2014年1月期末試題分類匯編——代數綜合

（2014?石景山1月期末?24）如圖，二次函數的圖象與一次函數的圖象交于，兩點. C為二次函數圖象的頂點.
（1）求二次函數的解析式；
（2）定義函數f：“當自變量x任取一值時，x對應的函數值分別為y1或y2，若y1≠y2，函數f的函數值等于y1、y2中的較小值;若y1=y2，函數f的函數值等于y1（或y2）.” 當直線（k >0）與函數f的圖象只有兩個交點時，求的值.

24. 解：（1）設拋物線解析式為，
由拋物線過點，可得…………2分
（2）可得
直線（k >0）與函數f的圖象只有兩個交點共有三種情況：
①直線與直線：平行，此時；…3分
②直線過點，此時； ………………4分

③直線與二次函數的圖象只有一個交點，
此時有 得,
由可得.…………5分
綜上：，，
（2014?西城1月期末?8）若拋物線（是常數）與直線有兩個交點，且這兩個交點分別在拋物線對稱軸的兩側，則的取值范圍是
A．B．C．D．

23．已知：二次函數（為常數）．
（1）若這個二次函數的圖象與x軸只有一個公共點A，且A點在x軸的正半軸上．
　 ①求的值；
②四邊形AOBC是正方形，且點B在y軸的負半軸上，現將這個二次函數的圖象平移，使平移后的函數圖象恰好經過B，C兩點，求平移后的圖象對應的函數解析式；
�。�2） 當0≤≤2時，求函數的最小值（用含的代數式表示）．
23．解：（1）①∵ 二次函數的圖象與x軸只有一個公共點A，
　　　　　　∴ ．1分
　　　　　　整理，得．
　　　　　　解得，，．
　　　　　　又點A在x軸的正半軸上，
　　　　　　∴ ．
　　　　　　∴ =4．2分
　　　�、谟散俚命cA的坐標為．
　　　　　∵ 四邊形AOBC是正方形，點B在y軸的負半軸上，
　　　　　∴ 點B的坐標為，點C的坐標為．3分
　　　　　設平移后的圖象對應的函數解析式為(b，c為常數)．
　　　　　∴
　　　　　解得
　　　　　∴平移后的圖象對應的函數解析式為．4分
（２）函數的圖象是頂點為，且開口向上的拋物線．分三種情況：
(?)當，即時，函數在0≤≤2內y隨x的增大而增大，此時函數的最小值為；
(?)當0≤≤2，即0≤≤4時，函數的最小值為；
(?)當，即時，函數在0≤≤2內y隨x的增大而減小，此時函數的最小值為．
　　　　　綜上，當時，函數的最小值為；
　　　　　 當時，函數的最小值為；
　　　　　 當時，函數的最小值為．7分
（2014?海淀1月期末?23）已知拋物線（）．
（1）求拋物線與軸的交點坐標；
（2）若拋物線與軸的兩個交點之間的距離為2，求的值；
（3）若一次函數的圖象與拋物線始終只有一個公共點，求一次函數的解析式.
　　
23. （本小題滿分7分）
解：（1）令，則.
　　　　∵，
　　　　解方程，得 .
　　　　∴，.
　　　　∴拋物線與x軸的交點坐標為（1，0），（，0）. …………………2分
　�。�2） ∵， ∴.
　　由題意可知，. …………………………………………………3分[:學科網ZXXK]
　　解得，.
　　經檢驗是方程的解且符合題意.
　　∴.………………………………………………………………………4分
　　（3）∵一次函數的圖象與拋物線始終只有一個公共點，
　　　　　∴方程有兩個相等的實數根.
　　　　　整理該方程，得 ，
　　　　　∴，
　　　　　解得 . …………………………………………………………6分
　　　　　∴一次函數的解析式為.………………………………………7分

