湖南省益陽市2013年中考數(shù)學試卷
一、（本大題共8小題，每小題4分，共32分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．（4分）（2013?益陽）據(jù)益陽市統(tǒng)計局在網(wǎng)上發(fā)布的數(shù)據(jù)，2014年益陽市地區(qū)生產總值（GDP）突破千億元大關，達到了1020 億元，將102 000 000 000用科學記數(shù)法表示正確的是（　�。�
　A．1.02×1011B．10.2×1010C．1.02×1010D．1.2×1011
考點：科學記數(shù)法—表示較大的數(shù)．
分析：科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．
解答：解：將102 000 000 000用科學記數(shù)法表示為：1.02×1011．
故選：A．
點評：此題考查了科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．
　
2．（4分）（2013?益陽）下列運算正確的是（　�。�
　A．2a3÷a=6B．（ab2）2=ab4C．（a+b）（a?b）=a2?b2D．（a+b）2=a2+b2
考點：平方差公式；冪的乘方與積的乘方；完全平方公式；整式的除法．
分析：根據(jù)單項式的除法法則，以及冪的乘方，平方差公式以及完全平方公式即可作出判斷．
解答： 解：A、2a3÷a=2a2，故選項錯誤；
B、（ab2）2=a2b4，故選項錯誤；
C、正確；
D、（a+b）2=a2+2ab+b2，故選項錯誤．
故選C．
點評：本題考查了平方差公式和完全平方公式的運用，理解公式結構是關鍵，需要熟 練掌握并靈活運用．
　
3．（4分）（2013?益陽）分式方程 的解是（　�。�
　A．x=3B．x=?3C．x=D．x=
考點：解分式方程．
專題：．
分析：分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．
解答：解：去分母得：5x=3x?6，
解得：x=?3，
經檢驗x=?3是分式方程的解．
故選B．
點評：此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．
　
4．（4分）（2013?益陽）實施新課 改以來，某班學生經常采用“小組合作學習”的方式進行學習，學習委員小兵每周對各小組合作學習的情況進行了綜合評分．下表是其中一周的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：
組 別1234567
分 值90959088909285
這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（　�。�
　A．88，90B．90，90C．88，95D．90，95
考點：眾數(shù)；中位數(shù)．
分析：根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義，結合表格和選項選出正確答案即可．
解答：解：把這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：85，88，90，90，90，92，95，
故中位數(shù)為：90，
眾數(shù)為：90．
故選B．
點評：本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的知識，屬于基礎題，解答本題的關鍵是熟練掌握眾數(shù)和中位數(shù)的定義．
　
5．（4分）（2013?益陽）一個物體由多個完全相同的小正方體組成，它的三視圖如圖所示，那么組成這個物體的小正方體的個數(shù)為（　�。�
　A．2個B．3個C．5個D．10個
考點：由三視圖判斷幾何體．
分析：從主視圖與左視圖可以得出此圖形只有一排，從俯視圖可以驗證這一點，從而確定個數(shù)．
解答： 解：從主視圖與左視圖可以得出此圖形只有一排，只能得出一共有5個小正方體，
從俯視圖可以驗證這一點，從而確定小正方體總個數(shù)為5個．
故選；C．
點評：此題主要考查了由三視圖判定幾何體的形狀，此問題是中考中熱點問題，同學們應熟練掌握．
　
6．（4分）（2013?益陽）如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結論中錯誤的是（　�。�
　A．∠1=∠2B．∠BAD=∠BCDC．AB=CDD．AC⊥BD
考點：平行四邊形的性質．
分析：根據(jù)平行 四邊形的性質，平行四邊形對邊平行以及對邊相等和對角相等分別判斷得出即可．
解答：解：∵在平行四邊形ABCD中，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠2，故此選項正確，不合題意；
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAD=∠BCD，AB=CD，故B，C選項正確，不合題意；
無法得出AC⊥BD，故此選項錯誤，符合題意．
故選D．
點評：此題主要考查了平行四邊形的性質，熟練掌握相關的性質是解題關鍵．
　
7．（4分）（2013?益陽）拋物線y=2（x?3）2+1的頂點坐標是（　�。�
　A．（3，1）B．（3，?1）C．（?3，1）D．（?3，?1）
考點：二 次函數(shù)的 性質．
分析：根據(jù)頂點式解析式寫出頂點坐標即可．
解答：解：拋物線y=2（x?3）2+1的頂點坐標是（3，1）．
故選A．
點評：本題考查了二次函數(shù)的性質，熟練掌握頂點式解析式是解題的關鍵．
　
8．（4分）（2013?益陽）已知一次函數(shù)y=x?2，當函數(shù)值y＞0時，自變量x的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（　�。�
