河南省鄭州市2014-2015學年八年級上學期期末數學試卷

一、選擇題（每小題3分，共24分）
1．（3分） 的算術平方根是（）
 A． 4 B． 2 C．   D． ±2

2．（3分）在?2，0，3， 這四個數中，最大的數是（）
 A． ?2 B． 0 C． 3 D． 

3．（3分）如圖，直線a∥b，AC⊥AB，AC交直線b于點C，∠1=60°，則∠2的度數是（）
 
 A． 50° B． 45° C． 35° D． 30°

4．（3分）一次函數y=?2x+1的圖象不經過下列哪個象限（）
 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

5．（3分）若方程mx+ny=6的兩個解是 ， ，則m，n的值為（）
 A． 4，2 B． 2，4 C． ?4，?2 D． ?2，?4

6．（3分）為了解某社區(qū)居民的用電情況，隨機對 該社區(qū)10戶居民進行了調查，下表是這10戶居民2015年4月份用電量的調查結果：
居民（戶） 1 3 2 4
月用電量（度/戶） 40 50 55 60
那么關于這10戶居民月用電量（單位：度），下列說法錯誤的是（）
 A． 中位數是55 B． 眾數是60 C． 方差是29 D． 平均數是54

7．（3分）下列四組線段中，可以構成直角三角形的是（）
 A． 4，5，6 B． 1.5，2，2.5 C． 2，3，4 D． 1， ，3

8．（3分）圖象中所反映的過程是：張強從家跑步去體育場，在那里鍛煉了一陣后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示時間，y表示張強離家的距離．根據圖象提供的信息，以下四個說法錯誤的是（）
 
 A． 體育場離張強家2.5千米
 B． 張強在體育場鍛煉了15分鐘
 C． 體育場離早餐店4千米
 D． 張強從早餐店回家的平均速度是3千米/小時

二、選擇題（每小題3分，共21分）
9．（3分）計算：（ +1）（ ?1）=．

10．（3分）命題“相等的角是對頂角”是命題（ 填“真”或“假”）．

11．（3分）若 +（b+2）2=0，則點M（a，b）關于y軸的對稱點的坐標為．

12．（3分）將一副直角三角板如圖放置，使含30°角的三角板的短直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊重合，則∠1的度數為度．
 

13．（3分）按如圖的運算程序，請寫出一組能使輸出結果為3的x，y的值：．
 

14．（3分）已知函數y=ax+b和y=kx的圖象交于點P（?4，?2），則二元一次方程組 的解是．
 

15．（3分）在平面直角坐標系中，已知點A（? ，0），B（ ，0），點C在坐標軸上，且AC+BC=6，寫出滿足條件的所有點C的坐標．

三、解答題（共55分）
16．（6分）證明三角形內角和定理
三角形內角和定理內容：三角形三個內角和是180°．
已知：
求證：
證明：

17．（6分）在邊長為1的小正方形網格中，△AOB的頂點均在格點上，
（1）B點關于y軸的對稱點坐標為；
（2）將△AOB向左平移3個單位長度得到△A1O1B1，請畫出△A1O1B1；
（3）在（2）的條件下，A1的坐標為．
 

18．（6分）我國古代有這樣一道數學問題：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達其頂，問葛藤之長幾何？，題意是：如圖所示，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達點B處．則問題中葛藤的最短長度是多少尺？
 

19．（9分）九（1）班五位同學參加學校舉辦的數學素養(yǎng)競賽．試卷中共有20道題，規(guī)定每題答對得5分，答錯扣2分，未答得0分．賽后A，B，C，D，E五位同學對照評分標準回憶并記錄了自己的答題情況（E同學只記得有7道題未答），具體如下表
參賽同學 答對題數 答錯題數 未答題數
A 19 0 1
B 17 2 1
C 15 2 3
D 17 1 2
E / / 7
（1）根據以上信息，求A，B，C，D四位同學成績的平均分；
（2）最后獲知ABCDE五位同學成績分別是95分，81分，64分，83分，58分．
①求E同學的答對題數和答錯題數；
②經計算，A，B，C，D四位同學實際成績的平均分是80.75分，與（1）中算得的平均分不相符，發(fā)現是其中一位同學記錯了自己的答 題情況，請指出哪位同學記錯了，并寫出他的實際答題情況（直接寫出答案即可）

