作者：聶立川，暢娜麗，邵洪波

　　摘要：本文通過一個數學問題的解題過程，探索解題中滲透的數學思維與數學方法，并概括了數學解題教學應達到的目標，力求能夠指導數學解題的教學。

　　關鍵詞：數學解題；邏輯思維；非邏輯思維；數學思維

　　學數學就要解數學題，數學解題學習對學生鞏固知識、培養(yǎng)素質、發(fā)展能力和促進個性心理發(fā)展都有及其重要的作用和意義，因此數學教學離不開數學解題的教學，數學解題過程中存在著三種思維活動：數學家的思維活動、數學教師的思維活動、學生自己的思維活動。數學解題教學就是教學生學習數學家的思維活動，并逐步使其思維結構與數學家的相似，學會數學的思維。

　　一、問題的提出

　　數學解題活動主要是利用認知結構(知識結構和思維結構)對抽象的形式化思想材料進行加工的過程，是數學符號及數學命題在人的大腦里的內部操作過程，也就是一種思維活動。這就必然導致數學解題教學是一個讓學生體驗數學思維的過程。首先看一例題：

　　例1：根據下面數列找出它的規(guī)律

　　11，31，41，61，71，101，131，….

　　答案：末位數為1的素數

　　然而本題給20名數學系大四的學生15分鐘的思考時間，20人竟無一人能回答正確。他們中間的同學試圖從數字之和去考慮問題，比如1+1=2，3+1=4，4+1=5，6+1=7，這樣可以出現131、151、161(錯)、181…。行不通：而后又考慮3+1=4，4+3-1=6，6+4-3=7，7+6-4=9，9+7-6=10，10+9-7=11，11+10-9=12，12+11-10=13這樣得出除末位數外的前面的數字，出現了41、61、71、91(錯)、101、111(錯)、121(錯)、131、…。之所以沒有答案筆者認為他們的思維方向不對。課后的追訪驗證了我的答案。

　　教師：這些數有什么的特點?

　　學生：個位數都是1

　　教師：還有什么特點?

　　學生：憑感覺認為后面的數是151、181，再往后就不知道了，看不到它們的規(guī)律。

　　教師：再從另一個角度考慮，比如素數、和數方面想想?

　　學生：呵!它們都是素數。

　　教師；這樣你可以說出答案了吧。

　　學生：(想…)還是不行，還是找不到它的通項公式。

　　教師：答案是末位數為1的素數。

　　學生：就是這樣的答案嗎?不是讓找它的通項公式嗎?我考慮的太多了，我們都認為是讓找通項公式。

　　可以看到學生認為這道數列的題目是讓找通項公式，這與他們在高中數學學習中作過大量這樣的題目有關，以前的思維定勢讓他們認為應該有一個通項公式來表達這個規(guī)律，然而本題卻沒有通項公式。

　　從上面例題可以看出，在解決問題時往往從特殊的簡單情形開始，給人一種返璞歸真的感覺，但在解題中必須明確，返璞歸真的目的不是為了找出幾個簡單情形的解法，而是為了通過簡單情形的解法，悟出規(guī)律，抓住題魂，所謂的“返璞歸真不為玉，意在靈性通題魂”，體現了“以退為進”的角色模式。但是，邏輯思維能力是一個需要畢生精力不斷苦練的功夫，功夫不到就可能跌入新的誤區(qū)，任何人跌入誤區(qū)的原因都是未能把握住這條邏輯鏈——具體問題具體分析，這是研究一切問題的靈魂。如上面的例題一樣，遇到數列找規(guī)律的問題就不能想當然的認為找通項公式。

　　二、數學解題教學的幾點思考與建議

　　學習數學必須學會解題，我國是解題的王國，學生解題的基本功非常好，但相當部分學生的功夫是通過“解題類型+方法”機械訓練而來的，忽視了解題中數學思維與方法的學習，造成出現上面的種種弊端。因此如何應用數學思維與數學方法論指導解題是當前一個非常關鍵的問題。

　　(一)更新解題觀念

　　什么是解題，不同的人有不同的觀念，按現代教學論與心理學，可以這么說，數學解題是在數學思維與方法指導下，有目的地運用數學基礎知識和基本技能分析與解決數學問題的過程。G.Polya在《怎樣解題》一書一開始，把解題過程歸結為四個階段：(1)弄清問題；(2)制定計劃；(3)實現計劃：(4)回顧；另外，在《數學發(fā)現》中，波利亞又從思維活動的形式這一角度對此作出了更為明確的描述：他指出解題過程是由以下的思維活動所組成的：集中目標，估計前景，對途經的尋找，對更有希望局面的尋找，對有關知識的尋找，重新估計形式。他認為解題是人類最富有特征的一種活動，是學生學習數學的中心環(huán)節(jié)，是一種實踐性技能，是發(fā)展學生思維能力、培養(yǎng)良好心理品種的重要手段。我們應從“過程、環(huán)節(jié)、技能、手段”角度去理解數學解題的概念，數學解題教學是用通過典型數學題的學習，去探究數學問題解決的基本規(guī)律，學會象數學家那樣“數學的思維”，因此數學解題的教學目的不僅是提高學生的解題能力，深化鞏固所學的知識，而且應是掌握其思維與方法、全面提高數學素養(yǎng)。

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