　A． B． C． D．
考點：在數(shù)軸上表示不等式的解集；一次函數(shù)的性質．
分析：由已知條件知x?2＞0，通過解不等式可以求得x＞2．然后把不等式的解集表示在數(shù)軸上即可．
解答：解：∵一次函數(shù)y=x?2，
∴函數(shù)值y＞0時，x?2＞0，
解得，x＞2，
表示在數(shù)軸上為：
故選B．
點評：本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集．把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．
　
二、題（本大題共5小題，每小題4分，共20分．把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上）
9．（4分）（2013?益陽）因式分解：xy2?4x=　x（y+2）（y?2）�。�
考點：提公因式法與公式法的綜合運用．
分析：先提取公因式x，再對余下的多項式利用平方差公式繼續(xù)分解．
解答：解：xy2?4x，
=x（y2?4），
=x（y+2）（y?2）．
點評：本題主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟記公式是解題的關鍵，難點在于要進行二次因式分解．
　
10．（4分）（2013?益陽）化簡： =　1�。�
考點 ：分式的加減法．
專題：．
分析：由于兩分式的分母相同，分子不同，故根據(jù)同分母的分式相加減的法則進行計算即可．
解答：解：原式=
=1．
故答案為：1．
點評：本題考查的是分式的加減法，即同分母的分式想加減，分母不變，把分子相加減．
　
11．（4分）（2013?益陽）有三張大小、形狀及背面完全相同的卡片，卡片正面分別畫有正三角形、正方形、圓，從這三張卡片中任意抽取一 張，卡片正面的圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的概率是　　．
考點：概率公式；軸對稱圖形；中心對稱圖形．
分析：由正三角形、正方形、圓中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是正方形、圓，利用概率公式即可求得答案．
解答：解：∵正三角形、正方形、圓中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是正方形、圓，
∴既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的概率是：．
故答案為：．
點評：此題考查了概率公式的應用．注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
　
12．（4分）（2013?益陽）如圖，若AB是⊙O的直徑，AB=10cm，∠CAB=30°，則BC=　5　cm．
考點：圓周角定理；含30度角的直角三角形．
分析：根據(jù)圓周角定理可得出△ABC是直角三角形，再由含30°角的直角三角形的性質即可得出BC的長度．
解答：解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵AB=10cm，∠CAB=30°，
∴BC=AB=5cm．
故答案為：5．
點評：本題考查了圓周角定理及含30°角的直角三角形的性質，解答本題的關鍵是根據(jù)圓周角定理判斷出∠ACB=90°．
　
13．（4分）（2013?益陽）下表中的數(shù)字是按一定規(guī)律填寫的，表中a的值應是　21　．
1235813a…
2358132134…
考點：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．
分析：根據(jù)第一行第3個數(shù)是前兩個數(shù)值之和，進而得出答案．
解答：解：根據(jù)題意可得出：a=13+5=21．
故答案為：21．
點評：此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，根據(jù)已知得出數(shù)字的變與不變是解題關鍵．
　
三、解答題（本大題共2小題，每小題6分，共12分）
14．（6分）（2013?益陽）已知：a= ，b=?2， ．求代數(shù)式：a2+b?4c的值．
考點：代數(shù)式求值．
專題：計算題．
分析：將a，b及c的值代入計算即可求出值．
解答：解：當a= ，b=?2=2，c=時，
a2+b?4c=3+2?2=3．
點評：此題考查了代數(shù)式求值，涉及的知識有：二次根式的化簡，絕對值，以及有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
　
15．（6分）（2013?益陽）如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求證：△ABD∽△CBE．
考點：相似三角形的判定．
專題：證明題．
分析：根據(jù)等腰三角形三線合一的性質可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根據(jù)兩組角對應相等的兩個三角形相似證明．
解答：證明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE．
點評：本題考查了相似三角形的判定，等腰三角形三線合一的性質，比較簡單，確定出兩組對應相等的角是解題的關鍵．
　
四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
16．（8分）（2013?益陽）我市某蔬菜生產基地在氣溫較低時，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種在自然光照且溫度為18℃的條件下生長最快的新品種．圖是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關閉及關閉后，大棚內溫度y（℃）隨時間x（小時）變化的函數(shù)圖象，其中BC段是雙曲線 的一部分．請根據(jù)圖中信息解答下列問題：
