yǔ)句“今年上半年發(fā)放了438元”可得方程 .
7.D 解析：五月份生產(chǎn)零件 （萬(wàn)個(gè)），六月份生產(chǎn)零件 （萬(wàn)個(gè)）， 所以第二季度共生產(chǎn)零件 （萬(wàn)個(gè)），故選D．
8.A 解析：設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為 ，由題意得 ，所以 ，所以 （舍去）， ，所以平均每次降價(jià)的百分率為
9.A 解析：因?yàn)?
所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
10.A　　解析：因?yàn)?，
又因?yàn)?分別是三角形的三邊長(zhǎng)，所以 ，
所以 ，所以方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.
11.D 解析：將 兩邊開(kāi)平方，得 ，則另一個(gè)一元一次方程是 ，故選D.
12.D 解析：移項(xiàng)，得 .配方，得 ，即 ，故選D.
13. 解析：方程的兩根是 ，所以較大的根是 .
14. 解析：把 代入方程，得 ，則 ，所以 ．
15. 且 解析：因?yàn)?， ，又 ，
所以 ， ，即 ， ，所以 ， ，
所以一元二次方程 變?yōu)?.
因?yàn)?有實(shí)數(shù)根，所以 ，解得 .
又因?yàn)?，所以 且 .
16.-3或1 解析：由 得 或 ．
17.1 解析：由 ，得 ，原方程可化為 ，
解得 ．所以一元二次方程 的一個(gè)定根為1.
18. c 解析：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為 c，則 ，解得 ，由于邊長(zhǎng)不能為負(fù)，所以 舍去，故正方形的邊長(zhǎng)為 c．
19.解：∵ ，∴ ．
∴ ．∴ ．∴ ．
20.證明：∵ 恒成立，
∴ 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
21.解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為 .
由題意，得 ，
整理，得 解得
所以截去的小正方形的邊長(zhǎng)為 .
22.解：不存在.理由：解方程 ，得 ．
方程 的兩根是 ．
所以 的值分別是 ．
因?yàn)?，所以以 為邊長(zhǎng)的三角形不存在．
23．（1）證明：∵ ，
∴ 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
（2）解：一元二次方程 的解為 ，
即 .
當(dāng) ，且 時(shí)，△ 是等腰三角形，則 ；
當(dāng) ，且 時(shí)，△ 是等腰三角形，則 ，解得 .
所以 的值為5或4．
24.解：（1）設(shè)捐款增長(zhǎng)率為 ，根據(jù)題意列方程，得 ，
解得 （不合題意，舍去）.
答：捐款增長(zhǎng)率為10%．
（2） （元）．
答：第四天該單位能收到 元捐款．
25.解：依題意，得 ，
整理，得 ，解得 .
由于 ，所以 舍去，所以 ．
答：起步價(jià)是10元．

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