第2章   特殊三角形檢測題
（時間:90分鐘，滿分:100分）
一、選擇題（每小題3分,共30分）
1.有下列命題：①等腰三角形的角平分線、中線和高重合；②等腰三角形兩腰上的高相等；
③等腰三角形的最短邊是底邊；④等邊三角形的高、中線、角平分線都相等；⑤等腰三角形都是銳角三角形.其中正確的有（     ）
A.1個            B.2個               C.3個               D.4個
2.（2015•江蘇蘇州中考）如圖，在△ABC中，AB=AC,D為BC中點，∠BAD=35°,則∠C的度數(shù)為（　　）
A.35°    B.45°    C.55°    D.60°

第2題圖
3.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A =36°，AB的垂直平分線DE交AC于點D，交AB于點E．有下列結(jié)論：①BD平分∠ABC；②AD=BD=BC；③△BCD的周長等于AB+BC；④D是AC的中點．其中正確的是（     ）
A.①②③         B.②③④       C.①②④           D.①③④
4.已知一個等腰三角形有兩條邊長為4 cm和9 cm，則該三角形的周長是(     )
A.17 cm          B.22 cm             C.17 cm或22 cm     D.18 cm
5.如圖，在△ABC中，∠B=∠C，點D在BC上，∠BAD=50°，AD=AE，則∠EDC的度數(shù)       為（    ）
A.15°             B.25°               C.30°               D.50°
6.（2015•陜西中考） 如圖，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分線，若在邊AB上截取BE=BC，連接DE，則圖中等腰三角形共有（   ）
A.2個          B. 3個           C.4個          D.5個
 

7.如圖，在等邊△ABC中，BD=CE，AD與BE相交于點P，則∠APE的度數(shù)是（    ）
A.45°    B.55°　　     C.60°   D.75°
8.下列說法中正確的是（      ）
A.已知 是三角形的三邊，則
B.在直角三角形中，兩邊的平方和等于第三邊的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°，所以  (a,b,c分別為∠A, ∠B, ∠C的對邊)
D.在Rt△ABC中，∠B=90°，所以  (a,b,c分別為∠A, ∠B, ∠C的對邊)
9.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=40，CB=9，點M，N在AB上，且AM=AC，BN=BC，則MN的長為（      ）
A.6                B.7                 C.8                   D.9

10.已知一個直角三角形的周長是4+2 ，斜邊上的中線長為2，則這個三角形的面積     為（     ）
A.5                 B.2                 C.              D.1
二、填空題（每小題3分,共24分）
11. 在△ABC中，AB=AC，∠A+∠B=115°，則∠A=     ，∠B=      .
12.若點D為△ABC的邊BC上一點，且AD=BD，AB=AC=CD，則∠BAC=____________．
13.已知在△ABC中，DE垂直平分AC，與AC邊交于點E，與BC邊交于點D，∠C=15°，
∠BAD=60°，則△ABC是________三角形．
14.等腰三角形的底邊長為a，頂角是底角的4倍，則腰上的高是_________.
15.若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為45°，則這個等腰三角形的底角為         .
16.已知等邊三角形的高為2 ，則它的邊長為________.
17.如圖，已知∠BAC=130°，AB=AC，AC的垂直平分線交BC于點D，則∠ADB=______°.
 

18.如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一點，∠BAE=∠DEC=60°，AB=CE=3，則AD=_________.
三、解答題（共46分）
19.（6分）如圖，請思考怎樣把每個三角形紙片只剪一次，將它分成兩個等腰三角形，試一試，在圖中畫出裁剪的痕跡.

20.（6分）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于點D，求證：BC=3AD.
21.（6分）如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E.
（1）若CD=1 cm，求AC的長；
（2）求證：AB=AC+CD.

22.（7分）（2015•浙江麗水中考）如圖，已知△ABC，∠C=90°，AC<BC，D為BC上一點，且到A，B兩點的距離相等.
（1）用直尺和圓規(guī)，作出點D的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）連接AD，若∠B=37°，求∠CAD的度數(shù).
 

