2014-2015學(xué)年陜西省安康市平利縣八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
　
一、選擇題（本題有10個小題，每小題3分，滿分30分，下面每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的.）
1． 一個數(shù)9的平方根是（　�。�
　 A． ?3 B． 3 C． ±3 D． 81
　
2． 下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（　　）
　 A．  B．  C．  D．
　
3． 下列運算正確的是（　�。�
　 A． x6÷x2=x3 B． x6?x2=x4 C． x2•x3=x5 D． （x3）2=x5
　
4． 的絕對值是（　�。�
　 A． 2 B． ?2 C． ?4 D． 4
　
5． 是一個無理數(shù)，則下列判斷正確的是（　�。�
　 A． 1＜?1＜2 B． 2＜?1＜3 C． 3＜?1＜4 D． 4＜?1＜5
　
6． 在一定的條件下，若物體運動的路程s（米）與時間t（秒）的關(guān)系式為s=5t2+2t，則當(dāng)t=4秒時，該物體所經(jīng)過的路程為（　�。�
　 A． 28米 B． 48米 C． 68米 D． 88米
　
7． 在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，∠A的度數(shù)為（　�。�
　 A． 50° B． 65° C． 75° D． 80°
　
8． 對x2?3x+2分解因式，結(jié)果為（　�。�
　 A． x（x?3）+2 B． （x?1）（x?2） C． （x?1）（x+2） D． （x+1）（x?2）
　
9． 如圖，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列條件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的條件有（　　）

　 A． 4個 B． 3個 C． 2個 D． 1個
　
10． 如圖，一次函數(shù)圖象經(jīng)過點A，且與正比例函數(shù)y=?x的圖象交于點B，則該一次函數(shù)的表達式為（　　）

　 A． y=?x+2 B． y=x+2 C． y=x?2 D． y=?x?2
　
　
二、填空題（本題有6個小題，每小題3分，共18分）
11． 點A（?2，1）關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為　　　　　　．
　
12． 已知函數(shù)關(guān)系式：y=，則自變量x的取值范圍是　　　　　�。�
　
13． 計算：（x+2y）（x?2y）=　　　　　�。�
　
14． 隨著海拔高度的升高，大氣壓強下降，空氣中的含氧量也隨之下降，即含氧量y（g/m3）與大氣壓強x（kPa）成正比例函數(shù)關(guān)系．當(dāng)x=36（kPa）時，y=108（g/m3），請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式　　　　　　．
　
15． 如圖，△ABC≌△DCB，A、B的對應(yīng)頂點分別為點D、C，如果AB=7cm，BC=12cm，AC=9cm，DO=2cm，那么OC的長是　　　　　　cm．

　
16． 如圖，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，則CD=　　　　　　．

　
　
三、解答題（本題有9個小題，共102分，解答要求寫出文字說明，證明過程或計算步驟）
17． 計算：（x+y）2?y（2x+y）
（2）先計算，再把計算所得的多項式分解因式：（12a3?12a2+3a）÷3a．
　
18． 如圖，A、B兩點的坐標(biāo)分別是A、B．
（1）求△OAB的面積；
（2）若過A、B兩點的直線解析式為y=kx+b，求k，b的值．
（本小題結(jié)果保留小數(shù)點后一位）

　
19． 如圖，已知∠1=∠2，AC=AD，
求證：∠3=∠4．

　
20． 如圖，四邊形ABCD是長方形．
（1）作△ABC關(guān)于直線AC對稱的圖形；
（2）試判斷（1）中所作的圖形與△ACD重疊部分的三角形形狀，并說明理由．

　
21． 已知點P（x，y）是第一象限內(nèi)的一個動點，且滿足x+y=4．請先在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=2x+1的圖象，該圖象與x軸交于點A，然后解答下列問題：
（1）利用所畫圖象，求當(dāng)?1≤y≤3時x的取值范圍；
（2）若點P正好也在直線y=2x+1上，求點P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)△OPA的面積為S，求S關(guān)于點P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)解析式．

　
22． 已知2x+1的平方根為±5，求5x+4的立方根．
（2）已知x+y的算術(shù)平方根是3，（x?y）2=9，求xy的值．
　
23． 已知：如圖，AB=AC，點D是BC的中點，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足為E．
（1）求證：AD=AE．
（2）若BE∥AC，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