20．（8分）如圖1，A，B，C是鄭州市二七區(qū)三個垃圾存放點，點B，C分別位于點A的正北和正東方向，AC=40米．八位環(huán)衛(wèi)工人分別測得的BC長度如下表：
 甲 乙 丙 丁 戊 戌 申 辰
BC（單位：米） 84 76 78 82 70 84 86 80
他們又調查了各點的垃圾量，并繪制了下列尚不完整的統(tǒng)計圖2，圖3：
 
（1）求表中BC長度的平均數 、中位數、眾數；
（2）求A處的垃圾量，并將圖2補充完整；
（3）用（1）中的 作為BC的長度，要將A處的垃圾沿道路AB都運到B處，已知運送1千克垃圾每米的費用為0.005元，求運垃圾所需的費用．（注： =1.732）

21．（10分）觀察下列各式及其驗證過程： ，驗證： ． ，驗證： ．
（1）按照上述兩個等式及其驗證過程，猜想 的變形結果并進行驗證．
（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用a（a為任意自然數，且a≥2）表示的等式，并給出驗證．
（3）針對三次根式及n次根式（n為任意自然數，且n≥2），有無上述類似的變形？如果有，寫出用a（a為任意自然數，且a≥2）表示的等式，并給出驗證．

22．（10分）某學校開展“青少年科技創(chuàng)新比賽”活動，“喜洋洋”代表隊設計了一個遙控車沿直線軌道AC做勻速直線運動的模型．甲、乙兩車同時分別從A，B兩處出發(fā)，沿軌道到達C處，B在AC上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，設t（分）后甲、乙兩遙控車與B處的距離分別為d1，d2，則d1，d2與t的函數關系如圖，試根據圖象解決下列問題：
（1）填空：乙的速度v2=米/分；
（2）寫出d1與t的函數關系式：
（3）若甲、乙兩遙控車的距離超過10米時信號不會產生相互干擾，試探求什么時間兩遙控車的信號不會產生相互干擾？
 

 

河南省鄭州市2014-2015學年八年級上學期期末數學試卷
參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題3分，共24分）
1．（3分） 的算術平方根是（）
 A． 4 B． 2 C．   D． ±2

考點： 算術平方根．
分析： 先求出 =2，再根據算術平方根的定義解答．
解答： 解：∵ =2，
∴ 的算術平方根是 ．
故選C．
點評： 本題考查了算術平方根的定義，易錯題，熟記概念是解題的關鍵．

2．（3分）在?2，0，3， 這四個數中，最大的數是（）
 A． ?2 B． 0 C． 3 D． 

考點： 實數大小比較．
專題： 常規(guī)題型．
分析： 根據正數大于0，0大于負數，可得答案．
解答： 解：?2＜0＜ ＜3，
故選：C．
點評： 本題考查了實數比較大小， 是解題關鍵．

3．（3分）如圖，直線a∥b，AC⊥AB，AC交直線b于點C，∠1=60°，則∠2的度數是（）
 
 A． 50° B． 45° C． 35° D． 30°

考點： 平行線的性質；直角三角形的性質．
專題： 幾何圖形問題．
分析： 根據平行線的性質，可得∠3與∠1的關系，根據兩直線垂直，可得所成的角是90°，根據角的和差，可得答案．
解答： 解：如圖，
∵直線a∥b，
∴∠3=∠1=60°．
∵AC⊥AB，
∴∠3+∠2=90°，
∴∠2=90°?∠3=90°?60°=30°，
故選：D．
 
