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2014年1月期末試題分類匯編——幾何綜合
（2014?石景山1月期末?25）將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為，旋轉(zhuǎn)后使各邊長變?yōu)樵瓉淼谋�，得�?我們將這種變換記為[]．
（1）如圖①,對作變換[]得，則：
　　=　　___；直線與直線所夾的銳角為　　__ °；
（2）如圖②，中，，對 作變換[]得，使得四邊形為梯形，其中∥,且梯形的面積為，求和的值．


25. 解：（1） 3 ， 60 ………………………………………2分
（2） 由題意可知：∽


……………………………4分
　　 在中,
　　 ………………………………5分
　　 在直角梯形中，
　　
　　 …………………………6分
　　 ………………………………7分

（2014?西城1月期末?24）已知：△ABC，△DEF都是等邊三角形，是BC與EF的中點，連接AD，BE.
（1）如圖1，當EF與BC在同一條直線上時，直接寫出AD與BE的數(shù)量關系和位置關系；
（2）△ABC固定不動，將圖1中的△DEF繞點順時針旋轉(zhuǎn)（≤≤）角，如圖2所示，判斷（1）中的結論是否仍然成立，若成立，請加以證明；若不成立，說明理由；
（3）△ABC固定不動，將圖1中的△DEF繞點旋轉(zhuǎn)（≤≤）角，作DH⊥BC于點H．設BH＝x，線段AB，BE，ED，DA所圍成的圖形面積為S．當AB＝6，DE＝2時，求S關于x的函數(shù)關系式，并寫出相應的x的取值范圍．

24．（1），．2分
（2）證明：連接D，A．
　　　　　　　　在等邊三角形ABC中，為BC的中點，
　　　　　　　　∴ ，，．
　　　　　　　　∴ ．
　　　　　　　　同理，，．
　　　　　　　　∴ ，．3分
　　　　　　　　∴ △AD ∽△BE．
　　　　　　　　∴ ．4分
　　　　　　　　延長BE交A于點G，交AD于點K．
　　　　　　　　∴ ，．
　　　　　　　　∴ ．
　　　　　　　　∴ ．5分
（3）解：(?)當△DEF繞點順時針旋轉(zhuǎn)(≤≤)角時，
　　　　　　　∵ △AD ∽△BE，
　　　　　　　∴ ．
　　　　　　　　�。�
　　　　　　　∴ （3≤≤）．6分
　　　　(?) 當△DEF繞點逆時針旋轉(zhuǎn)(≤≤)角時，可證△AD∽△BE，
　　　　　　�。�
　　　　　∴ (≤≤3)．
　　　　綜上，(≤≤)．7分
（2014?海淀1月期末?24）已知四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形 ，且AB>CE．
（1）如圖1，連接BG、DE．求證：BG=DE；
（2）如圖2，如果正方形ABCD的邊長為，將正方形CEFG繞著點C旋轉(zhuǎn)到某一位置時恰好使得CG//BD，BG=BD.
　　　�、偾蟮亩葦�(shù)；
　　　�、谡堉苯訉懗稣�方形CEFG的邊長的值.

24. （本小題滿分7分）
解：（1）證明：
　　　　　　∵四邊形和為正方形，
　　　　　　∴，，.
　　　　　　∴.
　　　　　　. ……………………1分
　　　　　　　　∴△≌△.
　　　　　　　　∴.………………………………2分
　　　�。�2）①連接BE .
　　　　　　　　由（1）可知：BG=DE.
　　　　　　　　∵，
　　　　　　　　∴.
　　　　　　　　∴.
　　　　　　　　∵,
　　　　　　　　∴.
　　　　　　　　∴…………………………3分
　　　　　　　　∵,
　　　　　　　　∴△≌△.
　　　　　　　　∴.………………………………4分
　　　　　　　　∵,
　　　　　　　　∴.
　　　　　　　　∴△.
　　　　　　　　∴ …………………………5分
　　　　　　�、谡�方形的邊長為. ……………………………………………7分
（2014?朝陽1月期末?25）將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°＜α＜180°)得到△DBE，直線DE與直線AC相交于點F，連接BF．
（1）如圖1，若α=60°，DF=2AF，請直接寫出等于 ；
（2）若DF=AF，（>0，且≠1）
　　�、偃鐖D2，求；（用含α，的式子表示）
②如圖3，依題意補全圖形，請直接寫出等于 ．（用含α，的式子表示）

