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第23章 一元二次方程檢測題
（本檢測題滿分:120分，時間：120分鐘）
一、（每小題2分，共24分）
1.下面關于 的方程：① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ．其中是一元二次方程的個數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.（2013•河南中考）方程 的解是（ ）
A. B. C. D.
3．（2013•山東濰坊中考）已知關于 的方程 ，下列說法正確的是（ ）
A.當 時，方程無解
B.當 時，方程有一個實數(shù)解
C.當 時，方程有兩個相等的實數(shù)解
D.當 時，方程總有兩個不相等的實數(shù)解
4.若 ，則 的值是（ ）
A．2 B．3 C．-2或3 D．2或-3
5.（2013•四川瀘州中考）若關于 的一元二次方程 有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù) 的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
6．（2013•安徽中考）目前我國建立了比較完善的經(jīng)濟困難學生資助體系．某校去年上半年發(fā)放給每個經(jīng)濟困難學生389元，今年上半年發(fā)放了438元，設每半年發(fā) 放的資助金額的平均增長率為 ，則下面列出的方程中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
7.利華機械廠四月份生產(chǎn)零件50萬個，若五、六月份平均每月的增長率是 ，則第二
季度共生產(chǎn)零件（ ）
A．100萬個 B．160萬個 C．180萬個 D．182萬個
8.某種商品零售價經(jīng)過兩次降價后的價格為降價前的 ，則平均每次降價的百分率
是（ ）
A. B. C. D.
9.關于 的一元二次方程 的根的情況是（ ）
A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根
C．沒有實數(shù)根 D．無法確定
10．已知 分別是三角形的三邊長，則方程 的根的情況是（　�。�
A．沒有實數(shù)根B．有且只有一個實數(shù)根
C．有兩個相等的實數(shù)根D．有兩個不相等的實數(shù)根
11.（2013•浙江麗水中考）一元二次方程 可轉化為兩個一元一次方程，其中一個 一元一次方程是 ，則另一個一元一次方程是（ ）
A. B. C. D.
12.（2013•蘭州中考）用配方法解方程 時，配方后所得的方程是（ ）
A. B. C. D.
二、題（每小題3分，共 18分）
13．（2013•天津中考）一元二次方程 的兩個實數(shù)根中較大的根是 .
14．已知關于 的方程 的一個根是－1，則 _______．
15．（2013•蘭州中考）若 ，且一元二次方程 有實數(shù)根，則 的取值范圍是 .
16．若 是關于 的一元二次方程，則 的值是________．
17．若 且 ，則一元二次方程 必有一個定根，它是_______．
18．若長方形的長是 ，寬為 ，一個正方形的面積等于該長方形的面積，則正方形的邊長 是_______．
三、解答題（共78分）
19.（10分）在實數(shù)范圍內定義運算“ ”，其法則為： ，求方程（4 3） 的解．
20.（10分）求證：關于 的方程 有兩個不相等的實數(shù)根．
21．（10分）在長為 ，寬為 的長方形的四個角上截去四個全等的小正方形，使得留下的圖形（圖中陰影部分）面積是原 長方形面積的80％，求所截去的小正方形的邊長.
22．（10分）若方程 的兩根是 和 ，方程 的正根是 ，試判斷以 為邊長的三角形是否存在？若存在，求出它的面積； 若不存在，說明理由．
23.（10分）（2013•四川樂山中考）已知關于 的一元二次方程 ．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若△ 的兩邊 的長是這 個方程的兩個實數(shù)根，第三邊 的長為5，當
是等腰三角形時，求 的值．
24．（14分）（2013•廣東中考）雅安地震牽動著全國人民的心，某單位開展了“一方有難，八方支援”賑災捐 款活動．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同，求捐款增長率.