第22題圖
23.（7分）如圖，在等邊△ABC中，點P在△ABC內(nèi)，點Q在△ABC外，B，P，Q三點在一條直線上，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？試證明你的結(jié)論．
24.（7分）如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊AB為邊作等邊△ABD，連接DC，以DC為邊作等邊△DCE，點B，E在C，D的同側(cè)，若AB= ，求BE的長.
 

25.（7分）在△ABC中，AB=AC，點D是直線BC上一點（不與B，C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．
（1）如圖（1），當點D在線段BC上時，如果∠BAC=90°，則∠BCE=     °．
（2）設(shè)∠BAC=α，∠BCE=β．
①如圖（2），當點D在線段BC上移動時，α，β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由.
②當點D在直線BC上移動時，α，β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論．

第2章   特殊三角形檢測題參考答案
一、選擇題
1.B   解析：只有②④是正確的.
2. C  解析：∵ AB=AC，D為BC中點，
∴ AD是∠BAC的平分線，AD⊥BC.
∵ ∠BAD=35°，∴ ∠DAC=35°，
∴ 在Rt△DAC中，∠C=90°－∠DAC=90°－35°=55°.
3.A  解析：∵ AB=AC，∠A=36°，
∴ ∠ABC=∠C=72°．
∵ DE垂直平分AB，
∴ DA=DB，∴ ∠ABD=∠A=36°．
∴ ∠DBC=36°，∠BDC=72°，
∴ BD平分∠ABC，AD=BD=BC，①②正確;
△BCD的周長=BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC=BC+AB，③正確.
∵ BD>CD，∴ AD>CD，故④錯誤．
4.B   解析：4+9+9=22（cm）.
5.B   解析：∠AED=∠EDC+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，
∵ AD=AE，∴ ∠AED=∠ADE.
∵ AB=AC，∴ ∠B=∠C，
∴ ∠B+∠BAD=∠EDC+∠C+∠EDC，
即∠BAD=2∠EDC.
∵ ∠BAD=50°，∴ ∠EDC=25°，故選B．
6. D  解析：在 中，∵ ∠A=36°，AB=AC,∴ ∠ABC=∠C=72°.
∵ BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD=36°,
∴ ∠A=∠ABD,∠C=∠CDB=72°,
∴  , 都是等腰三角形，∴ BC=BD.
∵ BE=BC, ∴ BD=BE,
∴  是等腰三角形，易得∠BED=72°.
在 中,∵∠A=36°,∴ ∠ADE=∠A =36°,
∴  是等腰三角形.
又∵ 在 中，AB=AC,
∴  是等腰三角形.
故共有5個等腰三角形. 
7.C   解析：∵ △ABC是等邊三角形，
∴ ∠ABD=∠C，AB=BC.
又∵ BD=CE，∴ △ABD≌△BCE.
∴ ∠BAD=∠CBE.
∵ ∠ABE+∠EBC=60°，
∴ ∠ABE+∠BAD=60°，
∴ ∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，故選C.
8.C  解析：A.不確定三角形是否為直角三角形，且c是否為斜邊，故A選項錯誤；
B.不確定第三邊是否為斜邊，故B選項錯誤；
C.因為∠C=90°，所以其對邊為斜邊，故C選項正確；
D.因為∠B=90°，所以 ，故D選項錯誤.
9.C  解析：因為在Rt△ABC中，AC=40，BC=9，
所以由勾股定理得AB=41.
因為BN=BC=9，AM=AC=40，
所以MN=AM+BN AB=40+9 41=8.
10.B   解析：設(shè)此直角三角形為△ABC，其中∠C＝90°，BC=a，AC=b，
因為直角三角形斜邊的長等于斜邊上中線長的2倍，所以AB=4.
又因為△ABC的周長是 ，所以 .
平方得 ，即 .
由勾股定理知 ，
所以 .
二、填空題
11. 50°  65°  解析：∠C=180°－115°=65°，∠B=∠C=65°，∠A=180°－65°×2=50°.
12.108°  解析：如圖，∵在△ABC中，AB=AC，∴ ∠B=∠C.
∵ AD=BD，∴ ∠B=∠C=∠1.
∵ ∠4是△ABD的外角，∴ ∠4=∠1+∠B=2∠C.
∵ AC=CD，∴ ∠2=∠4=2∠C.
在△ADC中，∵ ∠4+∠2+∠C=180°，即5∠C=180°，∴ ∠C=36°，
∴ ∠1+∠2=∠C+2∠C=3×36°=108°，即∠BAC=108°．
 