圖1 圖2 圖3

25.解：（1）1． ………………………………1分
（2）①如圖2，在DF上截取DG，使得DG=AF，連接BG．
　　　　　　由旋轉(zhuǎn)知，DB=AB，∠D=∠A．
　　　　　　∴△DBG≌△ABF．
　　　　　　∴BG=BF，∠GBF=α． ………………3分
　　　　　　過點B作BN⊥GF于點N，
　　　　　　∴點N為GF中點，∠FBN=．
　　　　　　在Rt△BNF中，NF=，
　　　　　　∴GF=．
　　　　　　∵DF=DG+GF， ……………………4分
　　　　　　∴AF=AF+
(-1)AF=．
　　　　　∴． ……………5分
　　　　�、谌鐖D3，畫圖正確． …………………6分
　　　　�。� ………………………8分
注明：以上各題的其它的正確解法，酌情給分.

（2014?東城1月期末?24）如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片和重合放置，其中.

（1）操作發(fā)現(xiàn)
如圖2，固定，使繞點順時針旋轉(zhuǎn)．當點恰好落在邊上時，：

圖1 圖2
　線段與的位置關系是 ；
設的面積為，的面積為，則與的數(shù)量關系是 ，證明你的結論；
（2）猜想論證
　 當繞點旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時，小明猜想（1）中與的數(shù)量關系仍然成立，并嘗試分別作出了和中BC，CE邊上的高，請你證明小明的猜想．

24．解：（1）①線段與的位置關系是 平行 ． …………………..1分
②S1與S2的數(shù)量關系是 相等 ．
證明：如圖2，過D作DN⊥AC交AC于點N，過E作E⊥AC交AC延長線于，過C作CF⊥AB交AB于點F．
　　　　　由①可知 △ADC是等邊三角形，∥，
　　　　　∴DN=CF, DN=E．
　　　　　∴CF=E．
　　　　　∵，
　　　　　∴．
　　　　　又∵,
　　　　　∴． 圖2
　　　　　∵，，
　　　　　∴=． …………………..3分
（2）證明：如圖3，作DG⊥BC于點G，AH⊥CE交EC延長線于點H.
　　　　∵．
　　　　又∵．
又∵,
　　　 ∴△AHC≌△DGC．
　　　　∴AH=DG．
　　　　又∵CE=CB, 圖3
　　　　∴． ……………………..7分
（2014?豐臺1月期末?25）已知和關于直線對稱(點的對稱點是點)，點、分別是線段和線段上的點，且點在線段的垂直平分線上，聯(lián)結、，交于點．
（1）如圖（1），求證：；
（2）如圖（2），當時，是線段上一點，聯(lián)結、、，的延長線交于點，，，試探究線段和之間的數(shù)量關系，并證明你的結論． （2）

25. (1)證明：如圖1 連接FE、FC
　　　　∵點F在線段EC的垂直平分線上,
∴ FE=FC ∴∠l=∠2 ………………………1分
　　　　∵△ABD和△CBD關于直線BD對稱．
　　　　∴AB=CB ,∠4=∠3，又BF=BF
　　 ∴△ABF≌△CBF， ∴∠BAF=∠2，F(xiàn)A=FC
　　　　∴FE=FA，∠1=∠BAF． …………………………2分
　　　　∴∠5=∠6，
　　　　∵ ∠l+∠BEF=1800，∴∠BAF+∠BEF=1800
∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=3600
　　　　∴∠AFE+∠ABE=1800 ………………………………3分
　　　　又∵∠AFE+∠5+∠6=1800 ，
　　　　∴∠5+∠6=∠3+∠4
　　　　∴∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD………………………4分