點評： 本題考查了平行線的性質，利用了平行線的性質，垂線的性質，角的和差．

4．（3分）一次函數y=?2x+1的圖象不經過下列哪個象限（）
 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

考點： 一次函數圖象與系數的關系．
專題： 數形結合．
分析： 先根據一次函數的解析式判斷出k、b的符號，再根據一次函數的性質進行解答即可．
解答： 解：∵解析式y(tǒng)=?2x+1中，k=?2＜0，b=1＞0，
∴圖象過第一、二、四象限，
∴圖象不經過第三象限．
故選：C．
點評： 本題考查的是一次函數的性質，即一次函數y=kx+b（k≠0）中，當k＜0時，函數圖象經過第二、四象限，當b＞0時，函數圖象與y軸相交于正半軸．

5．（3分）若方程mx+ny=6的兩個解是 ， ，則m，n的值為（）
 A． 4，2 B． 2，4 C． ?4，?2 D． ?2，?4

考點： 二元一次方程的解．
專題： 計算題．
分析： 將x與y的兩對值代入方程計算即可求出m與n的值．
解答： 解：將 ， 分別代入mx+ny=6中，
得： ，
①+②得：3m=12，即m=4，
將m=4代入①得：n=2，
故選：A
點評： 此題考查了二元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值．

6．（3分）為了解某社區(qū)居民的用電情況，隨機對該社區(qū)10戶居民進行了調查，下表是這10戶居民2015年4月份用電量的調查結果：
居民（戶） 1 3 2 4
月用電量（度/戶） 40 50 55 60
那么關于這10戶居民月用電量（單位：度），下列說法錯誤的是（）
 A． 中位數是55 B． 眾數是60 C． 方差是29 D． 平均數是54

考點： 方差；加權平均數；中位數；眾數．
專題： 常規(guī)題型．
分析： 根據中位數、眾數、平均數和方差的概念分別求得這組數據的中位數、眾數、平均數和方差，即可判斷四個選項的正確與否．
解答： 解：用電量從大到小排列順序為：60，60，60，60，55，55，50，50，50，40．
A、月用電量的中位數是55度，故A正確；
B、用電量的 眾數是60度，故B正確；
C、用電量的方差是39度，故C錯誤；
D、用電量的平均數是54度，故D正確．
故選：C．
點評： 考查了中位數、眾數、平均 數和方差的概念．中位數是將一組數據從小到大（或從大到�。┲匦屡帕泻螅�最中間的那個數（最中間兩個數的平均數），叫做這組數據的中位數．如果中位數的概念掌握得不好，不把數據按要求重新排列，就會錯誤地將這組數據最中間的那個數當作中位數．

7．（3分）下列四組線段中，可以構成直角三角形的是（）
 A． 4，5，6 B． 1.5，2，2.5 C． 2，3，4 D． 1， ，3

考點： 勾股定理的逆定理．
專題： 計算題．
分析： 由勾股定理的逆定理，只要驗證 兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．
解答： 解：A、42+52=41≠62，不可以構成直角三角形，故A選項錯誤；
B、1.52+22=6.25=2.52，可以構成直角三角形，故B選項正確；
C、22+32=13≠42，不可以構成直角三角形，故C選項錯誤；
D、12+（ ）2=3≠32，不可以構成直角三角形，故D選項錯誤．
故選：B．
點評： 本題考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形．

8．（3分）圖象中所反映的過程是：張強從家跑步去體育場，在那里鍛煉了一陣后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示時間，y表示張強離家的距離．根據圖象提供的信息，以下四個說法錯誤的是（）
 