　
24． 一個安裝了兩個進水管和一個出水管的容器，每分鐘的進水量和出水量是兩個常數(shù)，且兩個進水管的進水速度相同．進水管和出水管的進出水速度如圖1所示，某時刻開始到6分鐘（至少打開一個水管），該容器的水量y（單位：升）與時間x如圖2所示．
（1）試判斷0到1分、1分到4分、4分到6分這三個時間段的進水管和出水管打開的情況．
（2）求4≤x≤6時，y隨x變化的函數(shù)關(guān)系式．
（3）6分鐘后，若同時打開兩個水管，則10分鐘時容器的水量是多少升？

　
25． 如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC．
（1）若AC=BC，∠B：∠C=2：1，試寫出圖中的所有等腰三角形，并給予證明．
（2）若AB+BD=AC，求∠B：∠C的比值．

　
　

2014-2015學(xué)年陜西省安康市平利縣八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
　
一、選擇題（本題有10個小題，每小題3分，滿分30分，下面每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的.）
1． 一個數(shù)9的平方根是（　�。�
　 A． ?3 B． 3 C． ±3 D． 81

考點： 平方根．
分析： 根據(jù)平方根的定義計算即可．
解答： 解：∵（±3）2=9，
∴9的平方根是±3．
故選C．
點評： 本題考查了平方根的定義：如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根，一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負數(shù)沒有平方根．
　
2． 下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（　　）
　 A．  B．  C．  D．

考點： 軸對稱圖形．
分析： 根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷后利用排除法求解．
解答： 解：A、不是軸對稱圖形，故本選項正確；
B、是軸對稱圖形，故本選項錯誤；
C、是軸對稱圖形，故本選項錯誤；
D、是軸對稱圖形，故本選項錯誤．
故選A．
點評： 本題考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
　
3． 下列運算正確的是（　　）
　 A． x6÷x2=x3 B． x6?x2=x4 C． x2•x3=x5 D． （x3）2=x5

考點： 同底數(shù)冪的除法；合并同類項；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．
專題： 探究型．
分析： 分別根據(jù)同底數(shù)冪的乘法與除法，合并同類項及冪的乘方法則進行計算即可．
解答： 解：A、根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則可知，x6÷x2=x4，故本選項錯誤；
B、根據(jù)同類項的定義可知x6和x2不是同類項，不能合并，故本選項錯誤；
C、根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則可知，x2•x3=x5，故本選項正確；
D、根據(jù)冪的乘方法則可知，（x3）2=x6，故本選項錯誤．
故選C．
點評： 本題考查的是同底數(shù)冪的乘法與除法，合并同類項、冪的乘方法則，熟記以上知識是解答此題的關(guān)鍵．
　
4． 的絕對值是（　　）
　 A． 2 B． ?2 C． ?4 D． 4

考點： 立方根；實數(shù)的性質(zhì)．
專題： 計算題．
分析： 如果一個數(shù)x的立方等于a，那么x是a的立方根，根據(jù)此定義求解再求出絕對值即可解答．
解答： 解：∵?2的立方等于?8，
∴?8的立方根等于?2．
?2的絕對值是2．
故選A．
點評： 此題主要考查了立方根的定義和性質(zhì)．求一個數(shù)的立方根，應(yīng)先找出所要求的這個數(shù)是哪一個數(shù)的立方．由開立方和立方是互逆運算，用立方的方法求這個數(shù)的立方根．注意一個數(shù)的立方根與原數(shù)的性質(zhì)符號相同．
　
5． 是一個無理數(shù)，則下列判斷正確的是（　　）
　 A． 1＜?1＜2 B． 2＜?1＜3 C． 3＜?1＜4 D． 4＜?1＜5

考點： 估算無理數(shù)的大�。�
專題： 計算題．
分析： 先對進行估算，再確定是在哪兩個相鄰的整數(shù)之間．
解答： 解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴，
即1＜?1＜2．
故選A．
點評： 本題考查無理數(shù)的估算，應(yīng)先看這個無理數(shù)在哪兩個有理數(shù)之間，進而求解．
　
6． 在一定的條件下，若物體運動的路程s（米）與時間t（秒）的關(guān)系式為s=5t2+2t，則當(dāng)t=4秒時，該物體所經(jīng)過的路程為（　�。�
　 A． 28米 B． 48米 C． 68米 D． 88米

考點： 二次函數(shù)的應(yīng)用．
分析： 把t=4代入函數(shù)關(guān)系式直接解答即可．
解答： 解：當(dāng)t=4時，
s=5t2+2t
=5×16+2×4
=88（米）．
故選D．
點評： 本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，難度簡單．
　
7． 在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，∠A的度數(shù)為（　�。�
　 A． 50° B． 65° C． 75° D． 80°

