2012-2013學年吉林省遼源市東豐縣八年級（下）期末數學試卷
參考答案與試題解析
　
一、（每題3分，共30分）
1．（3分）已知分式 有意義，則a的取值范圍是（　�。�
　A．a=0B．a≠0，b=0C．a≠0D．a≠0且b≠0

考點：分式有意義的條件．
分析：根據分式有意義的條件可得a≠0．
解答：解：根據題意的：a≠0，
故選：C．
點評：此題主要考查了分式有意義的條件，關鍵是掌握分式有意義，則分母≠0．
　
2．（3分）（2005•寧夏）體育課上，八年級（1）班兩個組各10人參加立定跳遠，要判斷哪一組成績比較整齊，通常需要知道這兩個組立定跳遠成績的（　�。�
　A．平均數B．方差C．眾數D．中位數

考點：方差．
專題：．
分析：根據方差的意義：是反映一組數據波動大小，穩(wěn)定程度的量；方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，反之也成立．故要判斷哪一組成績比較整齊，通常需要知道這兩個組立定跳遠成績的方差．
解答：解：由于方差反映的是一組數據的穩(wěn)定程度，故要判斷哪一組成績比較整齊應需要知道方差．
故選B．
點評：本題考查方差的意義．方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩(wěn)定．
　
3．（3分）矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質是（　�。�
　A．對邊相等B．對角線互相平分C．對角線互相垂直D．對角線相等

考點：矩形的性質；平行四邊形的性質．
專題：證明題．
分析：矩形相對于平行四邊形的一個特性為：對角線相等．
解答：解：矩形對角線互相平分且相等，故A和B，C，都不對．
故選D．
點評：要熟悉特殊平行四邊形的性質．
　
4．（3分）下列函數關系式中，y是x的反比例函數的是（　�。�
　A．y=2x?1B． C． D．y=

考點：反比例函數的定義．
分析：根據反比例函數的定義，反比例函數的一般式是y= （k≠0），可以判定函數的類型．
解答：解：A、是一次函數，故此選項錯誤；
B、是正比例函數，故此選項錯誤；
C、不是反比例函數，故此選項錯誤；
D、是反比例函數，故此選項正確．
故選D．
點評：本題考查了反比例函數的定義，重點是掌握反比例函數解析式的形式為y= （k為常數，k≠0）或y=kx?1（k為常數，k≠0）．
　
5．（3分）在下列各組線段中，三條線段首尾相連能構成直角三角形的是（單位：c）（　�。�
　A．0.6，0.8，1B．5，5，7C．3，6，9D． ， ，

考點：勾股定理的逆定理．
分析：判斷是否為直角三角形，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．
解答：解：A、因為0.62+0.82=12，所以能組成直角三角形；
B、因為52+52≠72，所以不能組成直角三角形；
C、因為32+62≠92，所以不能組成直角三角形；
D、因為（ ）2+（ ）2=（ ）2，所以不能組成直角三角形．
故選A．
點評：本題考查勾股定理的逆定理的應用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．
　
6．（3分）如圖，A，B兩點被池塘隔開，在A，B外選一點C，連接AC和BC，并分別找出AC和BC的中點，N，如果測得N=20，那么A，B兩點間的距離是多少？（　�。�

　A．20B．30C．40D．50

考點：三角形中位線定理．
分析：根據三角形中位線定理知AB=2N．
解答：解：如圖，∵AC和BC的中點是，N，
∴N是△ABC的中位線，
∴AB=2N=40．即A、B兩點間的距離是40．
故選C．
點評：此題考查的是三角形中位線的性質，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．
　
7．（3分）下列運算正確的是（　�。�
　A．x2•x3=x6B．（x+1）2=x2+1C． D．（?x）2÷x=x

考點：完全平方公式；同底數冪的；同底數冪的除法；負整數指數冪．
專題：．
分析：根據同底數冪的法則對A進行判斷；根據完全平方公式對B進行判斷；根據負整數指數冪的意義對C進行判斷；根據同底數冪的除法對D進行判斷．
解答：解：A、x2•x3=x5，所以A選項錯誤；
B、（x+1）2=x2+2x+1，所以B選項錯誤；
C、2x?2= ，所以C選項錯誤；
D、（?x）2÷x=x2÷x=x，所以D選項正確．
故選D．
點評：本題考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．也考查了同底數冪的乘法、同底數冪的除法以及負整數指數．
　
8．（3分）（2012•泰安）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點C的直線CE⊥AB，垂足為E，若∠EAD=53°，則∠BCE的度數為（　　）

