（2013•牡丹江）勞技課上小敏拿出了一個腰長為8厘米，底邊為6厘米的等腰三角形，她想用這個等腰三角形加工成一個邊長比是1：2的平行四邊形，平行四邊形的一個內(nèi)角恰好是這個等腰三角形的底角，平行四邊形的其它頂點均在三角形的邊上，則這個平行四邊形的較短的邊長為　2.4c或 c�。�

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．3718684
專題：分類討論．
分析：設(shè)平行四邊形的短邊為xc，分兩種情況進行討論，①若BE是平行四邊形的一個短邊，②若BD是平行四邊形的一個短邊，利用三角形相似的性質(zhì)求出x的值．
解答：解：如圖AB=AC=8c，BC=6c，
設(shè)平行四邊形的短邊為xc，
①若BE是平行四邊形的一個短邊，
則EF∥BC，
= ，
解得x=2.4厘米，
②若BD是平行四邊形的一個短邊，
則EF∥AB，
= ，
解得x= c，
綜上所述短邊為2.4c或 c．

點評：本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，解答本題的關(guān)鍵是正確的畫出圖形，結(jié)合圖形很容易解答．
（2013•綏化）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是邊AD，AB的中點，EF交AC于點H，則 的值為（　�。�

　A．1B． C． D．

考點：三角形中位線定理；平行四邊形的性質(zhì)．
分析：根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出H是AO的中點，再根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分可得AO=CO，然后求出CH=3AH，再求解即可．
解答：解：∵點E，F(xiàn)分別是邊AD，AB的中點，
∴AH=HO，
∵平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，
∴AO=CO，
∴CH=3AH，
∴ = ．
故選C．
點評：本題考查了平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（2013•綏化）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，點D為直線BC上一動點（點D不與點B，C重合）．以AD為邊做正方形ADEF，連接CF
（1）如圖1，當點D在線段BC上時．求證CF+CD=BC；
（2）如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，其他條件不變，請直接寫出CF，BC，CD三條線段之間的關(guān)系；
（3）如圖3，當點D在線段BC的反向延長線上時，且點A，F(xiàn)分別在直線BC的兩側(cè)，其他條件不變；
①請直接寫出CF，BC，CD三條線段之間的關(guān)系；
②若正方形ADEF的邊長為2 ，對角線AE，DF相交于點O，連接OC．求OC的長度．

考點：四邊形綜合題．
分析：（1）三角形ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可證明△BAD≌△CAF，從而證得CF=BD，據(jù)此即可證得；
（2）同（1）相同，利用SAS即可證得△BAD≌△CAF，從而證得BD=CF，即可得到CF?CD=BC；
（3）首先證明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求得DF的長，則OC即可求得．
解答：證明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°?∠DAC，∠CAF=90°?∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
則在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，
∵BD+CD=BC，
∴CF+CD=BC；

（2）CF?CD=BC；

（3）①CD?CF=BC
②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°?∠BAF，∠CAF=90°?∠BAF，
∴∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，

∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD=135°，
∴∠ACF=∠ABD=135°，
∴∠FCD=90°，
∴△FCD是直角三角形．
∵正方形ADEF的邊長為2 且對角線AE、DF相交于點O．
∴DF= AD=4，O為DF中點．
∴OC= DF=2．
點評：本題考查了正方形與全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，證明三角形全等是關(guān)鍵．
（2013•河南）如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點
E是BC邊上一點，連接AE，把∠B沿AE
折疊，使點B落在點B′處，當△CEB′為直
角三角形時，BE的長為_________.

（2013•河南）如圖，在等邊三角形ABC中，BC=6c. 射線AG//BC，點E從點A出發(fā)沿射線AG以1c/s的速度運動，同時點F從點B出發(fā)沿射線BC以2c/s的速度運動，設(shè)運動時間為t(s).
（1）連接EF，當EF經(jīng)過AC邊的中點D時，求證：△ADE≌△CDF；
（2）：
①當t為_________s時，四邊形ACFE是菱形；
②當t為_________s時，以A、F、C、E為頂點的四邊形是直角梯形.

