教案 直線與圓錐曲線的位置

一、基本概要：

1.直線與圓錐曲線的位置關系：相交、相切、相離。

從代數(shù)的角度看是直線方程和圓錐曲線的方程組成的方程組，無解時必相離 高中數(shù)學;有兩組解必相交;一組解時，若化為x或y的方程二次項系數(shù)非零，判別式?=0時必相切，若二次項系數(shù)為零，有一組解仍是相交。

2.　弦：直線被圓錐曲線截得的線段稱為圓錐曲線的弦。

焦點弦：若弦過圓錐曲線的焦點叫焦點弦;

通徑：若焦點弦垂直于焦點所在的圓錐曲線的對稱軸，此時焦點弦也叫通徑。

3.①當直線的斜率存在時，弦長公式：

= 或當 存在且不為零時

，(其中( )，( )是交點坐標)。

②拋物線 的焦點弦長公式AB= ，其中α為過焦點的直線的傾斜角。

4.重點難點:直線與圓錐曲線相交、相切條件下某些關系的確立及其一些字母范圍的確定。

5.方式: 方程思想、數(shù)形結(jié)合的思想、設而不求與整體代入的技巧。

6.特別注意:直線與圓錐曲線當只有一個交點時要除去兩種情況，些直線才是曲線的切線。一是直線與拋物線的對稱軸平行;二是直線與雙曲線的漸近線平行。

二、例題：

【例1】直線y=x+3與曲線 ( )

A。沒有交點 B。只有一個交點 C。有兩個交點 D。有三個交點

〖解〗：當x>0時，雙曲線 的漸近線為： ，而直線y=x+3的斜率為1，1<3/2，因此直線與雙曲線的下支有一交點，又y=x+3過橢圓 的頂點，k=1>0因此直線與橢圓左半部分有一交點，共計3個交點，選D

[思維點拔]注意先確定曲線再判斷。

【例2】已知直線 交橢圓 于A、B兩點，若 為 的傾斜角，且 的長不小于短軸的長，求 的取值范圍。

解：將 的方程與橢圓方程聯(lián)立，消去 ，得

由 ，

的取值范圍是

[思維點拔]對于弦長公式一定要能熟練掌握、靈活運用民。本題由于 的方程由 給出，所以可以認定 ，否則涉及弦長計算時，還要討論 時的情況。

【例3】已知拋物線 與直線 相交于A、B兩點

(1) 求證：

(2) 當 的面積等于 時，求 的值。

(1) 證明：圖見教材P127頁，由方程組 消去 后，整理得 。設 ，由韋達定理得 在拋物線 上，

(2) 解：設直線與 軸交于N，又顯然 令

[思維點拔]本題考查了兩直線垂直的充要條件，三角形的面積公式，函數(shù)與方程的思想，以及分析問題、解決問題的。

【例4】在拋物線y2=4x上恒有兩點關于直線y=kx+3對稱，求k的取值范圍。

〖解〗設B、C關于直線y=kx+3對稱，直線BC方程為x=-ky+m代入y2=4x得：

y2+4ky-4m=0， 設B(x1，y1)、C(x2，y2)，BC中點M(x0，y0)，則

y0=(y1+y2)/2=-2k。x0=2k2+m，

∵點M(x0，y0)在直線上。∴-2k(2k2+m)+3，∴m=- 又BC與拋物線交于不同兩點，∴?=16k2+16m>0把m代入化簡得 即 ，

解得-1

[思維點拔]對稱問題要充分利用對稱的性質(zhì)特點。

【例5】已知橢圓的一個焦點F1(0，-2 )，對應的準線方程為y=- ，且離心率e滿足：2/3，e，4/3成等比數(shù)列。

(1) 求橢圓方程;

(2) 是否存在直線 ，使 與橢圓交于不同的兩點M、N，且線段MN恰被直線x=- 平分。若存在，求 的傾斜角的范圍;若不存在，請說明理由。

〖解〗依題意e=

(1)∵ -c= -2 = ，又e= ∴ =3，c=2 ，b=1，又F1(0，-2 )，對應的準線方程為y=- 。∴橢圓中心在原點，所求方程為：

=1

(2)假設存在直線 ，依題意 交橢圓所得弦MN被x=- 平分，∴直線 的斜率存在。設直線 ： 由

=1消去y，整理得

=0

∵直線 與橢圓交于不同的兩點M、N∴?=4k2m2-4(k2+9)(m2-9)>0

即m2-k2-9<0 ①

設M (x1，y1)、N(x2，y2)

∴ ，∴ ②

把②代入①可解得：

∴直線 傾斜角

[思維點拔] 傾斜角的范圍，實際上是求斜率的范圍。

三、小結(jié)：

1、 解決直線與圓錐曲線的位置關系問題時，對消元后的一元二次方程，必須討論二次項的系數(shù)和判別式，有時借助于圖形的幾何性質(zhì)更為方便。

2、 涉及弦的中點問題，除利用韋達定理外，也可以運用點差法，但必須是有交點為前提，否則不宜用此法。

3、求圓錐曲線的弦長，可利用弦長公式

= 或當 存在且不為零時

，(其中( )，( )是交點坐標。

再結(jié)合韋達定理解決，焦點弦長也可利用焦半徑公式處理，可以使運算簡化。

四、作業(yè)布置：教材P127闖關訓練。

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaozhong/69974.html

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