　A．53°B．37°C．47°D．123°

考點：平行四邊形的性質．
分析：設EC于AD相交于F點，利用直角三角形兩銳角互余即可求出∠EFA的度數，再利用平行四邊形的性質：即兩對邊平行即可得到內錯角相等和對頂角相等，即可求出∠BCE的度數．
解答：解：∵在平行四邊形ABCD中，過點C的直線CE⊥AB，
∴∠E=90°，
∵∠EAD=53°，
∴∠EFA=90°?53°=37°，
∴∠DFC=37
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠BCE=∠DFC=37°．
故選B．
點評：此題主要考查了平行四邊形的性質和對頂角相等，根據題意得出∠E=90°和的對頂角相等是解決問題的關鍵．
　
9．（3分）在同一坐標系中，一次函數y=kx?k和反比例函數y= 的圖象大致位置可能是下圖中的（　�。�
　A． B． C． D．

考點：反比例函數的圖象；一次函數的圖象．
分析：先根據四個選項的共同點確定k的符號，再根據各函數圖象的性質確定圖象所在的象限即可．
解答：解：由圖可知四個選項中正比例函數得圖象均為?k＞0，故k＜0，
一次函數y=kx?k為減函數，則反比例函數y= 中2k＜0，其圖象過二、四象限．
故選C．
點評：本題主要考查了反比例函數的圖象性質和一次函數的圖象性質，關鍵是由k的取值確定函數所在的象限．
　
10．（3分）（2012•泰安）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，對角線AC的垂直平分線分別交AD、AC于點E、O，連接CE，則CE的長為（　�。�

　A．3B．3.5C．2.5D．2.8

考點：線段垂直平分線的性質；勾股定理；矩形的性質．
專題：．
分析：根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質可得AE=CE，設CE=x，表示出ED的長度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式計算即可得解．
解答：解：∵EO是AC的垂直平分線，
∴AE=CE，
設CE=x，則ED=AD?AE=4?x，
在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2，
即x2=22+（4?x）2，
解得x=2.5，
即CE的長為2.5．
故選C．
點評：本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，勾股定理的應用，把相應的邊轉化為同一個直角三角形的邊是解題的關鍵．
　
二、題（每題3分，共24分）
11．（3分）計算： + =　5�。�

考點：負整數指數冪；零指數冪．
分析：根據有理數的負整數指數次冪等于正整數指數次冪的倒數計算即可得解．
解答：解：原式=1+ =1+4=5
故答案為：5
點評：本題考查了負整數指數次冪等于正整數指數次冪的倒數的性質．任何非零實數的0次冪等于1．
　
12．（3分）（2007•陜西）在△ABC的三個頂點A（2，?3），B（?4，?5），C（?3，2）中，可能在反比例函數y= （k＞0）的圖象上的點是
　B�。�

考點：反比例函數圖象上點的坐標特征．
分析：根據k=xy對A（2，?3），B（?4，?5），C（?3，2）三點逐一驗證即可．
解答：解：根據反比例函數圖象上的點的橫縱坐標的乘積等于函數的系數k可知，
因為k＞0，所以可能在圖象上的點只有B．
故答案為：B．
點評：本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，即圖象上任意一點的橫縱坐標之積為k．
　
13．（3分）（2009•遂寧）如圖，已知△ABC中，AB=5c，BC=12c，AC=13c，那么AC邊上的中線BD的長為　 　c．

考點：勾股定理的逆定理；直角三角形斜邊上的中線．
分析：由勾股定理的逆定理，判斷三角形為直角三角形，再根據直角三角形的性質直接求解．
解答：解：∵AB=5c，BC=12c，AC=13c，由勾股定理的逆定理得，△ABC是直角三角形，
∴BD= AC= c．
點評：解決此題的關鍵是熟練運用勾股定理的逆定理判定直角三角形，明確了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半之后此題就不難了．
　
14．（3分）已知某一組數據x1，x2，x3，…，x20，其中樣本方差S2= [（x1?5）2+（x2?5）2+…+（x20?5）2]，則這20個數據的總和是　100　．

考點：方差；算術平均數．
分析：先根據方差的計算公式：s2= [（x1? ）2+（x2? ）2+…+（xn? ）2]，其中n是樣本容量， 表示平均數，得出本題中20個數據的平均數為5，再根據平均數的定義求解．
解答：解：∵一組數據x1，x2，x3，…，x20，其中樣本方差S2= [（x1?5）2+（x2?5）2+…+（x20?5）2]，
∴這20個數據的平均數為5，
∴這20個數據的總和是5×20=100．
故答案為100．
點評：本題考查方差及平均數的意義，一般地，設n個數據，x1、x2、…xn的平均數為 ，則方差s2= [（x1? ）2+（x2? ）2+…+（xn? ）2]，平均數是指在一組數據中所有數據之和再除以數據的個數．
　
15．（3分）從一般到特殊是一種重要的數學思想，右圖通過類比的方法展現了認識三角形與平行四邊形圖形特征的過程，你認為“？”處的圖形名稱是　正方形　．