 A． 體育場離張強家2.5千米
 B． 張強在體育場鍛煉了15分鐘
 C． 體育場離早餐店4千米
 D． 張強從早餐店回家的平均速度是3千米/小時

考點： 函數的圖象．
專題： 行程問題．
分析： 結合圖象得出張強從家直接到體育場，故第一段函數圖象所對應的y軸的最高點即為體育場離張強家的距離；進而得出鍛煉時間以及整個過程所用時間．由圖中可以看出，體育場離張強家2.5千米，體育場離早餐店2.5?1.5千米；平均速度=總路程÷總時間．
解答： 解：A、由函數圖象可知，體育場離張強家2.5千米，故A選項正確；
B、由圖象可得出張強在體育場鍛煉30?15=15（分鐘），故B選項正確；
C、體育場離張強家2.5千米，體育場離早餐店2.5?1.5=1（千米），故C選項錯誤；
D、∵張強從早餐店回家所用時間為95?65=30（分鐘），距離為1.5km，
∴張強從早餐店回家的平均速度1.5÷0.5=3（千米/時），故D選項正確．
故選：C．
點評： 此題主要考查了函數圖象與實際問題，根據已知圖象得出正確信息是解題關鍵．

二、選擇題（每小題3分，共21分）
9．（3分）計算：（ +1）（ ?1）=1．

考點： 二次根式的乘除法；平方差公式．
專題： 計算題．
分析： 兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數．就可以用平方差公式計算．結果是乘式中兩項的平方差（相同項的平方減去相反項的平方）．
解答： 解：（ +1）（ ?1）= ．
故答案為：1．
點評： 本題應用了平方差公式，使計算比利用多項式乘法法則要簡單．

10．（3分）命題“相等的角是對頂角”是假命題（填“真”或“假”）．

考點： 命題與定理．
分析： 對頂角相等，但相等的角不一定是對頂角，從而可得出答案．
解答： 解：對頂角相等，但相等的角不一定是對頂角，
從而可得命題“相等的角是對頂角”是假命題．
故答案為：假．
點評： 此題考查了命題與定理的知識，屬于基礎題，在判斷的時候要仔細思考．

11．（3分）若 +（b+2）2=0，則點M（a，b）關于y軸的對稱點的坐標為（?3，?2）．

考點： 關于x軸、y軸對稱的點的坐標；非負數的性質：偶次方；非負數的性質：算術平方根．
專題： 計算題．
分析： 先求出a與b的值，再根據平面直角坐標系中任意一點P（x，y），關于y軸的對稱點的坐標是（?x，y），即關于縱軸的對稱點，縱坐標不變，橫坐標變成相反數；這樣就可以求出M的對稱點的坐標．
解答： 解：∵ +（b+2）2=0，
∴a=3，b=?2；
∴點M（a，b）關于y軸的對稱點的坐標為（?3，?2）．
點評： 本題考查平面直角坐標系中關于坐標軸成軸對稱的兩點的坐標之間的關系，也考查了非負數的性質．

12．（3分）將一副直角三角板如圖放置，使含30°角的三角板的短直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊重合，則∠1的度數為75度．
 

考點： 三角形內角和定理；平行線的性質．
專題： 計算題．
分析： 根據三角形三內角之和等于180°求解．
解答： 解：如圖．
∵∠3=60°，∠4=45°，
∴∠1=∠5=180°?∠3?∠4=75°．
故答案為：75．
 
點評： 考查三角形內角之和等于180°．

13．（3分）按如圖的運算程序，請寫出一組能使輸出結果為3的x，y的值：x=1，y=?1．
 

考點： 解二元一次方程．
專題： 圖表型．
分析： 根據運算程序列出方程，取方程的一組正整數解即可．
解答： 解：根據題意得：2x?y=3，
當x=1時，y=?1．
故答案為：x=1，y=?1．
點評： 此題考查了解二元一次方程，弄清題中的運算程序是解本題的關鍵．