（1）恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚內溫度18℃的時間有多少小時？
（2）求k的值；
（3）當x=16時，大棚內的溫度約為多少度？
考點：反比例函數(shù)的應用；一次函數(shù)的應用．
分析：（1）根據(jù)圖象直接得出大棚溫度18℃的時間為12?2=10（小時）；
（2）利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式即可；
（3）將x=16代入函數(shù)解析式求出y的值即可．
解答：解：（1）恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚溫度18℃的時間為10小時．
（2）∵點B（12，18）在雙曲線y=上，
∴18= ，
∴解得：k=216．
（3）當x=16時，y= =13.5，
所以當x=16時，大棚內的溫度約為13.5℃．
點評：此題主要考查了反比例函數(shù)的應用，求出反比例函數(shù)解析式是解題關鍵．
　
17．（8分）（2013?益陽）某校八年級數(shù)學課外興趣小組的同學積極參加義工活動，小慶對全體小組成員參加活動次數(shù)的情況進行統(tǒng)計分析，繪制了如下不完整的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖（圖）．
次數(shù)10865
人數(shù)3a21
（1）表中a=　4　；
（2）請將條形統(tǒng)計圖補充完整；
（3）從小組成員中任選一人向學校匯報義工活動情況，參加了10次活動的成員被選中的概率有多少？
考點：條形統(tǒng)計圖；統(tǒng)計表；概率公式．
分析：（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖可知a=4；
（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知6次的人數(shù)是2，然后補全統(tǒng)計圖即可；
（3）根據(jù)概率公式解得即可．
解答：解：（1）由條形統(tǒng)計圖可知次數(shù)為8的有4人，
所以，a=4；
（2）由表可知，6次的有2人，
補全統(tǒng)計圖如圖；
（3）∵小組成員共10人，參加了10次活動的成員有3人，
∴P= ，
答：從小組成員中任選一人向學校匯報義工活動情況，參加了10次活動的成員被選中的概率是 ．
點評：本題考查的是條形統(tǒng)計圖的綜合運用．讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)．
　
18．（8分）（2013?益陽）如圖，益陽市梓山湖中有一孤立小島，湖邊有一條筆直的觀光小道AB，現(xiàn)決定從小島架一座與觀光小道垂直的小橋PD，小張在小道上測得如下數(shù)據(jù)：AB=80.0米，∠PAB=38.5°，∠PBA=26.5．請幫助小張求出小橋PD的長并確定小橋在小道上的位置．（以A，B為參照點，結果精確到0.1米）
（參考數(shù)據(jù)：sin38.5°=0.62，cos38.5°=0.78，tan38.5°=0.80，sin26.5°=0.45，cos26.5°=0.89，tan26.5°=0.50）
考點：解直角三角形的應用．
專題：．
分析：設PD=x米，在Rt△PAD中表示出AD，在Rt△PDB中表示出BD，再由AB=80.0米，可得出方程，解出即可得出PD的長度，繼而也可確定小橋在小道上的位置．
解答：解：設PD=x米，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP=∠BDP=90°，
在Rt△PAD中，tan∠PAD= ，
∴AD= ≈ =x，
在Rt△PBD中，tan∠PBD= ，
∴DB= ≈ =2x，
又∵AB=80.0米，
∴x+2x=80.0，
解得：x≈24.6，即PD≈24.6米，
∴DB=2x=49.2．
答：小橋PD的長度約為24.6米，位于AB之間距B點約49.2米．
點評：本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是構造直角三角形，利用三角函數(shù)表示出相關線段的長度，難度一般．
　
五、解答題（本大題共2小題，共22分）
19．（10分）（2013?益陽）“二廣”高速在益陽境內的建設正在緊張地進行，現(xiàn)有大量的沙石需要運輸．“益安”車隊有載重量為8噸、10噸的卡車共12輛，全部車輛運輸一次能運輸110噸沙石．
（1）求“益安”車隊載重量為8噸、10噸的卡車各有多少輛？
（2）隨著工程的進展，“益安”車隊需要一次運輸沙石165噸以上，為了完成任務，準備新增購這兩種卡車共6輛，車隊有多少種購買方案，請你一一寫出．
考點：一元一次不等式的應用；二元一次方程組的應用．
分析：（1）根據(jù)“‘益安’車隊有載重量為8噸、10噸的卡車共12輛，全部車輛運輸一次能運輸110噸沙石”分別得出等式組成方程組，求出即可；
（2）利用“‘益安’車隊需要一次運輸沙石165噸以上”得出不等式求出購買方案即可．
解答：解：（1）設“益安”車隊載重量為8噸、10噸的卡車分別有x輛、y輛，
根據(jù)題意得： ，
解之得： ．
∴“益安”車隊載重量為8噸的卡車有5輛，10噸的卡車有7輛；
（2）設載重量為8噸的卡車增加了z輛，
依題意得：8（5+z）+10（7+6?z）＞165，
解之得：z＜
∵z≥0且為整數(shù)，
∴z=0，1，2；
∴6?z=6，5，4．
∴車隊共有3種購車方案：
①載重量為8噸的卡車不購買，10噸的卡車購買6輛；