考點：正方形的性質．
專題：圖表型．
分析：首先觀察圖形，知道四邊相等的長方形是正方形．
解答：解：由圖形觀察可知，四邊相等的長方形是正方形．
故答案為正方形
點評：本題主要考查正方形的性質，此題新穎而不難．
　
16．（3分）（2009•綏化）若關于x的方程 無解，則=　?2�。�

考點：分式方程的解．
專題：計算題．
分析：分式方程無解的條件是：去分母后所得整式方程無解，或解這個整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
解答：解：去分母得，2=x?3?
解得，x=5+
當分母x?3=0即x=3時方程無解
∴5+=3即=?2時方程無解．則=?2．
點評：本題考查了分式方程無解的條件，是需要識記的內容．并且在解方程去分母的過程中，一定要注意分數線起到括號的作用，并且要注意沒有分母的項不要漏乘．
　
17．（3分）已知反比例函數y=? 的圖象上有點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＞x2＞0＞x3，則y1，y2，y3大小關系是　y3＞y1＞y2　．

考點：反比例函數圖象上點的坐標特征．
分析：先根據函數解析式判斷出函數圖象所在的象限，再根據x1＞x2＞0＞x3，即可判斷出y1，y2，y3的大�。�
解答：解：∵反比例函數y=? 中k=?（a2+1）＜0，
∴此函數圖象的兩個分支在二、四象限，且在每一象限內y隨x的增大而增大，
∵x1＞x2＞0，
∴A、B兩點在第二象限，
∴0＞y1＞y2，
∵x3＜0，∴點C在第二象限，
∴y3＞0，
∴y3＞y1＞y2．
故答案為：y3＞y1＞y2．
點評：本題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特點，即反比例函數圖象上各點的坐標一定適合此函數的解析式．
　
18．（3分）如圖，將兩張對邊平行且寬度相等的紙條交叉疊放在一起，若∠DAB=60°，AD=2，則重合部分的面積為　 　．

考點：菱形的判定與性質．
分析：易得該四邊形是一個菱形，作出高，求出高，即可求得相應的面積．
解答：解：∵兩張紙條都是長方形，
∴AB∥CD，BC∥AD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形．
過點D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．
∵兩張長方形紙條的寬度相等，
∴DE=DF．
又∵平行四邊形ABCD的面積=AB•DE=BC•DF，
∴AB=BC，
∴平行四邊形ABCD為菱形．
∴AB=AD=2．
又∵∠DAB=60°，AD=2，
∴DE= ，
∴S菱形ABCD=AB•DE=2× =2 ．
故答案是：2 ．

點評：本題主要考查了菱形的判定與性質．一個四邊形為菱形的理論依據，常用三種方法：
①定義；
②四邊相等的平行四邊形；
③對角線相互垂直平分的平行四邊形．
　
三、解答題（每小題7分，共28分）
19．（7分）先化簡，再求值： ? ÷ ，其中a=3．

考點：分式的化簡求值．
專題：計算題．
分析：將原式第二項被除式分母利用完全平方公式分解因式，同時利用除以一個數等于乘以這個數的倒數將除法運算化為乘法運算，兩項通分并利用同分母的分式減法法則計算，得到最簡結果，將a的值代入化簡后的式子中計算，即可得到原式的值．
解答：解：原式= ? •a
=
=? ，
當a=3時，原式=? ．
點評：此題考查了分式的化簡求值，分式的加減運算關鍵是通分，通分的關鍵是找最簡公分母；分式的乘除運算關鍵是約分，約分的關鍵是找公因式，約分時，分式的分子分母出現多項式，應將多項式分解因式后再約分．
　
20．（7分）碼頭工人以每天30噸的速度往一艘輪船上裝載貨物，把輪船裝載完畢恰好用了8天時間．
（1）輪船到達目的地后開始卸貨，卸貨速度v（單位：噸/天）與卸貨時間t（單位：天）之間有怎樣的函數關系；
（2）由于遇到緊急情況，船上的貨物必須在不超過5日內卸載完畢，那么平均每天至少要卸載多少噸？