14．（3分）已知函數y=ax+b和y=kx的圖象交于點P（?4，?2），則二元一次方程組 的解是 ．
 

考點： 一次函數與二元一次方程（組）．
分析： 函數圖象的交點坐標即是方程組的解，有幾個交點，就有幾組解．
解答： 解：∵函數y=ax+b和y=kx的圖象交于點P（?4，?2），
∴點P（?4，?2），滿足二元一次方程組 ；
∴方程組的解是 ．
故答案為： ．
點評： 本題不用解答，關鍵是理解兩個函數圖象的交點即是兩個函數組成方程組的解．

15．（3分）在平面直角坐標系中，已知點A（? ，0），B（ ，0），點C在坐標軸上，且AC+BC=6，寫出滿足條件的所有點C的坐標（0，2），（0，?2），（?3，0），（3，0）．

考點： 勾股定理；坐標與圖形性質．
專題： 壓軸題；分類討論．
分析： 需要分類討論：①當點C位于x軸上時，根據線段間的和差關系即可求得點C的坐標；②當點C位于y軸上時，根據勾股定理求點C的坐標．
解答： 解：如圖，①當點C位于y軸上時，設C（0，b）．
則 + =6，解得，b=2或b=?2，
此時C（0，2），或C（0，?2）．
如圖，②當點C位于x軸上時，設C（a，0）．
則|? ?a|+|a? |=6，即2a=6或?2a=6，
解得a=3或a=?3，
此時C（?3，0），或C（3，0）．
綜上所述，點C的坐標是：（0，2），（0，?2），（?3，0），（3，0）．
故答案是：（0，2），（0，?2），（?3，0），（3，0）．
 
點評： 本題考查了勾股定理、坐標與圖形的性質．解題時，要分類討論，以防漏解．另外，當點C在y軸上時，也可以根據兩點間的距離公式來求點C的坐標．

三、解答題（共55分）
16．（6分）證明三角形內角和定理
三角形內角和定理內容：三角形三個內角和是180°．
已知：
求證：
證明：

考點： 三角形內角和定理．
專題： 證明題．
分析： 先寫出已知、證明，過點C作CD∥AB，點E為BC的延長線上一點，利用平行線的性質得到∠1=∠A，∠2=∠B，然后根據平角的定義進行證明．
解答： 已知：△ABC，如圖，
求證：∠A+∠B+∠C=180°，
證明：過點C作CD∥AB，點E為BC的延長線上一點，如圖，
∵CD∥AB，
∴∠1=∠A，∠2=∠ B，
∵∠C+∠1+∠2=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°．
 
點評： 本題考查了三角形內角和定理：三角形內角和是180°．本題的關鍵時把三角形三個角的和轉化為一個平角，同時注意文字題證明的步驟書寫．

17．（6分）在邊長為1的小正方形網格中，△AOB的頂點均在格點上，
（1）B點關于y軸的對稱點坐標為（?3，2）；
（2）將△AOB向左平移3個單位長度得到△A1O1B1，請畫出△A1O1B1；
（3）在（2）的條件下，A1的坐標為（?2，3）．
 

考點： 作圖-平移變換；關于x 軸、y軸對稱的點的坐標．
專題： 作圖題．
分析： （1）根據關于y軸對稱的點的橫坐標互為相反數，縱坐標相等解答；
（2）根據網格結構找出點A、O、B向左平移后的對應點A1、O1、B1的位置，然后順次連接即可；
（3）根據平面直角坐標系寫出坐標即可．
解答： 解：（1）B點關于y軸的對稱點坐標為（?3，2）；
（2）△A1O1B1如圖所示；
（3）A1的坐標為（?2，3）．
故答案為：（1）（?3，2）；（3）（?2，3）．
 
點評： 本題考查了利用平移變換作圖，關于y軸對稱點的坐標，熟練掌握網格結構準確找出對應點的位置是解題的關鍵．

18．（6分）我國古代有這樣一道數學問題：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達其頂，問葛藤之長幾何？，題意是：如圖所示，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達點B處．則問題中葛藤的最短長度是多少尺？
 