（2014?東城1月期末?23）已知二次函數（a, 為常數，且a≠0）.（1）求證：不論a與為何值，該函數的圖象與x軸總有兩個公共點；
（2）設該函數的圖象的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，當△ABC是等腰直角三角形時，求a的值．
23. 解：（1）證明：
　　　　
　　　　 ……………………………..1分
　　　　
　　　　 …………………………..2分
　　　　∵
　　　　∴
　　　　∴不論a與為何值，該函數的圖象與x軸總有兩個公共點．…………..3分
　�。�2）
　　
　　　　　 …………………………4分
　　　　當y=0時，
　　　　解得x1 = ，x2 = + 2.
　　　　∴AB=（ + 2）- = 2. ………………………………..5分
　　　　當△ABC是等腰直角三角形時，可求出AB邊上高等于1．
　　　　∴ ．
　　　　∴ ． ……………………………………………..7分
（2014?昌平1月期末?24）已知二次函數y = x2 ? kx + k ? 1（ k＞2）.
　（1）求證：拋物線y = x2 ? kx + k - 1（ k＞2）與x軸必有兩個交點；
�。�2）拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C,若，求拋物線的表達式；
（3）以（2）中的拋物線上一點P（,n）為圓心，1為半徑作圓，直接寫出：當取何值時，x軸與相離、相切、相交.

24．（1）證明：∵，……………………… 1分
又∵，∴.∴即.
∴拋物線y = x2 ? kx + k - 1與x軸必有兩個交點. ………………………………… 2分
　　　　(2) 解：∵拋物線y = x2 ? kx + k - 1與x軸交于A、B兩點，
　　　　　　∴令，有.
　　　　　　　　解得：. ……………………………………3分
　　　　　　　∵，點A在點B的左側，
　　　　　　∴.
　　　　　　∵拋物線與y軸交于點C,
　　　　　　　∴. ……………………………………… 4分
∵在Rt中, ,
　　　　　　 ∴, 解得.
∴拋物線的表達式為. ………………………………………………… 5分
（3）解：當或時，x軸與相離. ………………………6分
當或或時，x軸與相切. ……………7分
當或時，x軸與相交. ……………………8分

（2014?門頭溝1月期末?23）已知拋物線的頂點在x軸上，且與y軸交于A點. 直線經過A、B兩點，點B的坐標為（3，4）.
　�。�1）求拋物線的解析式，并判斷點B是否在拋物線上；
（2）如果點B在拋物線上，P為線段AB上的一個動點（點P與A、B不重合），過P作x軸的垂線與這個二次函數的圖象交于點E，設線段PE的長為h ，點P的橫坐標為x.當x為何值時，h取得最大值，求出這時的h值.

　23.（1)∵拋物線的頂點在x軸上，
　　　　　∴.
　　　　　∴b=±2 . …………………1分
　　　　∴拋物線的解析式為或 .…2分
　　　　　將B（3，4）代入，左=右，[:學科網ZXXK]
　　　　　∴點B在拋物線上.
　　　　　將B（3，4）代入，左≠右，
　　　　∴點B不在拋物線上.………………………3分
（2）∵A點坐標為（0 ，1），點B坐標為（3，4），直線過A、B兩點
　　　　　∴.∴ ………………………4分
　　　　∴ .
　　　　∵點B在拋物線上.
　　　　　設P、E兩點的縱坐標分別為yP和yE .
　　　　∴ PE=h=yP－yE
　　　 =(x+1)－(x2－2x+1)
　　　 =－x2+3x .……………………5分
　　　即h=x2+3x (0＜x＜3).
　　　∴當時，h有最大值 …………………6分
　　　　最大值為 …………………7分

（2014?延慶1月期末?23） 在平面直角坐標系中，拋物線與x軸的交點分別為原點O和點A，點B（4，n）在這條拋物線上．
（1）求B點的坐標；
�。�2）將此拋物線的圖象向上平移個單位，求平移后的圖象的解析式；
（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數的圖象在軸下方的部分沿軸翻折，
　　圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象.
　　請你結合這個新的圖象回答：當直線與此圖象有兩個公共點時，的
　　取值范圍.
23.解：(1)拋物線過原點
∴=0
∴ ………………………………1分
∵≠1
∴ ………………………………2分
∴ ………………………………3分
∵點B（4，n）在這條拋物線上
∴n=4
∴B（4，4） ………………………………4分
　（2）將此拋物線的圖象向上平移個單位，平移后的圖象的解析式；
………………………………5分
（3）的取值范圍是： 或 ………………7分

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