②載重量為8噸的卡車購買1輛，10噸的卡車購買5輛；
③載重量為8噸的卡車購買2輛，10噸的卡車購買4輛．
點評：此題主要考查了二元一次方程組的應用以及不等式的應用，根據(jù)已知得出正確的不等式關系是解題關鍵．
　
20．（12分）（2013?益陽）如圖1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分線BE交AC于E．
（1）求證：AE=BC；
（2）如圖（2），過點E作EF∥BC交AB于F，將△AEF繞點A逆時針旋轉角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，連結CE′，BF′，求證：CE′=BF′；
（3）在（2）的旋轉過程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相應的旋轉角α；若不存在，請說明理由．
考點：旋轉的性質；等腰三角形的性質；等腰梯形的判定．
分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質以及角平分線的性質得出對應角之間的關系進而得出答案；
（2 ）由旋轉的性質可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，根據(jù)全等三角形證明方法得出即可；
（3）分別根據(jù)①當點E的像E′與點M重合時，則四邊形ABCM為等腰梯形，②當點E的像E′與點N重合時，求出α即可．
解答：（1）證明：∵AB=BC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ C=72°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=36°，
∴∠BEC=180°?∠C?∠CBE=72°，
∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C，
∴AE=BE，BE=BC，
∴AE=BC．
（2）證明：∵AC=AB且EF∥BC，
∴AE=AF；
由旋轉的性質可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，
∵在△CAE′和△BAF′中
，
∴△CAE′≌△BAF′，
∴CE′=BF′．
（3）存在CE′∥AB，
理由：由（1）可知AE=BC，所以，在△AE F繞點A逆時針旋轉過程中，E點經過的路徑（圓弧）與過點C且與AB平行的直線l交于M、N兩點，
如圖：①當點E的像E′與點M重合時，則四邊形ABCM為等腰梯形，
∴∠BAM=∠ABC=72°，又∠BAC=36°，
∴α=∠CAM=36°．
②當點E的像E′與點N重合時，
由AB∥l得，∠AMN=∠BAM=72°，
∵AM=AN，
∴∠ANM=∠AMN=72°，
∴∠MAN=180°?2×72°=36°，
∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°．
所以，當旋轉角為36°或72°時，CE′∥AB．
點評：此題主要考查了旋轉的性質以及等腰三角形的性質和等腰梯形的性質等知識，根據(jù)數(shù)形結合熟練掌握相關定理是解題關鍵．
　
六、解答題（本題滿分10分）
21．（10分）（2013?益陽）材料：如圖1，在平面直角坐標系中，A、B兩點的坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點P的坐標為（xp，yp）．由xp?x1=x2?xp，得xp= ，同理 ，所以AB的中點坐標為 ．由勾股定理得AB2= ，所以A、B兩點間的距離公式為 ．
注：上述公式對A、B在平面直角坐標系中其它位置也成立．
解答下列問題：
如圖2，直線l：y=2x+2與拋物線y=2x2交于A、B兩點，P為AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線于點C．
（1）求A、B兩點的坐標及C點的坐標；
（2）連結AB、AC，求證△ABC為直角三角形；
（3）將直線l平移到C點時得到直線l′，求兩直線l與l′的距離．
考點：二次函數(shù)綜合題．
分析：（1）根據(jù)y=2x+2與拋物線y=2x2交于A、B兩點，直接聯(lián)立求出交點坐標，進而得出C點坐標即可；
（2）利用兩點間距離公式得出AB的長，進而得出PC=PA=PB，求出∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°即可得出答案；
（3）點C作CG⊥AB于G，過點A作AH⊥PC于H，利用A，C點坐標得出H點坐標，進而得出CG=AH，求出即可．
解答：（1）解：由 ，
解得： ， ．
則A，B兩點的坐標分別為：A（ ，3? ），B（ ，3+ ），
∵P是A，B的中點，由中點坐標公式得P點坐標為（，3），
又∵PC⊥x軸交拋物線于C點，將x=代入y=2x2中得y=，
∴C點坐標為（，）．
（2）證明：由兩點間距離公式得：
AB= =5，PC=3?=，
∴PC=PA=PB，
∴∠PAC=∠PCA，∠PBC=∠PCB，
∴∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°，
∴△ABC為直角三角形．
（3）解：過點C作CG⊥AB于G，過點A作AH⊥PC于H，
則H點的坐標為（，3? ），
∴S△PAC=AP?CG=PC?AH，
∴CG=AH= ?= ．
又直線l與l′之間的距離等于點C到l的距離CG，
∴直線l與l′之間的距離為 ．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及兩點之間距離公式和兩函數(shù)交點坐標求法等知識，根據(jù)數(shù)形結合得出H點坐標是解題關鍵．


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