考點：反比例函數的應用．
專題：．
分析：（1）首先根據題意可知因總工作量為30×8=240噸不變，故卸貨速度v與卸貨時間t之間為反比例關系，即x•y=240；
（2）把t=5代入 ，進一步根據題意求解．
解答：解：（1）設輪船上的貨物總量為k噸，則根據已知條件有
k=30×8=240
故v與t的函數式為 （t＞0）；（2）把t=5代入 ，得 ，
從結果可以看出，如果全部貨物恰好用5天卸完，平均每天卸載48噸．
若貨物在不超過5天內卸完，平均每天至少卸貨48噸．
點評：本題考查反比例函數的定義、性質與運用，解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數關系，然后利用待定系數法求出它們的關系式，進一步根據題意求解．
　
21．（7分）某港口位于東西方向的海岸線上．“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里．它們離開港口一個半小時后相距30海里．如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行？為什么？

考點：勾股定理的應用；方向角．
分析：根據路程=速度×時間分別求得PQ、PR的長，再進一步根據勾股定理的逆定理可以證明三角形PQR是直角三角形，從而求解．
解答：解：根據題意，得
PQ=16×1.5=24（海里），PR=12×1.5=18（海里），QR=30（海里）．
∵242+182=302，
即PQ2+PR2=QR2，
∴∠QPR=90°．
由“遠洋號”沿東北方向航行可知，∠QPS=45°，則∠SPR=45°，即“海天”號沿西北方向航行．

點評：此題主要是能夠根據勾股定理的逆定理發(fā)現直角三角形．
　
22．（7分）（2012•濟寧）如圖，AD是△ABC的角平分線，過點D作DE∥AB，DF∥AC，分別交AC、AB于點E和F．
（1）在圖中畫出線段DE和DF；
（2）連接EF，則線段AD和EF互相垂直平分，這是為什么？

考點：菱形的判定與性質；作圖—復雜作圖．
分析：（1）根據題目要求畫出線段DE、DF即可；
（2）首先證明四邊形AEDF是平行四邊形，再證明∠EAD=∠EDA，根據等角對等邊可得EA=ED，由有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可證明四邊形AEDF是菱形，再根據菱形的性質可得線段AD和EF互相垂直平分．
解答：解（1）如圖所示；（2）∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠FAD=∠EAD，
∵AB∥DE，
∴∠FAD=∠EDA，
∴∠EAD=∠EDA，
∴EA=ED（等角對等邊），
∴平行四邊形AEDF是菱形，
∴AD與EF互相垂直平分．

點評：此題主要考查了畫平行線，菱形的判定與性質，關鍵是掌握菱形的判定方法，判定四邊形為菱形可以結合菱形的性質證出線段相等，角相等，線段互相垂直且平分．
　
四、解答題（每題9分，共18分）
23．（9分）如圖，已知點P（a，b）、Q（b，c）是反比例函數y= 在第一象限內的點，求 的值．

考點：反比例函數圖象上點的坐標特征．
專題：計算題．
分析：根據點P（a，b）、Q（b，c）在反比例函數y= 的圖象上，可知ab=5，bc=5，再將（ ?b）•（ ?c）+ 轉化為含ab、bc的式子，整體代入ab=5，bc=5即可．
解答：解：∵點P（a，b）、點Q（b，c）在反比例函數y= 的圖象上，
∴ab=5，bc=5，
∴（ ?b）•（ ?c）+
= • +
= • +
= +
= +
=4．
點評：本題主要考查反比例函數圖象上點的坐標特征，所有在反比例函數上的點的橫縱坐標的積應等于比例系數．
　
24．（9分）如圖，直線y=x與雙曲線y= 交于點A、C，且OA=OC=
（1）求點A的坐標；
（2）以AC為對角線作矩形ABCD交x軸正半軸于B，交x軸負半軸于D，求點B、D坐標．

考點：反比例函數綜合題．
專題：探究型．
分析：（1）根據點A在直線y=x上可設A（a，a），a＞0．作A⊥x軸于，故可得出O=A=a，在Rt△AO中根據勾股定理即可得出a的值，故可得出A點坐標；
（2）根據四邊形ABCD是矩形可知AO=BO=CO=DO= ，再由點B在x軸的正半軸，點D在x軸的負半軸上即可得出結論．
解答：解：（1）∵點A在直線y=x上，設A（a，a），a＞0．
作A⊥x軸于，
∴O=A=a，
在Rt△AO中，由勾股定理，
得O2+A2=OA2，
∴a2+a2= ，且a＞0，
∴a=1，
∴A（1，1）；（2）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO，
∴BO=OD= ，
∵點B在x軸的正半軸，點D在x軸的負半軸，
∴B（ ，0），D（? ，0）．