考點： 等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．
專題： 計算題．
分析： 根據(jù)題目給出的已知條件，利用三角形內(nèi)角和定理即可直接求出∠A的度數(shù)．
解答： 解：
∵在△ABC中，AB=AC，∠B=50°
∴∠A=180?50×2=80°
故選D．

點評： 此題主要考查學(xué)生對等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的理解和掌握．難度不大，是一道基礎(chǔ)題．
　
8． 對x2?3x+2分解因式，結(jié)果為（　�。�
　 A． x（x?3）+2 B． （x?1）（x?2） C． （x?1）（x+2） D． （x+1）（x?2）

考點： 因式分解-十字相乘法等．
分析： 常數(shù)項2可以寫成?1×（?2），?1+（?2）=?3，符合二次三項式的因式分解．
解答： 解：x2?3x+2=（x?1）（x?2）．
故選B．
點評： 主要考查了二次三項式的分解因式：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．
　
9． 如圖，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列條件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的條件有（　　）

　 A． 4個 B． 3個 C． 2個 D． 1個

考點： 全等三角形的判定．
分析： ∠1=∠2，∠BAC=∠EAD，AC=AD，根據(jù)三角形全等的判定方法，可加一角或已知角的另一邊．
解答： 解：已知∠1=∠2，AC=AD，由∠1=∠2可知∠BAC=∠EAD，
加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；
加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；
加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；
加②BC=ED只是具備SSA，不能判定三角形全等．
其中能使△ABC≌△AED的條件有：①③④
故選：B．
點評： 本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．做題時要根據(jù)已知條件在圖形上的位置，結(jié)合判定方法，進行添加．
　
10． 如圖，一次函數(shù)圖象經(jīng)過點A，且與正比例函數(shù)y=?x的圖象交于點B，則該一次函數(shù)的表達式為（　�。�

　 A． y=?x+2 B． y=x+2 C． y=x?2 D． y=?x?2

考點： 兩條直線相交或平行問題；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．
專題： 數(shù)形結(jié)合．
分析： 首先設(shè)出一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b（k≠0），根據(jù)圖象確定A和B的坐標(biāo)，代入求出k和b的值即可．
解答： 解：設(shè)一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b（k≠0），一次函數(shù)圖象經(jīng)過點A，且與正比例函數(shù)y=?x的圖象交于點B，
在直線y=?x中，令x=?1，解得：y=1，則B的坐標(biāo)是（?1，1）．把A（0，2），B（?1，1）的坐標(biāo)代入
一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b得：，
解得，該一次函數(shù)的表達式為y=x+2．
故選B．
點評： 本題要注意利用一次函數(shù)的特點，列出方程，求出未知數(shù)．
　
二、填空題（本題有6個小題，每小題3分，共18分）
11． 點A（?2，1）關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為　（2，1）�。�

考點： 關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)．
專題： 常規(guī)題型．
分析： 根據(jù)平面直角坐標(biāo)系關(guān)于坐標(biāo)軸成軸對稱的兩點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，易得答案．
解答： 解：根據(jù)平面內(nèi)關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，
已知點A（?2，1），則點A關(guān)于y軸對稱的點的橫坐標(biāo)為?（?2）=2，縱坐標(biāo)為1，
故點（?2，1）關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是（2，1）．
故答案為（2，1）．
點評： 本題考查平面直角坐標(biāo)系關(guān)于坐標(biāo)軸成軸對稱的兩點的坐標(biāo)之間的關(guān)系．應(yīng)該熟記這一個變換規(guī)律．
　
12． 已知函數(shù)關(guān)系式：y=，則自變量x的取值范圍是　x≥1�。�

考點： 函數(shù)自變量的取值范圍．
分析： 根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式計算即可得解．
解答： 解：根據(jù)題意得，x?1≥0，
解得x≥1．
故答案為：x≥1．
點評： 本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：
（1）當(dāng)函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；
（2）當(dāng)函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；
（3）當(dāng)函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)為非負數(shù)．
　
13． 計算：（x+2y）（x?2y）=　x2?4y2�。�

考點： 平方差公式．
分析： 符合平方差公式結(jié)構(gòu)，直接利用平方差公式計算即可．
解答： 解：（x+2y）（x?2y）=x2?4y2．
故答案為：x2?4y2．
點評： 本題重點考查了用平方差公式進行整式的乘法運算．平方差公式為（a+b）（a?b）=a2?b2．本題是一道較簡單的題目．
　
14． 隨著海拔高度的升高，大氣壓強下降，空氣中的含氧量也隨之下降，即含氧量y（g/m3）與大氣壓強x（kPa）成正比例函數(shù)關(guān)系．當(dāng)x=36（kPa）時，y=108（g/m3），請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式　y=3x�。�

考點： 根據(jù)實際問題列一次函數(shù)關(guān)系式．
專題： 應(yīng)用題．
分析： 成正比例函數(shù)，可設(shè)y=kx．
解答： 解：設(shè)y=kx，然后根據(jù)題意列出關(guān)系式．
依題意有：x=36（kPa）時，y=108（g/m3），
∴k=3，
故函數(shù)關(guān)系式為y=3x．
點評： 主要考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．
　
15． 如圖，△ABC≌△DCB，A、B的對應(yīng)頂點分別為點D、C，如果AB=7cm，BC=12cm，AC=9cm，DO=2cm，那么OC的長是　7　cm．

考點： 全等三角形的性質(zhì)．
專題： 計算題．
分析： 根據(jù)△ABC≌△DCB可證明△AOB≌△DOC，從而根據(jù)已知線段即可求出OC 的長．
解答： 解：由題意得：AB=DC，∠A=∠D，∠AOB=∠DOC，
∴△AOB≌△DOC，
∴OC=BO=BD?DO=AC?OD=7．
故答案為：7．
點評： 本題考查全等三角形的性質(zhì)，比較簡單在，注意掌握幾種判定全等的方法．
　
16． 如圖，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，則CD=　3　．

考點： 含30度角的直角三角形．
分析： 由于∠C=90°，∠ABC=60°，可以得到∠A=30°，又由BD平分∠ABC，可以推出∠CBD=∠ABD=∠A=30°，∴BD=AD=6，再由30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求出結(jié)果．
解答： 解：∵∠C=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=∠A=30°，
∴BD=AD=6，
∴CD=BD=6×=3．
故答案為：3．
點評： 本題利用了直角三角形的性質(zhì)和角的平分線的性質(zhì)求解．
　
三、解答題（本題有9個小題，共102分，解答要求寫出文字說明，證明過程或計算步驟）
17． 計算：（x+y）2?y（2x+y）
（2）先計算，再把計算所得的多項式分解因式：（12a3?12a2+3a）÷3a．

考點： 因式分解-運用公式法；整式的混合運算．
專題： 計算題．
分析： （1）利用完全平方公式，單項式乘多項式的法則計算，再合并同類項．
（2）先根據(jù)多項式除單項式的法則，先用多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加進行計算，再根據(jù)完全平方公式分解即可．
解答： 解：（1）（x+y）2?y（2x+y），
=x2+2xy+y2?2xy?y2，
=x2；

（2）（12a3?12a2+3a）÷3a，
=4a2?4a+1，
=（2a?1）2．
點評： 本題主要考查單項式乘多項式的法則，完全平方公式，多項式除單項式的法則，熟練掌握運算法則和公式是解題的關(guān)鍵．
　
18． 如圖，A、B兩點的坐標(biāo)分別是A、B．
（1）求△OAB的面積；
（2）若過A、B兩點的直線解析式為y=kx+b，求k，b的值．
（本小題結(jié)果保留小數(shù)點后一位）

考點： 待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．
專題： 數(shù)形結(jié)合．
分析： （1）根據(jù)A及B的左標(biāo)可算出面積；
（2）將兩點代入運用待定系數(shù)法可求解；
解答： 解：（1）依題意得：OB=，△OAB邊OB上的高為1
△OAB的面積=．
（2）依題意得：
解得，．
點評： 本題考查待定系數(shù)法的應(yīng)用，難度不大，注意坐標(biāo)與線段長度的轉(zhuǎn)化．
　
19． 如圖，已知∠1=∠2，AC=AD，
求證：∠3=∠4．

考點： 全等三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 證明題．
分析： 根據(jù)已知條件及公共邊相等可證△ABC≌△ABD，再利用外角和定理證明∠3=∠4．
解答： 證明：∵AB=AB，∠1=∠2，AC=AD，
∴△ABC≌△ABD，
∴∠ABC=∠ABD，
又∵∠3=180°?∠ABC，∠4=180°?∠ABD，
∴∠3=∠4．
點評： 本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)的運用．關(guān)鍵是利用對應(yīng)的內(nèi)角相等推出外角相等．
　
20． 如圖，四邊形ABCD是長方形．
（1）作△ABC關(guān)于直線AC對稱的圖形；
（2）試判斷（1）中所作的圖形與△ACD重疊部分的三角形形狀，并說明理由．

