上一次課我們了概率的意義，舉了生活中與概率有關(guān)的許多實例。今天我們要來研究概率的基本性質(zhì)。在研究性質(zhì)之前，我們先來一起研究一下事件之間有什么關(guān)系。

一、事件的關(guān)系與運算
做擲骰子的實驗，思考，回答該試驗包含了哪些事件（即可能出現(xiàn)的結(jié)果）
學(xué)生可能回答：?出現(xiàn)的點數(shù)＝1?記為C1， ?出現(xiàn)的點數(shù)＝2?記為C2， ?出現(xiàn)的點數(shù)＝3?記為C3， ?出現(xiàn)的點數(shù)＝4?記為C4， ?出現(xiàn)的點數(shù)＝5?記為C5， ?出現(xiàn)的點數(shù)＝6?記為C6.
老師：是不是只有這6個事件呢？請大家思考，?出現(xiàn)的點數(shù)不大于1?（記為D1）是不是該試驗的事件 高中學(xué)習(xí)方法？（學(xué)生回答：是）類似的，?出現(xiàn)的點數(shù)大于3?記為D2，?出現(xiàn)的點數(shù)小于5?記為D3，?出現(xiàn)的點數(shù)小于7?記為E，?出現(xiàn)的點數(shù)大于6?記為F，?出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)?記為G，?出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)?記為H，等等都是該試驗的事件。 那么大家思考一下這些事件之間有什么樣的關(guān)系呢？
1、 學(xué)生思考若事件C1發(fā)生（即出現(xiàn)點數(shù)為1），那么事件H是否一定也發(fā)生？
學(xué)生回答：是，因為1是奇數(shù)
我們把這種兩個事件中如果一事件發(fā)生，則另一事件一定發(fā)生的關(guān)系，稱為包含關(guān)系。具體說：一般地，對于事件A和事件B，如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，稱事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），記作 （或 ）
特殊地，不可能事件記為 ，任何事件都包含 。
練習(xí)：寫出 D3與E的包含關(guān)系（D3 E）
2、再來看一下C1和D1間的關(guān)系：先考慮一下它們之間有沒有包含關(guān)系？即若C1發(fā)生，D1
是否發(fā)生？（是，即C1 D1）；又若D1發(fā)生，C1是否發(fā)生？（是，即D1 C1）
兩個事件A，B中，若 ，那么稱事件A與事件B相等，記作A＝B。所以C1 和D1相等。
“下面有同學(xué)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了，事件的包含關(guān)系和相等關(guān)系與集合的這兩種關(guān)系很相似，很好，下面我們就一起來考慮一下能不能把事件與集合做對比。”
試驗的可能結(jié)果的全體 ←→ 全集
↓ ↓
每一個事件 ←→ 子集
這樣我們就把事件和集合對應(yīng)起來了，用已有的集合間關(guān)系來分析事件間的關(guān)系。
3、集合之間除了有包含和相等的關(guān)系以外，還有集合的并，由此可以推出相應(yīng)的，事件A和事件B的并事件，記作A∪B，從運算的角度說，并事件也叫做和事件，可以記為A+B。我們知道并集A∪B中的任一個元素或者屬于集合A或者屬于集合B，類似的事件A∪B發(fā)生等價于或者事件A發(fā)生或者事件B發(fā)生。
練習(xí)：G∪D3 ＝？G＝?2，4，6?，D3 ＝?1，2，3，4?，所以G∪D3 ＝?1，2，3，4，6?。若出現(xiàn)的點數(shù)為1，則D3發(fā)生，G不發(fā)生；若出現(xiàn)的點數(shù)為4，則D3和G均發(fā)生；若出現(xiàn)的點數(shù)為6，則D3不發(fā)生，G發(fā)生。
由此我們可以推出事件A+B發(fā)生有三種情況：A發(fā)生，B不發(fā)生；A不發(fā)生，B發(fā)生；A和B都發(fā)生。