（2013蘭州）如圖1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以O(shè)B為邊，在△OAB外作等邊△OBC，D是OB的中點，連接AD并延長交OC于E．
（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；
（2）如圖2，將圖1中的四邊形ABCO折疊，使點C與點A重合，折痕為FG，求OG的長．

考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）．
分析：（1）首先根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DO=DA，再根據(jù)等邊對等角可得∠DAO=∠DOA=30°，進而算出∠AEO=60°，再證明BC∥AE，CO∥AB，進而證出四邊形ABCE是平行四邊形；
（2）設(shè)OG=x，由折疊可得：AG=GC=8?x，再利用三角函數(shù)可計算出AO，再利用勾股定理計算出OG的長即可．
解答：（1）證明：∵Rt△OAB中，D為OB的中點，
∴DO=DA，
∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°，
∴∠AEO=60°，
又∵△OBC為等邊三角形，
∴∠BCO=∠AEO=60°，
∴BC∥AE，
∵∠BAO=∠COA=90°，
∴CO∥AB，
∴四邊形ABCE是平行四邊形；
（2）解：設(shè)OG=x，由折疊可得：AG=GC=8?x，
在Rt△ABO中，
∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，BO=8，
∴AO=BO•cos30°=8× =4 ，
在Rt△OAG中，OG2+OA2=AG2，
x2+（4 ）2=（8?x）2，
解得：x=1，
∴OG=1．
點評：此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，圖形的翻折變換，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定定理．　
（2013•黔西南州）已知 ABCD中， ，則 的度數(shù)是
A、 B、 C、 D、
（2013•黔西南州）如圖5所示，菱形ABCD的邊長為4，且 于E， 于F，∠B=60°，則菱形的面積為_________。
（2013•烏魯木齊）如圖．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分別于BC、CD交于E、F，EH⊥AB于H．連接FH，求證：四邊形CFHE是菱形．

考點：菱形的判定．3797161
專題：證明題．
分析：求出CE=EH，AC=AH，證△CAF≌△HAF，推出∠ACD=∠AHF，求出∠B=∠ACD=∠FHA，推出HF∥CE，推出CF∥EH，得出平行四邊形CFHE，根據(jù)菱形判定推出即可．
解答：證明：∵∠ACB=90°，AE平分∠BAC，EH⊥AB，
∴CE=EH，
在Rt△ACE和Rt△AHE中，AC=AC，CE=EH，由勾股定理得：AC=AH，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAF=∠HAF，
在△CAF和△HAF中

∴△CAF≌△HAF（SAS），
∴∠ACD=∠AHF，
∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠CDA=∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B=∠AHF，
∴FH∥CE，
∵CD⊥AB，EH⊥AB，
∴CF∥EH，
∴四邊形CFHE是平行四邊形，
∵CE=EH，
∴四邊形CFHE是菱形．
點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行推理的能力．
�。�2013•江西）如圖，矩形ABCD中，點E、F分別是AB、CD的中點，連接DE和BF，分別取DE、BF的中點、N，連接A，CN，N，若AB=2 ，BC=2 ，則圖中陰影部分的面積為 ．

【答案】 2 .
【考點解剖】 本題考查了陰影部分面積的求法，涉及矩形的中心對稱性、面積割補法、矩形的面積計算公式等知識，解題思路方法多樣，計算也并不復雜，若分別計算再相加，則耗時耗力，仔細觀察不難發(fā)現(xiàn)陰影部分的面積其實就是原矩形面積的一半（即 ），這種“整體思想”事半功倍，所以平時要加強數(shù)學思想、方法的學習與積累．
【解題思路】 △BCN與△AD全等，面積也相等，口DFN與口BEN的面積也相等，所以陰影部分的面積其實就是原矩形面積的一半．
【解答過程】 ，即陰影部分的面積為 .
【方法規(guī)律】 仔細觀察圖形特點，搞清部分與整體的關(guān)系，把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的來計算.
【關(guān)鍵詞】 矩形的面積 二次根式的運算 整體思想