（2）按照（1）中收到捐款的增長速度，第四天該單位能收到多少捐款？
25．（14分）李先生乘出租車去某公司辦事，下車時，打出的電子收費單為“里程11千米，應收29.10元”．該城市的出租車收費標準按下表計算，請求出起步價 ．
里程（千米）

價格（元）
第23章 一元二次方程檢測題參考答案
1.B 解析：方程①與 的取值有關；方程②經(jīng)過整理后，二次項系數(shù)為2，是一元二次方程；方程③是分式方程；方程④的二次項系數(shù)經(jīng)過配方后可化為 ，不論 取何值，都不為0，所以方程④是一元二次方程；方程⑤不是整式方程，也可排除.故一元二次方程僅有2個．
2.D 解析：由 ，得 或 ，解得 .
3.C 解析：本題主要考查了一元二次方程根的判別式的應用.當 時，原方程變?yōu)橐辉�一次方�?，該方程的解是 ，故A項錯誤；當 時，原方程變?yōu)橐辉�二次方�?，方程有兩個不相等的實數(shù)解： ，故B項錯誤；當 時，原方程為一元二次方程， ，方程總有兩個實數(shù)解，當且僅當 時，方程有兩個相等的實數(shù)解，故C項正確，D項錯誤.
4.C 解析：根據(jù)方程的特點可考慮用換元法求值.設 ，則原方程可化為
，解得 .
5.D 解析：因為一元二次方程 有兩個不相等的實數(shù)根，所以 ，且 ，解得 且 .
6.B 解析：由每半年發(fā)放的資助金額的平均增長率為 ，得去年下半年發(fā)放給每個經(jīng)濟困難學生 元，今年上半年發(fā)放給每個經(jīng)濟困難學生 元.根據(jù)關鍵語句“今年上半年發(fā)放了438元”可得方程 .
7.D 解析：五月份生產(chǎn)零件 （萬個），六月份生產(chǎn)零件 （萬個）， 所以第二季度共生產(chǎn)零件 （萬個），故選D．
8.A 解析：設平均每次降價的百分率為 ，由題意得 ，所以 ，所以 （舍去）， ，所以平均每次降價的百分率為
9.A 解析：因為
所以方程有兩個不相等的實數(shù)根.
10.A　　解析：因為 ，
又因為 分別是三角形的三邊長，所以 ，
所以 ，所以方程沒有實數(shù)根.
11.D 解析：將 兩邊開平方，得 ，則另一個一元一次方程是 ，故選D.
12.D 解析：移項，得 .配方，得 ，即 ，故選D.
13. 解析：方程的兩根是 ，所以較大的根是 .
14. 解析：把 代入方程，得 ，則 ，所以 ．
15. 且 解析：因為 ， ，又 ，
所以 ， ，即 ， ，所以 ， ，
所以一元二次方程 變?yōu)?.
因為 有實數(shù)根，所以 ，解得 .
又因為 ，所以 且 .
16.-3或1 解析：由 得 或 ．
17.1 解析：由 ，得 ，原方程可化為 ，
解得 ．所以一元二次方程 的一個定根為1.
18. c 解析：設正方形的邊長為 c，則 ，解得 ，由于邊長不能為負，所以 舍去，故正方形的邊長為 c．
19.解：∵ ，∴ ．
∴ ．∴ ．∴ ．
20.證明：∵ 恒成立，
∴ 方程有兩個不相等的實數(shù)根．
21.解：設小正方形的邊長為 .
由題意，得 ，
整理，得 解得
所以截去的小正方形的邊長為 .
22.解：不存在.理由：解方程 ，得 ．
方程 的兩根是 ．
所以 的值分別是 ．
因為 ，所以以 為邊長的三角形不存在．
23．（1）證明：∵ ，
∴ 方程有兩個不相等的實數(shù)根.
（2）解：一元二次方程 的解為 ，
即 .
當 ，且 時，△ 是等腰三角形，則 ；
當 ，且 時，△ 是等腰三角形，則 ，解得 .
所以 的值為5或4．
24.解：（1）設捐款增長率為 ，根據(jù)題意列方程，得 ，
解得 （不合題意，舍去）.
答：捐款增長率為10%．
（2） （元）．
答：第四天該單位能收到 元捐款．
25.解：依題意，得 ，
整理，得 ，解得 .
由于 ，所以 舍去，所以 ．
答：起步價是10元．

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