考點： 平面展開-最短路徑問題．
分析： 根據題意畫出圖形，再根據勾股定理求解即可．
解答： 解：如圖所示，在如圖所示的直角三角形中，
∵BC=20尺，AC=5×3=15尺，
∴AB= =25（尺）．
答：葛藤長為25尺．
 
點評： 本題考查的是平面展開?最短路徑問題，此類問題應先根據題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑．一般情況是兩點之間，線段最短．在平面圖形上構造直角三角形解決問題．

19．（9分）九（1）班五位同學參加學校舉辦的數學素養(yǎng)競賽．試卷中共有20道題，規(guī)定每題答對得5分，答錯扣2分，未答得0分．賽后A，B，C，D，E五位同學對照評分標準回憶并記錄了自己的答題情況（E同學只記得有7道題未答），具體如下表
參賽同學 答對題數 答錯題數 未答題數
A 19 0 1
B 17 2 1
C 15 2 3
D 17 1 2
E / / 7
（1）根據以上信息，求A，B，C，D四位同學成績的平均分；
（2）最后獲知ABCDE五位同學成績分別是95分，81分，64分，83分，58分．
①求E同學的答對題數和答錯題數；
②經計算，A，B，C，D四位同學實際成績的平均分是80.75分，與（1）中算得的平均分不相符，發(fā)現是其中一位同學記錯了自己的答題情況，請指出哪位同學記錯了，并寫出他的實際答題情況（直接寫出答案即可）

考點：  算術平均數；統(tǒng)計表．
分析： （1）直接算出A，B，C，D四位同學成績的總成績，再進一步求得平均數即可；
（2）①設E同學答對x題，答錯y題，根據對錯共20?7=13和總共得分58列出方程組成方程組即可；
②根據表格分別算出每一個人的總成績，與實際成績對比：A為19×5=95分正確，B為17×5+2×（?2）=81分正確，C為15×5+2×（?2）=71錯誤，D為 17×5+1×（?2）=83正確，E正確；所以錯誤的是C，多算7分，也就是答對的少一題，打錯的多一題，由此得出答案即可．
解答： 解：（1） = [（19+17+15+17）×5+（2+2+1）×（?2）]=82.5（分），
答：A，B，C，D四位同學成績的平均分是82.5分；

（2）①設E同學答對x題，答錯y題，由題意得
 ，
解得 ，
答：E同學答對12題，答錯1題；
②C同學，他實際答對14題，答錯3題，未答3題．
點評： 此題考查加權平均數的求法，二元一次方程組的實際運用，以及有理數的混合運算等知識，注意理解題意，正確列式解答．

20．（8分）如圖1，A，B，C是鄭州市二七區(qū)三個垃圾存放點，點B，C分別位于點A的正北和正東方向，AC=40米．八位環(huán)衛(wèi)工人分別 測得的BC長度如下表：
 甲 乙 丙 丁 戊 戌 申 辰
BC（單位：米） 84 76 78 82 70 84 86 80
他們又調查了各點的垃圾量，并繪制了下列尚不完整的統(tǒng)計圖2，圖3：
 
（1）求表中BC長度的平均數 、中位數、眾數；
（2）求A處的垃圾量，并將圖2補充完整；
（3）用（1）中的 作為BC的長度，要將A處的垃圾沿道路AB都運到B處，已知運送1千克垃圾每米的費用為0.005元，求運垃圾所需的費用．（注： =1.732）

考點： 條形統(tǒng)計圖；扇形統(tǒng)計圖；加權平均數；中位數；眾數．
分析： （1）利用平均數求法進而得出答案；
（2）利用扇形統(tǒng)計圖以及條形統(tǒng)計圖可得出C處垃圾量以及所占百分比，進而求出垃圾總量，進而得出A處垃圾量；
（3）利用銳角三角函數得出AB的長，進而得出運垃圾所需的費用．
解答： 解：（1） = =80（米），
眾數是：84米，中位數是：82米；
（2）∵C處垃圾存放量為：320kg，在扇形統(tǒng)計圖中所占比例為：50%，
∴垃圾總量為 ：320÷50%=640（千克），
∴A處垃圾存放量為：（1?50%?37.5%）×640=80（kg），占12.5%．
補全條形圖如下：
 