（2013•江西）如圖，□ABCD與□DCFE的周長相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，則∠DAE的度數(shù)為 ．

【答案】 25°.
【考點解剖】 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)．
【解題思路】 已知兩個平行四邊形的周長相等，且有公共邊CD,則有AD=DE,即△ADE為等腰三角形，頂角∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°,∴∠DAE=25°．
【解答過程】 ∵□ABCD與□DCFE的周長相等，且有公共邊CD，
∴AD=DE, ∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°.
∴∠DAE= .
【方法規(guī)律】 先要明確∠DAE的身份（為等腰三角形的底角），要求底角必須知道另一角的度數(shù)，分別將∠BAD=130°轉(zhuǎn)化為∠BCD=130°,∠F=110°轉(zhuǎn)化為∠DCF=70°,從而求得∠ADE=∠BCF=130°.
（2013，河北）．如圖4，菱形ABCD中，點，N在AC上，E⊥AD，
NF⊥AB. 若NF = N = 2，E = 3，則AN =
A．3B．4
C．5 D．6
（2013，河北）一個正方形和兩個等邊三角形的位置如圖6所示，若∠3 = 50°，則∠1+∠2 =
A．90°B．100°
C．130° D．180°

（2013，河北）如圖11，四邊形ABCD中，點，N分別在AB，BC上，
將△BN沿N翻折，得△FN，若F∥AD，F(xiàn)N∥DC，
則∠B = °．
（2013•安徽）圖(1) 是四邊形紙片ABCD，其中B=120，
D=50。若將其右下角向內(nèi)折出一PCR，
恰使CP//AB，RC//AD，如圖(2)所示，則C 為（ C ）
A．80 B．85 C．95 D．110
（2013•安徽）如圖，菱形ABCD的兩條對角線分別長6和8，點P是對角線AC上的一個動點，點、N分別是邊AB、BC的中點，則P+PN的最小值是________5_____．

1）優(yōu)惠額：1000×(1－80%)+130=330（元） ………………………………………2分
優(yōu)惠率： ……………………………………………4分
（2）設(shè)購買標價為x元的商品可以得到 的優(yōu)惠率。購買標價為500元與800元之間的商品時，消費金額a在400元與640元之間。 ………………………5分

解得：
而 ，符合題意。
答：購買標價為750元的商品可以得到 的優(yōu)惠率。

（2013•上海）在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC和BD交于點O，下列條件中，
能判斷梯形ABCD是等腰梯形的是（ ）
（A）∠BDC =∠BCD；（B）∠ABC =∠DAB；（C）∠ADB =∠DAC；（D）∠AOB =∠BOC．
（2013•昆明）如圖，在正方形ABCD中，點P是AB上一動點（不與A、B重合），對角線AC、BD相交于點O，過點P分別作AC、BD的垂線，分別交AC、BD于點E、F，交AD、BC于點、N。下列結(jié)論：
① APE≌ AE； ②P＋PN=AC；
③PE2+PF2=PO2； ④ POF∽ BNF；
⑤當 PN∽ AP時，點P是 AB 的中點。其中正確 的結(jié)論有（ ）
A. 5個 B.4個 C.3個 D.2個

2013•邵陽）如圖所示，點E是矩形ABCD的邊AD延長線上的一點，且AD=DE，連結(jié)BE交CD于點O，連結(jié)AO，下列結(jié)論不正確的是（　�。�

　A．△AOB≌△BOCB．△BOC≌△EODC．△AOD≌△EODD．△AOD≌△BOC

考點：全等三角形的判定；矩形的性質(zhì)．
分析：根據(jù)AD=DE，OD=OD，∠ADO=∠EDO=90°，可證明△AOD≌△EOD，OD為△ABE的中位線，OD=OC，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)找出全等三角形即可．
解答：解：∵AD=DE，DO∥AB，
∴OD為△ABE的中位線，
∴OD=OC，
∵在Rt△AOD和Rt△EOD中，
，
∴△AOD≌△EOD（HL）；
∵在Rt△AOD和Rt△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（HL）；
∵△AOD≌△EOD，
∴△BOC≌△EOD；
故B、C、D均正確．
故選A．
點評：本題考查了全等三角形的判定，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．
（2013•柳州）如圖，四邊形ABCD為等腰梯形，AD∥BC，連結(jié)AC、BD．在平面內(nèi)將△DBC沿BC翻折得到△EBC．
（1）四邊形ABEC一定是什么四邊形？
（2）證明你在（1）中所得出的結(jié)論．

考點：等腰梯形的性質(zhì)；平行四邊形的判定；翻折變換（折疊問題）．
分析：（1）首先觀察圖形，然后由題意可得四邊形ABEC一定是平行四邊形；
（2）由四邊形ABCD為等腰梯形，AD∥BC，可得AB=DC，AC=BD，又由在平面內(nèi)將△DBC沿BC翻折得到△EBC，可得EC=DC，DB=BE，繼而可得：EC=AB，BE=AC，則可證得四邊形ABEC是平行四邊形．
解答：（1）解：四邊形ABEC一定是平行四邊形；

（2）證明：∵四邊形ABCD為等腰梯形，AD∥BC，
∴AB=DC，AC=BD，
由折疊的性質(zhì)可得：EC=DC，DB=BE，
∴EC=AB，BE=AC，
∴四邊形ABEC是平行四邊形．
點評：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
（2013•銅仁）如圖，在下列條件中，能判斷AD∥BC的是( )
A．∠DAC=∠BCA B．∠DCB+∠ABC=180°
C．∠ABD=∠BDC D．∠BAC=∠ACD

（2013•臨沂）如圖，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，則△AEF的面積是　3 �。�

考點：菱形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)
分析：首先利用菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定可得判斷出△AEF是等邊三角形，再根據(jù)三角函數(shù)計算出AE=EF的值，再過A作A⊥EF，再進一步利用三角函數(shù)計算出A的值，即可算出三角形的面積．
解答：解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠B=∠D=60°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD
∴AB•AE=CD•AF，∠BAE=∠DAF=30°，
∴AE=AF，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠EAF=120°?30°?30°=60°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴AE=EF，∠AEF=60°，
∵AB=4，
∴AE=2 ，
∴EF=AE=2 ，
過A作A⊥EF，
∴A=AE•cos60°=3，
∴△AEF的面積是： EF•A= ×2 ×3=3 ．
故答案為：3 ．

點評：此題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及三角函數(shù)的運用．關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)，證明△AEF是等邊三角形．
　
（2013•臨沂）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，BD⊥DC，垂足分別為E，D，DE=3，BD=5，則腰長AB=　 　．

考點：等腰梯形的性質(zhì)；勾股定理．
分析：利用勾股定理列式求出BE的長，再利用∠CBD的正切值列式求出CD，然后根據(jù)等腰梯形的腰長相等解答．
解答：解：∵DE=3，BD=5，DE⊥BC，
∴BE= = =4，
又∵BD⊥DC，
∴tan∠CBD= = ，
即 = ，
解得CD= ，
∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，
∴AB=CD= ．
故答案為： ．
點評：本題考查了等腰梯形的兩腰相等，勾股定理的應(yīng)用，利用銳角三角函數(shù)求解更加簡便．
（2013•臨沂）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF．
（1）求證：AF=DC；
（2）若AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；菱形的判定．
分析：（1）根據(jù)AAS證△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案；
（2）得出四邊形ADCF是平行四邊形，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出CD=AD，根據(jù)菱形的判定推出即可．
解答：（1）證明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中點，AD是BC邊上的中線，
∴AE=DE，BD=CD，
在△AFE和△DBE中

∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF=BD，
∴AF=DC．

（2）四邊形ADCF是菱形，
證明：∥BC，AF=DC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵AC⊥AB，AD是斜邊BC的中線，
∴AD=DC，
∴平行四邊形ADCF是菱形．
點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，菱形的判定的應(yīng)用，主要考查學生的推理能力．

（2013•茂名）如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O， ，AD=2，則AC的長是（ ）
A、2 B、4 C、 D、

（2013•茂名）如圖，在□ABCD中，點E是AB變的中點，DE與CB的延長線交于點F.
（1）求證： ；
（2）若DF平分 ，連接CE.試判斷CE和DF的位置關(guān)系，并說明理由.

（2013•大興安嶺）勞技課上小敏拿出了一個腰長為8厘米,底邊為6厘米的等腰三角形，她想用這個等腰三角形加工成一個邊長比是1：2的平行四邊形，平行四邊形的一個內(nèi)角恰好是這個等腰三角形的底角，平行四邊形的其它頂點均在三角形的邊上,則這個平行四邊形的較短的邊長為 .

（2013•大興安嶺） 甲乙兩車從A市去往B市，甲比乙早出發(fā)了2個小時，甲到達B市后停留一段時間返
回，乙到達B市后立即返回.甲車往返的速度都為40千米/時，乙車往返的速度都為 20千米/時，下圖 是兩車距A市的路程S(千米)與行駛時間t(小時)之間的函數(shù)圖象.請結(jié)合圖像回答下列問題：
（1）A 、B兩市的距離是 千米，甲到B市后， 小時乙到達B市；
（2）求甲車返回時的路程S（千米）與時間t(小時)之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）請直接寫出甲車從B市往回返后再經(jīng)過幾小時兩車相距15千米.
得分評卷人

26.（本題滿分8分）
（2013•大興安嶺）已知∠ACD=90°,N是過點A的直線，AC=DC,DB⊥N于點B，如圖（1）易證BD+AB= CB， 過程如下：過點C做CE⊥CB于點C與N交于點E
∵∠ACB+∠BCD=90°∠ACB+∠ACE=90°∴∠BCD=∠ACE
∵ 四邊形ACDB內(nèi)角和為360°∴∠BDC+∠CAB=180°
∵∠EAC+∠CAB=180°∴∠EAC=∠BDC
又∵AC=DC ∴△ACE≌△DCB ∴AE=DB CE=CB ∴△ECB為等腰直角三角形 ∴BE= CB
又∵BE=AE+AB ∴BE=BD+AB ∴ BD+AB= CB21世紀教育網(wǎng)
(1)當N繞A旋轉(zhuǎn)到如圖（2）和圖（3）兩個位置時，BD、AB、CB滿足什么樣關(guān)系式，請寫出你的猜想，并對圖（2）給予證明.
(2)N在繞點A旋轉(zhuǎn)過程中當∠BCD=30°，BD= 時，則CD= , CB= .
（2013•大興安嶺）如圖，平面直角坐標系中,矩形OABC的對角線AC=12，tan∠ACO= ，
(1)求B、C兩點的坐標；
(2)把矩形沿直線DE對折使點C落在點A處，DE與AC相交于點F，求直線DE的解析式；
若點在直線DE上，平面內(nèi)是否存在點N,使以O(shè)、F、、N為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

（2013•紅河）如圖，過正方形ABCD的頂點D作DE∥AC交BC的延長線于點E．
（1）判斷四邊形ACED的形狀，并說明理由；
（2）若BD = 8c，求線段BE的長．
解：（1）四邊形ACED是平行四邊形． ………………………………1分
理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，即AD∥CE．
∵DE∥AC，
∴四邊形ACED是平行四邊形． ………………………………3分
（2）由（1）知，BC = AD = CE = CD，
在Rt△BCD中，
令 ，
則 ． ………………………………5分
解得 ， （不符合題意，舍去）．
∴ ． …

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