考點： 作圖-軸對稱變換；全等三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 作圖題．
分析： （1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)找到各點的對稱點，然后順次連接即可．
（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得出三角形的邊長的關(guān)系，從而可判斷出答案．
解答： 解：（1）如圖，
△ABC關(guān)于直線AC對稱的圖形為△ACE．

（2）△ACE與△ACD重疊部分為△OAC是等腰三角形．
∵△ABC關(guān)于直線AC對稱的圖形為△ACE，
∴△ABC≌△ACE，
∴∠D=∠B=∠E=90°，
AD=BC=EC，又AC=AC，
∴△ADC≌△AEC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴OA=OC，即△OAC是等腰三角形．

點評： 本題考查了軸對稱作圖及三角形形狀的證明的知識，難度較大，注意基本知識的掌握是關(guān)鍵．
　
21． 已知點P（x，y）是第一象限內(nèi)的一個動點，且滿足x+y=4．請先在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=2x+1的圖象，該圖象與x軸交于點A，然后解答下列問題：
（1）利用所畫圖象，求當(dāng)?1≤y≤3時x的取值范圍；
（2）若點P正好也在直線y=2x+1上，求點P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)△OPA的面積為S，求S關(guān)于點P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)解析式．

考點： 一次函數(shù)綜合題．
專題： 計算題．
分析： （1）因為函數(shù)為一次函數(shù)，所以當(dāng)y=?1時x=?1，當(dāng)y=3時，x=1，即得出x的范圍；（2）點P正好也在直線y=2x+1上，又點P也在直線x+y=4上，所以聯(lián)立方程可解出P的坐標(biāo)；（3）本問即求x與S的關(guān)系式，用x表達出△OPA的面積即可．
解答： 解：列表，連線畫圖
（1）由圖象可得，當(dāng)y=?1時x=?1，當(dāng)y=3時x=1
∴x的取值范圍為?1≤x≤1，

（2）點P正好也在直線y=2x+1上，
可得：，
解得，所以點P的坐標(biāo)為（1，3）；

（3）依題意得：對于y=2x+1，令當(dāng)y=0得x=點A坐標(biāo)為（，0）
∵點P（x，y）是第一象限內(nèi)，且x+y=4．
∴x的取值范圍為0＜x＜4
△OPA的面積S===，
即S關(guān)于點P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)解析式為S=．

點評： 本題考查了一次函數(shù)的知識，難度適中，關(guān)鍵是掌握正確畫出函數(shù)圖象．
　
22． 已知2x+1的平方根為±5，求5x+4的立方根．
（2）已知x+y的算術(shù)平方根是3，（x?y）2=9，求xy的值．

考點： 立方根；算術(shù)平方根．
專題： 計算題．
分析： （1）先根據(jù)平方根的定義求得x的值，然后求5x+4的值，最后根據(jù)立方根的定義解答；
（2）先根據(jù)算術(shù)平方根的定義求得x+y的值；然后利用完全平方公式來求xy的值．
解答： 解：（1）∵25的平方根為±5，
∴2x+1=25，
解得：x=12，
∴5x+4=64．
∴==4，
即5x+4立方根為4；

（2）∵9的算術(shù)平方根是3，
∴x+y=9；
∵（x?y）2=（x+y）2?4xy=9，
∴92?4xy=9，
解得，xy=18．

或：（x+y）2=x2+2xy+y2=81①
（x?y）2=x2?2xy+y2②
①?②，得4xy=72，
解得xy=18．
點評： 本題考查了平方根、立方根的定義．如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．如果一個數(shù)x的立方等于a，那么這個數(shù)x就叫做a的立方根．
　
23． 已知：如圖，AB=AC，點D是BC的中點，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足為E．
（1）求證：AD=AE．
（2）若BE∥AC，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

考點： 等邊三角形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 應(yīng)用題．
分析： （1）由邊角關(guān)系求證△ADB≌△AEB即可；
（2）由題中條件可得∠BAC=60°，進而可得△ABC為等邊三角形．
解答： 證明：（1）∵AB=AC，點D是BC的中點，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AE⊥AB，
∴∠E=90°=∠ADB，
∵AB平分∠DAE，
∴∠1=∠2，
在△ADB和△AEB中，，
∴△ADB≌△AEB（AAS），
∴AD=AE；