13.直角   解析：如圖，∵ DE垂直平分AC，∴ AD=CD.
又∠C=15°，∴ ∠C=∠DAC=15°，∠ADB=∠C+∠DAC=30°.
又∵ ∠BAD=60°，∴ ∠BAD+∠ADB=90°，
∴ ∠B=90°，即△ABC是直角三角形.
14. a  解析：因為等腰三角形的頂角是底角的4倍，所以頂角是120°，底角是30°.如圖，在△ABC中，AC=BC，BD⊥AD，∠A=∠ABC= 30°，AB=a，則BD=  .
15.22.5°或67.5°  解析：當?shù)妊�三角形為銳角三角形時，底角為67.5°；當?shù)妊�三角形為鈍角三角形時，底角為22.5°.
16.4 
17.50
18.6    解析：因為∠BAE=60°，所以∠AEB=30°.
所以∠AEB+∠DEC=30°+60°=90°，所以∠AED=90°.
又因為AB=CE=3，所以AE=DE=6，所以AD=6 .
三、解答題
19.解：如圖所示.
 

20.證明：∵ AB=AC，∠BAC=120°，
∴ ∠B=∠C=30°，
∴ 在Rt△ADC中CD=2AD.
∵ ∠BAC=120°，∴ ∠BAD=120°－90°=30°，
∴ ∠B=∠BAD，∴ AD=BD，∴ BC=3AD.
21.（1）解：因為AD是∠CAB的平分線，CD⊥AC，DE⊥AB，
所以CD=DE=1 cm.
因為AC=BC，所以∠CAB=∠B= .
又因為DE⊥AB，所以∠EDB=∠B= .
所以ED=EB.所以DB= （cm）.
所以AC=BC=CD+DB= cm.
（2）證明：在△ACD和△AED中，∠CAD=∠EAD，∠C=∠AED，AD=AD，
所以△ACD≌△AED，所以AC=AE.
由（1）得CD=DE=BE，又AB=AE+EB，所以AB=AC+CD.
22. 解：(1)點D的位置如圖所示(D為AB中垂線與BC的交點).
(2)∵ 在Rt△ABC中，∠B=37°，∴ ∠CAB=53°.
又∵ AD=BD，∴ ∠BAD=∠B=37°.
∴ ∠CAD=53°－37°=16°.
 

第22題答圖
23.解：△APQ為等邊三角形．證明如下：
∵ △ABC為等邊三角形，∴ AB=AC．
∵ ∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，
∴ △ABP≌△ACQ（SAS）．∴ AP=AQ，∠BAP=∠CAQ．
∵ ∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°，
∴ ∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=∠BAP+∠PAC=∠BAC=60°．
∴ △APQ是等邊三角形．
24. 解：因為△ABD和△CDE都是等邊三角形，
所以AD=BD，CD=DE，∠ADB=∠CDE=60°.
所以∠ADB－∠CDB=∠CDE－∠CDB，即∠ADC=∠BDE.
在△ADC和△BDE中，因為AD=BD，CD=DE，∠ADC=∠BDE，
所以△ADC≌△BDE，所以AC=BE.
在等腰Rt△ABC中，因為AB= ，
所以AC=BC=1，故BE=1.
25.解：（1）90．
（2）①α+β=180°．
理由：因為∠BAC=∠DAE，
所以∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE．
又AB=AC，AD=AE，
所以△ABD≌△ACE．所以∠B=∠ACE．
所以∠B+∠ACB =∠ACE+∠ACB，
所以∠B+∠ACB =β．
因為α+∠B+∠ACB =180°，所以α+β=180°．
②當點D在射線BC上時，α+β=180°．
當點D在射線CB上時，α=β．
 

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