（2）垃圾總量是：320÷50%=640（千克），
則A處的垃圾量是：640×（1?50%?37.5%）=80（千克），
（3）在直角△ABC中，AB= = =40 =69.28（米）．
∵運送1千克垃圾每米的費用為0.005元，
∴運垃圾所需的費用為：69.28×80×0.005≈27（元），
答：運垃圾所需的費用為27元．
點評： 本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數據；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大�。�

21．（10分）觀察下列各式及其驗證過程： ，驗證： ． ，驗證： ．
（1）按照上述兩個等式及其驗證過程，猜想 的變形結果并進行驗證．
（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用a（a為任意自然數，且a≥2）表示的等式，并給出驗證．
（3）針對三次根式及n次根式（n為任意自然數，且n≥2），有無上述類似的變形？如果有，寫出用a（a為任意自然數，且a≥2）表示的等式，并給出驗證．

考點： 二次根式的性質與化簡．
專題： 規(guī)律型．
分析： （1）利用已知，觀察 ． ，可得 的值；
（2）由（1）根據二次根式的性質可以總結出一般規(guī)律；
（3）利用已知可得出三次根式的類似規(guī)律，進而驗證即可．
解答： 解：（1） =4 ，
理由是： = = =4 ；

（2）由（1）中的規(guī)律可知3=22?1，8=32?1，15=42?1，
∴ =a ，
驗證： = =a ；正確；

（3） =a （a為任意自然數，且a≥2），
驗證： = = =a ．
點評： 此題主要考查二次根式的性質與化簡，善于發(fā)現題目數字之間的規(guī)律，是解題的關鍵．

22．（10分）某學校開展“青少年科技創(chuàng)新比賽” 活動 ，“喜洋洋”代表隊設計了一個遙控車沿直線軌道AC做勻速直線運動的模型．甲、乙兩車同時分別從A，B兩處出發(fā)，沿軌道到達C處，B在AC上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，設t（分）后甲、乙兩遙控車與B處的距離分別為d1，d2，則d1，d2與t的函數關系如圖，試根據圖象解決下列問題：
（1）填空：乙的速度v2=40米/分；
（2）寫出d1與t的函數關系式：
（3）若甲、乙兩遙控車的距離超過10米時信號不會產生相互干擾，試探求什么時間兩遙控車的信號不會產生相互干擾？
 

考點： 一次函數的應用．
專題： 行程問題．
分析： （1）根據路程與時間的關系，可得答案；
（2）根據甲的速度是乙的速度的1.5倍，可得甲的速度，根據路程與時間的關系，可得a的值，根據待定系數法，可得答案；
（3）根據兩車的距離，可得不等式，根據解不等式，可得答案．
解答： 解：（1）乙的速度v2=120÷3=40（米/分），
故答案為：40；

（2）v1=1.5v2=1.5×40=60（米/分），
60÷60=1（分鐘），a=1，
d1= ；

（3）d2=40t，
當0≤t＜1時，d2+d1＞10，
即?60t+60+40t＞10，
解得0≤t＜2.5，
∵0≤t＜1，
∴當0≤t＜1時，兩遙控車的信號不會產生相互干擾；
當1≤t≤3時，d2?d1＞10，
即40t?（60t?60）＞10，
當1≤ 時，兩遙控車的信號不會產生相互干擾
綜上所述：當0≤t＜2.5時，兩遙控車的信號不會產生相互干擾．
點評： 本題考查了一次函數的應用，（1）利用了路程速度時間三者的關系，（2）分段函數分別利用待定系數法求解，（3）當0≤t＜1時，d2?d1＞10；當1≤t≤3時，d1?d2＞10，分類討論是解題關鍵．
 

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