湖北省武漢市江岸區(qū)2012-2013學年八年級（下）期中數(shù)學試卷
一、選一選，比比誰細心（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．（3分）在 、 、 、 、 中分式的個數(shù)有（　�。�
　A．1個B．2個C．3個D．4個

考點：分式的定義．.
分析：判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．
解答：解：在 、 、 中的分母中均不含有字母，因此它們是整式，而不是分式．
在 、 分母中含有字母，因此是分式．
故選B．
點評：本題主要考查分式的定義，注意π不是字母，是常數(shù)，所以 不是分式，是整式．
　
2．（3分）下列關(guān)系式中，哪個等式表示y是x的反比例函數(shù)（　�。�
　A． B． C． D．

考點：反比例函數(shù)的定義．.
分析：根據(jù)反比例函數(shù)定義，形如y= （k≠0），直接選取答案．
解答：解：根據(jù)反比例函數(shù)的定義， 是反比例函數(shù)．
故選D．
點評：本題主要考查反比例函數(shù)的定義，熟記定義是解本題的關(guān)鍵．
　
3．（3分）人體中成熟紅細胞的平均直徑為0.0000077，用科學記數(shù)法表示為（　　）
　A．7.7×10?5B．77×10?6C．77×10_5D．7.7×10?6

考點：科學記數(shù)法—表示較小的數(shù)．.
專題：．
分析：科學記數(shù)法就是將一個數(shù)字表示成（a×10的n次冪的形式），其中1≤a＜10，n表示整數(shù)．n為整數(shù)位數(shù)減1，即從左邊第一位開始，在首位非零的后面加上小數(shù)點，再乘以10的n次冪．此題n＜0，n=?6．
解答：解：0.000 007 7=7.7×10?6．
故選D．
點評：用科學記數(shù)法表示一個數(shù)的方法是
（1）確定a：a是只有一位整數(shù)的數(shù)；
（2）確定n：當原數(shù)的絕對值≥10時，n為正整數(shù)，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1；當原數(shù)的絕對值＜1時，n為負整數(shù)，n的絕對值等于原數(shù)中左起第一個非零數(shù)前零的個數(shù)（含整數(shù)位數(shù)上的零）．
　
4．（3分）分式 有意義的條件是（　　）
　A．x≠0B．x≠2C．x≠?2且x≠0D．x≠?2

考點：分式有意義的條件．.
分析：分母為零，分式無意義；分母不為零，分式有意義．
解答：解：根據(jù)題意得：x+2≠0，
解得：x≠?2．
故選D．
點評：考查了分式有意義的條件，從以下三個方面透徹理解分式的概念：
（1）分式無意義⇔分母為零；
（2）分式有意義⇔分母不為零；
（3）分式值為零⇔分子為零且分母不為零．
　
5．（3分）若雙曲線 過點（2，1），則其一定過下列點（　�。�
　A．（1，3）B．（1，1）C．（4， ）D．（?1，2）

考點：反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征．.
分析：首先根據(jù)反比例函數(shù)所經(jīng)過的點得到k?1的值，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點確定答案．
解答：解：∵雙曲線 過點（2，1），
∴k?1=2×1，
解得：k?1=2，
A、1×3=3，故圖象不經(jīng)過（1，3）點；
B、1×1=1，故圖象不經(jīng)過（1，1）點；
C、4× =2，圖象一定經(jīng)過（4， ）點；
D、?1×2=2，圖象一不經(jīng)過（?1，2）點；
故選：C．
點評：此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k．
　
6．（3分）（2012•南充）矩形的長為x，寬為y，面積為9，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式用圖象表示大致為（　　）
　A． B． C． D．

考點：反比例函數(shù)的圖象；反比例函數(shù)的應用．.
分析：根據(jù)矩形的面積得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)x的范圍以及函數(shù)類型即可作出判斷．
解答：解：矩形的長為x，寬為y，面積為9，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是：y= （x＞0）．
是反比例函數(shù)，且圖象只在第一象限．
故選C．
點評：本題考查了反比例函數(shù)的圖象，注意x的取值范圍x＞0，容易出現(xiàn)的錯誤是忽視取值范圍，選擇B．
　
7．（3分）一旗桿離地面6處折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部8處，則旗桿折斷前的高度為（　�。�

　A．10B．12C．14D．16

考點：勾股定理的應用．.
分析：在Rt△ABC中由勾股定理可以求出AC的值，而旗桿的高度就等于AB+AC，求出其值即可．
解答：解：在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，由勾股定理，得
AC= =10，
故旗桿的高度為：AC+AB=10+6=16．
故選D．

點評：本題考查了勾股定理在解實際問題中的運用，弄清勾股定理存在的條件是重點，解答時分析求出文字語言的含義是關(guān)鍵．
　
8．（3分）（2013•清遠模擬）某工廠計劃x天內(nèi)生產(chǎn)120件零件，由于采用新技術(shù)，每天增加生產(chǎn)3件，因此提前2天完成計劃，列方程為（　�。�
　A． B． C． D．

考點：由實際問題抽象出分式方程．.
專題：．
分析：關(guān)鍵描述語為：“每天增加生產(chǎn)3件”；等量關(guān)系為：原計劃的工效=實際的工效?3．
解答：解：原計劃每天能生產(chǎn)零件 件，采用新技術(shù)后提前兩天即（x?2）天完成，所以每天能生產(chǎn) 件，
根據(jù)相等關(guān)系可列出方程 ．故選D．
點評：找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
　
9．（3分）△ABC中，AB=13c，AC=15c，高AD=12，則BC的長為（　　）
　A．14B．4C．14或4D．以上都不對

考點：勾股定理．.
專題：分類討論．
分析：分兩種情況討論：銳角三角形和鈍角三角形，根據(jù)勾股定理求得BD，CD，再由圖形求出BC，在銳角三角形中，BC=BD+CD，在鈍角三角形中，BC=CD?BD．
解答：解：（1）如圖，銳角△ABC中，AB=13，AC=15，BC邊上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得
BD2=AB2?AD2=132?122=25，
則BD=5，
在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得
CD2=AC2?AD2=152?122=81，
則CD=9，
故BC的長為BD+DC=9+5=14；
（2）鈍角△ABC中，AB=13，AC=15，BC邊上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得
BD2=AB2?AD2=132?122=25，
則BD=5，
在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得
CD2=AC2?AD2=152?122=81，
則CD=9，
故BC的長為DC?BD=9?5=4．
故選C．


點評：本題考查了勾股定理，把三角形邊的問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中用勾股定理解答．
　
10．（3分）如圖，若點是x軸正半軸上的任意一點，過點作PQ∥y軸，分別交函數(shù) （x＞0）和 （x＞0）的圖象于點P和Q，連接OP、OQ，則下列結(jié)論正確的個數(shù)有（　�。﹤�．
①∠POQ不可能等于90°
②
③這兩個函數(shù)的圖象一定關(guān)于x軸對稱
④△POQ的面積是 ．

　A．1B．2C．3D．4

考點：反比例函數(shù)綜合題．.
分析：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，xy=k，以及△POQ的面積= O•PQ分別進行判斷即可得出答案．
解答：解：①．∵P點坐標不知道，當P=Q時，∠POQ可能等于90°，故錯誤；
②．根據(jù)圖形可得：k1＞0，k2＜0，而P，Q為線段一定為正值，故 ，故錯誤；
③．根據(jù)k1，k2的值不確定，得出這兩個函數(shù)的圖象不一定關(guān)于x軸對稱，故錯誤；
④．∵k1=P•O，k2=Q•O，△POQ的面積= O•PQ= O（P+Q）= O•P+ O•Q，
∴△POQ的面積是 （k1+k2），故正確．
∴正確的只有④一個，
故選：A．
點評：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應用，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出k1=P•O，k2=Q•O是解題關(guān)鍵．
　
二、填一填，看看誰仔細（本大題共6小題，每小題3分，共18分，請將你的答案寫在橫線處）
11．（3分）寫出一個圖象與直線y=x有兩個交點的反比例函數(shù)的解析式　y= �。�

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．.
專題：開放型．
分析：由于y=x經(jīng)過第一、三象限，所以只有寫出一個分布在第一、三象限的反比例函數(shù)即可．
解答：解：∵y=x經(jīng)過第一、三象限，
∴圖象分布在第一、三象限的反比例函數(shù)圖象與直線y=x有兩個交點，
∴滿足條件的反比例函數(shù)可為y= ．
故答案為y= ．
點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點坐標滿足兩函數(shù)解析式．
　
12．（3分）計算3a?2b•2ab?2的結(jié)果為　 �。�

考點：負整數(shù)指數(shù)冪．.
分析：按照負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則求解即可．
解答：解：原式= • = ．
故答案為： ．
點評：本題考查了負整數(shù)指數(shù)冪的運算，解答本題的關(guān)鍵是掌握負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則．
　
13．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，BC=10，則AB的長為　 �。�

考點：等腰直角三角形．.
分析：根據(jù)已知條件易推知Rt△ABC是等腰直角三角形，則AC=BC，所以根據(jù)勾股定理來求線段AB的長度即可．
解答：解：如圖，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，
∴∠B=∠A=45°，
∴AC=BC=10，
∵AB= = =10 ．
故答案是：10 ．

點評：本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理．
　
14．（3分）反比例函數(shù)y= 的圖象在二、四象限，則k的取值范圍是　k＜?3�。�

考點：反比例函數(shù)的性質(zhì)．.
分析：圖象在二、四象限，則反比例系數(shù)小于0，即可求得k的范圍．
解答：解：根據(jù)題意得：k+3＜0，
解得：k＜?3，
故答案是：k＜?3．
點評：本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，理解性質(zhì)是關(guān)鍵．
　
15．（3分）已知 ，則 =　 　．

考點：完全平方公式．.
分析：先把已知等式兩邊平方，然后把加號轉(zhuǎn)變?yōu)闇p號，再求平方根即可．
解答：解：∵ ，
∴（ ）2=9，
∴（ ）2+4x• =9，
∴（ ）2=5，
∴ =± ，
故答案為：± ．
點評：本題考查了完全平方公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式中兩數(shù)和的平方與兩數(shù)差的平方的關(guān)系．理解最簡二次根式和平方根的定義．
　
16．（3分）（2012•日照）如圖，點A在雙曲線y= 上，過A作AC⊥x軸，垂足為C，OA的垂直平分線交OC于點B，當OA=4時，則△ABC周長為　 　．

考點：反比例函數(shù)綜合題．.
專題：壓軸題．
分析：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可知AB=OB，由此推出△ABC的周長=OC+AC，設OC=a，AC=b，根據(jù)勾股定理和函數(shù)解析式即可得到關(guān)于a、b的方程組 ，解之即可求出△ABC的周長．
解答：解：設A（a，b），則OC=a，AC=b．
∵點A在雙曲線y= 上，
∴b= ，即ab=6；
∵OA的垂直平分線交OC于B，
∴AB=OB，
∴△ABC的周長=OC+AC，
則： ，
解得a+b=2 ，
即△ABC的周長=OC+AC=2 ．
故答案是：2 ．
點評：本題考查反比例函數(shù)圖象性質(zhì)和線段中垂線性質(zhì)，以及勾股定理的綜合應用，關(guān)鍵是一個轉(zhuǎn)換思想，即把求△ABC的周長轉(zhuǎn)換成求OC+AC，即可解決問題．
　
三、解一解，試試誰更棒（本大題共7小題，共72分）
17．（14分）（1）計算：
（2）解方程： ．

考點：解分式方程；實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；負整數(shù)指數(shù)冪．.
專題：．
分析：（1）原式第一項利用負指數(shù)冪法則計算，第二項利用負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)化簡，第三項利用零指數(shù)冪法則計算，最后一項利用平方根的定義化簡，即可得到結(jié)果；
（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
解答：（1）解：原式=2+3+1+6=12；
（2）解：變形： ? =1，
去分母：x?5=2x?5，
解得：x=0，
經(jīng)檢驗x=0是分式方程的解．
點評：此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．
　
18．（8分）先化簡，再求值： ，其中x=3．