點評：本題考查的是反比例函數綜合題，涉及到勾股定理及矩形的性質，比較簡單．
　
五、解答題（每題10分，共20分）
25．（10分）某中學八年級（1）班、（2）班各選5名同學參加“愛我中華”演講比賽，其預賽成績（滿分100分）如圖所示：
（1）根據右圖填寫下表：
平均數中位數眾數
八年級（1）班85　85　　85　
八年級（2）班　85　80　100　
（2）根據兩班成績的平均數和中位數，分析哪班成績較好？
（3）如果每班各選2名同學參加決賽，你認為哪個班實力更強些？請說明理由．

考點：條形統(tǒng)計圖；加權平均數；中位數；眾數．
分析：（1）根據中位數與眾數，平均數的定義即可求解；
（2）比較平均分與中位數的大小即可得到；
（3）比較每班的最好的兩名同學的成績即可．
解答：解：（1）八年級一班的成績從小到大排列是：80，85，85，85，90則中位數是：85分，眾數是85分；
八年級二班的成績分別是：100，70，80，100，75，則平均數是： （100+70+80+100+75）=85（分），眾數是100分；
（2）兩個班的平均分相同，但八年級（1）班的中位數高，所以八年級（1）班的成績較好；
（3）如果每班各選2名同學參加決賽，八年級（2）班的實力更強．
雖然兩個半的平均分相同，但在前兩名的高分區(qū)八年級（2）班的成績較好．
點評：本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數據；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大�。�
　
26．（10分）如圖，直線y=3x?3交x軸于B，交y軸于C，以OC為邊作正方形OCEF，E F交雙曲線 于點．且F=OB．
（1）求k的值．
（2）請你連O、OG、G，并求S△OG．
（3）點P是雙曲線上一點，點N為x軸上一點，請?zhí)骄浚菏欠翊嬖邳cP、N，使以B、C、P、N為頂點組成平行四邊形？若存在，求出點P、N的坐標；若不存在，請說明理由．

考點：反比例函數綜合題．
專題：探究型．
分析：（1）先由直線y=3x?3交x軸于B，交y軸于C可得出B、C兩點的坐標再根據四邊形OCEF是正方形可知OF=OC=3，由F=OB即可求出點的坐標，再根據E F交雙曲線y= 于點即可得出k的值；
（2）先C點縱坐標代入y= 求出x的值，故可得出CG、GE的長，由（1）知F=1，故可得出E=2，根據S△OG=S正方形OCEF?S△OF?S△OCG?S△GE即可得出結論；
（3）由于P、N的位置不能確定，故應分①當以BC為平行四邊形一邊，點P在第二象限的反比例函數上；當以BC為平行四邊形一邊，點P在第四象限的反比例函數上；當以BC為對角線時三種情況進行討論．
解答：解：（1）∵直線y=3x?3交x軸于B，交y軸于C
∴B（1，0），C（0，?3）
∵四邊形OCEF是正方形，
∴OF=OC=3，
又∵F=OB，
∴（3，?1），
∵E、F交雙曲線y= 于點，
∴k=?3；（2）∵把y=?3代入y= 得x=1，即CG=1，
∴GE=2
由（1）知F=1，
∴E=2，
∴S△OG=S正方形OCEF?S△OF?S△OCG?S△GE
=3×3?3×1÷2?3×1÷2?2×2÷2
=9? ? ?2=4；（3）①當以BC為平行四邊形一邊，點P在第二象限的反比例函數上時，yp=OC=3，
∵yp= ，
∴xp=?1，
∴過點P（?1，3）；
∵xP?xN=OB=1，
∴xN=?2，
∴N（?2，0）；
②當以BC為平行四邊形一邊，點P在第四象限的反比例函數上時，
∵CP∥BN，
∴CP∥x軸，
∴yp=?OC=?3，
∵yp= ，
∴xp=1，
∴P（1，?3），
∴BN=PC=1，
∴N（2，0）．
③∵當以BC為對角線時PN必定與BC互相平分，
∴同時有P、N在BC的兩側，
∴點P在第四象限的反比例函數上，
∴CP∥BN即CP∥x軸，CP=BN且N在點P的左邊，由②可知P（1，?3），PC=1，
∴xB?xN=PC=1，
∴xN=0，
∴N（0，0）．


點評：本題考查的是反比例函數綜合題，涉及到正方形的性質、平行四邊形的性質及反比例函數圖象上點的坐標特點等知識，難度較大．

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