4、集合之間的交集A∩B，類似地有事件A和事件B的交事件，記為A∩B，從運算的角度說，交事件也叫做積事件，記作AB。我們知道交集A∩B中的任意元素屬于集合A且屬于集合B，類似地，事件A∩B發(fā)生等價于事件A發(fā)生且事件B發(fā)生。
練習(xí)：D2∩H＝？（?大于3的奇數(shù)?＝C5）
5、事件A與事件B的交事件的特殊情況，當(dāng)A∩B＝ （不可能事件）時，稱事件A與事件B互斥。（即兩事件不能同時發(fā)生）
6、在兩事件互斥的條件上，再加上事件A∪事件B為必然事件，則稱事件A與事件B為對立事件。（即事件A和事件B有且只有一個發(fā)生）
練習(xí)：⑴請在擲骰子試驗的事件中，找到兩個事件互為對立事件。（G,H）
⑵不可能事件的對立事件
7、集合間的關(guān)系可以用Venn圖來表示，類似事件間的關(guān)系我們也可以用圖形來表示。
： A＝B：
A∪B： A∩B：
A、B互斥： A、B對立：
8、區(qū)別互斥事件與對立事件：從圖像上我們也可以看出對立事件是互斥事件的特例，但互斥事件并非都是對立事件。
練習(xí)：⑴書P121練習(xí)題目4、5
⑵判斷下列事件是不是互斥事件？是不是對立事件？
① 某射手射擊一次，命中的環(huán)數(shù)大于8與命中的環(huán)數(shù)小于8；
② 統(tǒng)計一個班級期末成績，平均分不低于75分與平均分不高于75分；
③ 從裝有3個紅球和3個白球的口袋內(nèi)任取2個球，至少有一個白球和都是紅球。
答案：①是互斥事件但不是對立事件；②既不是互斥事件也不是對立事件
③既是互斥事件有是對立事件。
二、概率的基本性質(zhì)：
提問：頻率＝頻數(shù)\試驗的次數(shù)。
我們知道當(dāng)試驗次數(shù)足夠大時，用頻率來估計概率，由于頻率在0～1之間，所以，可以得到概率的基本性質(zhì)：
1、任何事件的概率P(A)，0?P(A)?1
2、那大家思考，什么事件發(fā)生的概率為1，對，記必然事件為E，P(E)＝1
3、記不可能事件為F，P(F)＝0
4、當(dāng)A與B互斥時，A∪B發(fā)生的頻數(shù)等于A發(fā)生的頻數(shù)加上B發(fā)生的頻數(shù)，所以
= + ,所以P（A∪B）＝P(A)＋P(B)。
5、特別地，若A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，P(A∪B)＝1＝P(A)＋P(B)→P(A)＝1－P(B)。
例題：教材P121例
練習(xí)：由經(jīng)驗得知，在某建設(shè)銀行營業(yè)窗口排隊等候存取款的人數(shù)及其概率如下：
排隊人數(shù)
0 ～ 10 人
11 ～ 20 人
21 ～ 30 人
31 ～ 40 人
41人以上
概率
0.12
0.27
0.30
0.23
0.08
計算：（1）至多20人排隊的概率；
（2）至少11人排隊的概率。
三、小結(jié)：
1、把事件與集合對應(yīng)起來，掌握事件間的關(guān)系，總結(jié)如下表
符號
Venn圖
概率論
集合論


必然事件

全集

不可能事件
空集

A

事件

子集

事件B包含事件A
（事件A發(fā)生，則B一定發(fā)生）

集合B包含集合A

A = B

事件A與事件B相等

集合A與集合B相等
A∪B
（A+B）
事件A與事件B的并事件
（或者事件A發(fā)生，或者事件B發(fā)生）

集合A與集合B的并
A∩B
（AB）
事件A與事件B的交事件
（事件A發(fā)生，且事件B發(fā)生）

集合A與集合B的交

A∩B＝
事件A與事件B互斥
（事件A和事件B不能同時發(fā)生）

集合A與集合B不相交
A∩B＝
A∪B＝
事件A與事件B對立
（事件A與事件B有且僅有一個發(fā)生）

集合A與集合B不相交
2、概率的基本性質(zhì)：（1）0?P(A)?1 （2）概率的加法公式
四、課后思考：概率的基本性質(zhì)4，若把互斥條件去掉，即任意事件A、B，則P（A∪B）＝P(A)＋P(B)－P（AB）
提示：采用圖式分析。

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaozhong/33203.html

相關(guān)閱讀：幾何的三大問題