考點：分式的化簡求值．.
分析：首先對括號內(nèi)的分式進行同分相減，然后進行運算即可．
解答：解：原式= •
= •
=2x+4，
當x=2時，原式=4+4=8．x=3時，原式=10．
點評：解答此題的關(guān)鍵是把分式化到最簡，然后代值計算．
　
19．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=6，BC=8，
（1）求AB的長；
（2）求CD的長．

考點：勾股定理．.
分析：（1）用勾股定理求出斜邊AB的長度；
（2）用面積就可以求出斜邊上的高．
解答：解：（1）在Rt△ABC中
由勾股定理得：AB= =10；

（2）由面積公式得：S△ABC= AC•BC= AB•CD
∴CD=6×8÷2×2÷10=4.8．
點評：考查了勾股定理，利用勾股定理和直角三角形的面積相結(jié)合，求解斜邊上的高是解直角三角形的重要題型之一，也是中考的熱點．
　
20．（8分）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都為1，每個小正方形的頂點叫格點，以格點為頂點分別按下列要求畫圖：
（1）畫一條線段N，使N= ；
（2）畫△ABC，三邊長分別為3， ， ．

考點：勾股定理．.
專題：作圖題；網(wǎng)格型．
分析：（1）因為正方形網(wǎng)格中的每個正方形邊長都是1，根據(jù)勾股定理可得，直角邊長為2和3的直角三角形的斜邊長是 ；
（2）直角邊長是1和2的直角三角形的斜邊長是 ，直角邊長是2和2的直角三角形的斜邊長是 ，與長是3的線段，使它們能首尾相接，可得所求三角形．
解答：解：（1）線段N就是所求；
（2）△ABC是所求．

點評：本題考查勾股定理在圖中的應用，正確確定（ ）2，（ ）2以及（ ）2分別是哪兩個正整數(shù)的平方和，作出這三條線段是關(guān)鍵．
　
21．（10分）（2012•襄陽）如圖，直線y=k1x+b與雙曲線y= 相交于A（1，2）、B（，?1）兩點．
（1）求直線和雙曲線的解析式；
（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）為雙曲線上的三點，且x1＜x2＜0＜x3，請直接寫出y1，y2，y3的大小關(guān)系式；
（3）觀察圖象，請直接寫出不等式k1x+b＞ 的解集．

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．.
專題：．
分析：（1）將點A（1，2）代入雙曲線y= ，求出k2的值，將B（，?1）代入所得解析式求出的值，再用待定系數(shù)法求出k1和b的值，可得兩函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)的增減性在不同分支上進行研究；
（3）根據(jù)A、B點的橫坐標結(jié)合圖象進行解答．
解答：解：（1）∵雙曲線y= 經(jīng)過點A（1，2），
∴k2=2，
∴雙曲線的解析式為：y= ．
∵點B（，?1）在雙曲線y= 上，
∴=?2，則B（?2，?1）．
由點A（1，2），B（?2，?1）在直線y=k1x+b上，
得 ，
解得 ，
∴直線的解析式為：y=x+1．

（2）∵在第三象限內(nèi)y隨x的增大而減小，故y2＜y1＜0，
又∵y3是正數(shù)，故y3＞0，
∴y2＜y1＜y3．

（3）由圖可知x＞1或?2＜x＜0．
點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，求出交點坐標是解題的關(guān)鍵一步．
　
22．（10分）（2012•南寧）南寧市某生態(tài)示范村種植基地計劃用90畝～120畝的土地種植一批葡萄，原計劃總產(chǎn)量要達到36萬斤．
（1）列出原計劃種植畝數(shù)y（畝）與平均每畝產(chǎn)量x（萬斤）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）為了滿足市場需求，現(xiàn)決定改良葡萄品種．改良后平均每畝產(chǎn)量是原計劃的1.5倍，總產(chǎn)量比原計劃增加了9萬斤，種植畝數(shù)減少了20畝，原計劃和改良后的平均每畝產(chǎn)量各是多少萬斤？