（2）△ABC是等邊三角形．理由：
∵BE∥AC，
∴∠EAC=90°，
∵AB=AC，點D是BC的中點，
∴∠1=∠2=∠3=30°，
∴∠BAC=∠1+∠3=60°，
∴△ABC是等邊三角形．

點評： 本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及等邊三角形的判定問題，能夠熟練掌握．
　
24． 一個安裝了兩個進水管和一個出水管的容器，每分鐘的進水量和出水量是兩個常數(shù)，且兩個進水管的進水速度相同．進水管和出水管的進出水速度如圖1所示，某時刻開始到6分鐘（至少打開一個水管），該容器的水量y（單位：升）與時間x如圖2所示．
（1）試判斷0到1分、1分到4分、4分到6分這三個時間段的進水管和出水管打開的情況．
（2）求4≤x≤6時，y隨x變化的函數(shù)關(guān)系式．
（3）6分鐘后，若同時打開兩個水管，則10分鐘時容器的水量是多少升？

考點： 一次函數(shù)的應(yīng)用．
專題： 計算題．
分析： （1）根據(jù)圖1，進水管每分鐘進1升的水，出水管每分鐘出2升的水，然后根據(jù)圖2中水量的變化情況，可以確定三個時間段進水管和出水管的打開情況．
（2）知道兩個點的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可以求出一次函數(shù)．
（3）根據(jù)進水管的進水速度，求出10分鐘時容器的水量．
解答： 解：（1）0到1分，打開一個進水管，打開一個出水管，
1分到4分，兩個進水管和一個出水管全部打開，
4分到6分，打開兩個進水管，關(guān)閉出水管；

（2）當(dāng)4≤x≤6時，函數(shù)圖象過點（4，4）（6，8），
設(shè)解析式為y=kx+b，依題意得：，
解得：，
∴函數(shù)解析式為y=2x?4；

（3）若同時打開一個進水管，一個出水管，則10分鐘時容器的水量是8+（?1）×4=4升，
若同時打開兩個進水管，則10分鐘時容器的水量是8+2×4=16升．
點評： 本題考查的是一次函數(shù)的應(yīng)用，（1）結(jié)合兩個圖形可以知道進水管和出水管的速度，以及容器中水量的變化情況，可以得到每個時間段水管的打開情況．（2）用待定系數(shù)法可以求出函數(shù)的表達式．（3）根據(jù)進水管進水的速度求出10分鐘時容器的水量．
　
25． 如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC．
（1）若AC=BC，∠B：∠C=2：1，試寫出圖中的所有等腰三角形，并給予證明．
（2）若AB+BD=AC，求∠B：∠C的比值．

考點： 等腰三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 證明題．
分析： （1）利用AC=BC可直接得出△ABC是等腰三角形，再利用三角形內(nèi)角和定理求出∠B=∠ADB，∠DAC=∠C，即可得出△ABD和△ADC是等腰三角形．
（2）此題有2種方法，方法1：在AC上截取AE=AB，連接DE，求證△ABD≌△ADE，然后得到∠B=∠AED=∠EDC+∠C=2∠C即可得出答案；
方法2：延長AB到E，使AE=AC連接DE，利用“截長法”或“補短法”添加輔助線，將AC?AB或AB+BD轉(zhuǎn)化成一條線段即可．
解答： 解：（1）等腰三角形有3個：△ABC，△ABD，△ADC，
證明：∵AC=BC
∴△ABC是等腰三角形
∴∠B=∠BAC
∵∠B：∠C=2：1
∠B+∠BAC+∠C=180°
∴∠B=∠BAC=72°，∠C=36°
∵∠BAD=∠DAC=∠BAC=36°
∴∠B=∠ADB=72°，
∴△ABD和△ADC是等腰三角形

（2）方法1：在AC上截取AE=AB，連接DE
又∠BAD=∠DAE，AD=AD
∴△ABD≌△ADE
∴∠AED=∠B，BD=DE
∵AB+BD=AC
∴BD=EC∴DE=EC
∴∠EDC=∠C
∴∠B=∠AED=∠EDC+∠C=2∠C
即∠B：∠C=2：1

方法2：延長AB到E，使AE=AC連接DE
證明△ADE≌△ADC
再類似證明得到∠B=2∠AED=2∠C
利用“截長法”或“補短法”添加輔助線，將AC?AB或AB+BD轉(zhuǎn)化成一條線段

點評： 此題主要考查學(xué)生對等腰三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，此題的（2）有兩種方法，不管學(xué)生用哪種方法解答，只要合理，就積極鼓勵表揚，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣．

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