抽象函數(shù)問題是高中函數(shù)中的一類綜合性比較強的問題,學生往往感到無從下手。解決這類問題要求學生抽象思維能力、綜合運用數(shù)學知識的能力較強,但是,教師只要引導學生準確掌握所學基本初等函數(shù)的圖象和性質,分清是哪一類函數(shù)的抽象,可以優(yōu)化思路,使問題難度降低,從而得以解決。

　　

　　下面舉例說明:

　　

　　形如f(x+y)=f(x)+f(y)+m(m為常數(shù))

　　

　　思路:看作一次函數(shù)的抽象,聯(lián)想一次函數(shù)的圖象及性質。特例:m=0時,聯(lián)想過原點的直線。

　　

　　例1.函數(shù)f(x)對任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當x>0時,f(x)>1.

　　

　　(1)求證:f(x)是R上的增函數(shù);

　　

　　(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.

　　

　　(1)證明:設x1<x2,則△x=x2-x1>0,

　　

　　∵x>0時,f(x)>1

　　

　　∴f(x2-x1)>1,

　　

　　∵f(x2)-f(x1)=f(x1+x2-x1)-f(x1)

　　

　　=f(x1)+f(x2-x1)-1-f(x1)

　　

　　=f(x2-x1)-1>0

　　

　　(2)∵f(4)=f(2+2)=2f(2)-1=5,∴f(2)=3.

　　

　　又f(x)是R上的增函數(shù),

　　

　　∴f(3m2-m-2)<3f(3m2-m-2)<f(2)

　　

　　∴f(x)是R上的增函數(shù).∴f(3m2-m-2)<3

　　

　　f(3m2-m-2)<f(2)

　　

　　3m2-m-2<2-1<m<

　　

　　解得不等式解集為-1<m<4/3.

　　

　　點評1.回歸定義,充分運用已知條件:x>0時,f(x)>0△x=x2-x1>0,f(x2-x1)>1

　　

　　2.等價轉化思想:運用函數(shù)的單調性,去掉函數(shù)符號,轉化為解關于m的不等式。

　　

　　思路:聯(lián)想冪的運算性質,可看作指數(shù)函數(shù)的抽象,結合指數(shù)函數(shù)的圖象和性質進行解題。

　　

　　抽象函數(shù)問題,需要綜合運用函數(shù)的奇偶性,單調性,周期性,對稱性等性質,應用分析,邏輯推理,聯(lián)想類比等數(shù)學思想方法。

　　

　　常見題型有:

　　

　�、偾蟪橄蠛瘮�(shù)的某一函數(shù)值:根據(jù)函數(shù)結構特征,用賦值法。

　　

　�、谂�(證)抽象函數(shù)的單調性:類比所學具體函數(shù),充分運用已知條件,對變量合理賦值。

　　

　�、劢怅P于抽象函數(shù)的不等式:一看定義域,一看單調性。

　　

　　只要掌握相應的解題策略,問題便會化難為易,迎刃而解。
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