數(shù)學因運動而充滿活力，數(shù)學因變化而精彩紛呈。動態(tài)題是近年來中考的的一個熱點問題，以運動的觀點探究幾何圖形的變化規(guī)律問題，稱之為動態(tài)幾何問題，隨之產(chǎn)生的動態(tài)幾何試題就是研究在幾何圖形的運動中，伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關系的“變”與“不變”性的試題，就其運動對象而言，有點動、線動、面動三大類，就其運動形式而言，有軸對稱（翻折）、平移、旋轉（中心對稱、滾動）等，就問題類型而言，有函數(shù)關系和圖象問題、面積問題、最值問題、和差問題、定值問題和存在性問題等。解這類題目要“以靜制動”，即把動態(tài)問題，變?yōu)殪o態(tài)問題來解，而靜態(tài)問題又是動態(tài)問題的特殊情況。以動態(tài)幾何問題為基架而精心設計的考題，可謂璀璨奪目、精彩四射。
   動態(tài)幾何形成的存在性問題是動態(tài)幾何中的基本類型，包括等腰（邊）三角形存在問題；直角三角形存在問題；平行四邊形存在問題；矩形、菱形、正方形存在問題；梯形存在問題；全等三角形存在問題；相似三角形存在問題；其它存在問題等。本專題原創(chuàng)編寫面動形成的等腰三角形存在性問題模擬題。
在中考壓軸題中，面動形成的等腰三角形存在性問題的重點和難點在于應用分類思想和數(shù)形結合的思想準確地進行分類。
原創(chuàng)模擬預測題1. 如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，將矩形ABCD沿對角線AC平移，平移后的矩形為EFGH（A、E、C、G始終在同一條直線上），當點E與C重合時停止移動．平移中EF與BC交于點N，GH與BC的延長線交于點M，EH與DC交于點P，F(xiàn)G與DC的延長線交于點Q．設S表示矩形PCMH的面積， 表示矩形NFQC的面積
 
（1）S與 嗎？請說明理由．
（2）設AE＝x，寫出S和x之間的函數(shù)關系式，并求出x取何值時S有最大值，最大值是多少？
（3）如圖2，連結BE，當AE為何值時， 是等腰三角形．
【答案】（1）相等，見解析（2） ，當 時，S有最大值3
（3）AE＝AB＝3或AE＝BE＝ 或AE＝3.6時， 是等腰三角形
 
（3）當AE＝AB＝3或AE＝BE＝ 或AE＝3.6時， 是等腰三角形.……12分
（每種情況得1分）
此題考核平移的性質(zhì)、四邊形的面積和等腰三角形的判定

原創(chuàng)模擬預測題2.如圖，在△ABC中，已知AB=AC=4，BC= ，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動，△DEF運動，并滿足：點E在邊BC上沿B到C的方向運動，且DE始終經(jīng)過點A，EF與AC交于M點。探究：在△DEF運動過程中，重疊部分能否構成等腰三角形？若能，求出△AEM的面積；若不能，請說明理由。
 
【答案】解：能。
∵AB=AC=4，BC= ，
∴AB2+AC2=BC2=32。
∴△ABC是等腰直角三角形。
∴∠C=450。
∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，
∴∠AME＞∠AEF。
∴AE≠AM。
 
當AE=EM時，如圖1，則△ABE≌△ECM（SAS）。
∴CE=AB=4。
∴CM=BE=BC?EC= ?4。
∴AM=6? 。
過點E作EH⊥AC于點H，則EH= EC= 。
∴S△AEM= 。
 
 
∴S△AEM= 。
綜上所述，當△AEM是等腰三角形時，△AEM的面積為 或2。
【考點】等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理逆定理，全等、相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，分類思想的應用。
 
原創(chuàng)模擬預測題3. 如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，扇形紙片DOE的頂點O與邊AB的中點重合，OD交BC于點F，OE經(jīng)過點C，且∠DOE=∠B．
（1）證明△COF是等腰三角形，并求出CF的長；
（2）將扇形紙片DOE繞點O逆時針旋轉，OD，OE與邊AC分別交于點M，N（如圖2），當CM的長是多少時，△OMN與△BCO相似？
 

【答案】(1)證明見解析.  ．（2）當CM的長是 或 時，△OMN與△BCO相似．
【解析】
試題分析：（1）易證∠OCB=∠B，由條件∠DOE=∠B可得∠OCB=∠DOE，從而得到△COF是等腰三角形，過點F作FH⊥OC，垂足為H，如圖1，由等腰三角形的三線合一可求出CH，易證△CHF∽△BCA，從而可求出CF長．
 
試題解析：（1）∵∠ACB=90°，點O是AB的中點，
∴OC=0B=OA=5．
∴∠OCB=∠B，∠ACO=∠A．
∵∠DOE=∠B，
∴∠FOC=∠OCF．
∴FC=FO．
∴△COF是等腰三角形．
過點F作FH⊥OC，垂足為H，如圖1，
 
 
（2）①若△OMN∽△BCO，如圖2，
 
則有∠NMO=∠OCB．
∵∠OCB=∠B，
∴∠NMO=∠B．
∵∠A=∠A，
∴△AOM∽△ACB．
∴ ．
∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，
∴AC=8．
∵AO=5，AC=8，AB=10，
∴AM= ．
∴CM=AC-AM= ．
②若△OMN∽△BOC，如圖3，

則有∠MNO=∠OCB．
∵∠OCB=∠B，
∴∠MNO=∠B．
∵∠ACO=∠A，
∴△CON∽△ACB．
∴ ．
∵BC=6，AB=10， AC=8，CO=5，
∴ON= ，CN= ．
 
 
∵GN= ，BC=6，AB=10，
∴MN= ．
∴CM=CN-MN= - = ．
∴當CM的長是 或 時，△OMN與△BCO相似．
【考點】1.圓的綜合題；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.直角三角形斜邊上的中線；4.勾股定理；5.相似三角形的判定與性質(zhì)．

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