考點：反比例函數(shù)的應用．.
分析：（1）直接根據(jù)畝產(chǎn)量、畝數(shù)及總產(chǎn)量之間的關(guān)系得到函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）根據(jù)題意列出 后求解即可．
解答：解：（1）由題意知：xy=36，
故y= （ ≤x≤ ）
（2）根據(jù)題意得：
解得：x=0.3
經(jīng)檢驗x=0.3是原方程的根．
1.5x=0.45
答：改良前畝產(chǎn)0.3萬斤，改良后畝產(chǎn)0.45萬斤．
點評：本題考查了反比例函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是從復雜的實際問題中整理出反比例函數(shù)模型，并利用其解決實際問題．
　
23．（12分）如圖1，直線AB分別交坐標軸交于A（?1，0）、B（0，1）兩點，與反比例函數(shù) （x＞0）的圖象交于點C（2，n）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）如圖2，在y軸上取點D（0，3），點E為直線x=1上的一動點，則x軸上是否存在一點F，使D、B、F、E四點所圍成的四邊形周長最�。咳舸嬖�，求出這個最小值及點E、F的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）如圖3，將直線y=?x向上平移，與坐標軸分別交于點P、Q，與 （x＞0）相交于點、N，若N=5P，求直線PQ的解析式．

考點：反比例函數(shù)綜合題．.
專題：綜合題．
分析：（1）先利用待定系數(shù)法確定直線AB的解析式為y=x+1，再把點C（2，n）代入y=x+1求出n，則C點坐標為（2，3），然后利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式；
（2）作B點關(guān)于x軸的對稱點B′，則B′（0，?1），連結(jié)CB′交直線x=1于E點，x交軸于F，根據(jù)D點與C點坐標得到點D與點C關(guān)于直線x=1對稱，則ED=EC，由B點關(guān)于x軸的對稱點B′得到FB=FB′，根據(jù)兩點之間線段最短得到此時四邊形BFED的周長為D、B、F、E四點所圍成的四邊形周長的最小值，然后根據(jù)兩點之間的距離公式計算出CB′=2 ，從而得到最小周長=2+2 ；再待定系數(shù)法求出直線CB′的解析式為y=2x?1，則把x=1或y=0分別代入y=2x?1可得到E點和F點坐標；
（3）過點、N分別作x軸的垂線，垂足分別為點H、Q，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到OH：HG=P：N，而N=5P，所以HG=5OH，設點坐標為（t， ），則N（6t， ），設直線PQ的解析式為y=?x+p，然后點、N點坐標代入得到關(guān)于t與p的方程組，再解方程組即可．
解答：解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，
把（?1，0）、B（0，1）代入得 ，解得 ，
∴直線AB的解析式為y=x+1，
把點C（2，n）代入y=x+1得n=2+1=3，
∴C點坐標為（2，3），
把點C（2，3）代入y= 得k=2×3=6，
∴反比例函數(shù)解析式為y= ；

（2）存在．
作B點關(guān)于x軸的對稱點B′，則B′（0，?1），連結(jié)CB′交直線x=1于E點，x交軸于F，如圖2，
∵D（0，3），C（2，3），
∴點D與點C關(guān)于直線x=1對稱，
∴ED=EC，
∵B點關(guān)于x軸的對稱點B′，
∴FB=FB′，
∴此時D、B、F、E四點所圍成的四邊形周長最小，最小值=BD+BF+FE+EC=BD+B′C=2+ =2+2 ；
設直線CB′的解析式為y=x+n，
把C（2，3）、B′（0，?1）代入 ，解得 ，
∴直線CB′的解析式為y=2x?1，
當x=1時，則y=2?1=1；當y=0時，2x?1=0，解得x= ，
∴點E坐標為（1，1），點F坐標為（ ，0）；

（3）過點、N分別作x軸的垂線，垂足分別為點H、Q，如圖3，
∵OP∥H∥NG，
∴OH：HG=P：N，
而N=5P，
∴HG=5OH，
設點坐標為（t， ），則N（6t， ），
設直線PQ的解析式為y=?x+p，
∵（t， ），N（6t， ）在直線PQ上，
∴ ，解得 或 （舍去），
∴直線PQ的解析式為y=?x+7．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和平行線分線段成比例定理；運用兩點之間線段最短解決最短路徑問題；熟練運用兩點間的距離公式計算線段的長．

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