(2)解：F=FN ……………………………………………5分
證明：如圖2，由(1)可知∠EAF=∠ABD，
　　又∵∠AFB=∠GFA ∴△AFG∽△BFA
∴∠AGF=∠BAF
　　又∵∠BF=∠BAF，∴∠BF=∠AGF
又∵∠AGF=∠BG+∠BG∴∠BG=∠BG
　　　∴BG=G…………………………6分
　　　∵AB=AD ∴∠ADB=∠ABD=∠EAF
　　又∵∠FGA=∠AGD．∴△AGF∽△DGA．
　　　
　　　∵AF=AD 圖2
　　設GF=2a，則AG=3a，
　　∴GD=a，∴FD=DG-GF==a
　　∵∠CBD=∠ABD ，∠ABD=∠ADB，∴∠CBD=∠ADB.
　　∴．∴，設EG=2k，則G=BG=3k
　　過點F作FQ∥ED交AE于Q，
　　 ……………………7分
　　∴GQ=EG=．∴QE=， Q=G+GQ=3k+=
　　∵FQ∥ED，.∴F=FN……………8分

（2014?昌平1月期末?25）已知：四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，點E是射線CD上的一個動點（與C、D不重合），將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°后，得到△ABE'，連接EE'.
　（1）如圖1，∠AEE'= °；
（2）如圖2，如果將直線AE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30°后交直線BC于點F，過點E作E∥AD交直線AF于點，寫出線段DE、BF、E之間的數(shù)量關系；
�。�3）如圖3，在（2）的條件下，如果CE=2，AE=，求E的長.

25．解：(1) 30°. …………………………………………………… 1分
(2)當點E在線段CD上時，； ………………………………………… 2分
當點E在CD的延長線上，
時，； ………………… 3分
時，； 時，. …………………………………………4分
(3)作于點G, 作于點H.
由AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，得∠ABC=∠DCB=60°，
　　　　　易知四邊形AGHD是矩形和兩個全等的直角三角形.
則GH=AD , BG=CH.
∵,
∴點、B、C在一條直線上.
　　　　　設AD=AB=CD=x,則GH=x,BG=CH=,.
　　　　　作于Q.
　　　　　在Rt△EQC中，CE=2, ,
　　　　　∴, .
∴E'Q=.…………………………………5分
作于點P.
∵△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°后，得到△ABE'.
　　　　　∴△A EE'是等腰三角形，.
　　　　　∴在Rt△AP E'中，E'P=.
　　　　　∴EE'=2 E'P=. ……………………………………………………………………6分
　　　　　∴在Rt△EQ E'中，E'Q=.
　　　　　∴.
　　　　　∴. ………………………………………………………… 7分
　　　　　∴，.
　　　　　∴
在Rt△E'AF中,,
　　　　 ∴Rt△AG E'∽Rt△FA E'.
　　　　 ∴
　　　　　∴.
　　　　　∴.
　　　　　由（2）知：.
　　　　　∴. ………………………………………………………… 8分
（2014?懷柔1月期末?24）（1）如圖1，在等邊△ABC中，點是邊BC上的任意一點（不含端點B、C），聯(lián)結A，以A為邊作等邊△AN，聯(lián)結CN．求證：∠ABC=∠ACN．
　　【類比探究】
（2）如圖2，在等邊△ABC中，點是邊BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，（1）中結論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由．
　　【拓展延伸】
（3）如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點是邊BC上的任意一點（不含端點B、C），聯(lián)結A，以A為邊作等腰△AN，使頂角∠AN=∠ABC．聯(lián)結CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關系，并說明理由．

24.（（本小題滿分7分）

（1）證明：∵△ABC、△AN是等邊三角形，
∴AB=AC，A=AN，∠BAC=∠AN=60°，∴∠BA=∠CAN，
∴△BA≌△CAN（SAS），………………………………1分
∴∠ABC=∠ACN．………………………………2分
（2）結論∠ABC=∠ACN仍成立．………………………………3分
理由如下：∵△ABC、△AN是等邊三角形，∴AB=AC，A=AN，
∠BAC=∠AN=60°，∴∠BA=∠CAN，
∴△BA≌△CAN（SAS），………………………………4分
∴∠ABC=∠ACN．………………………………5分
（3）∠ABC=∠ACN．
理由如下：∵BA=BC，A=N，頂角∠ABC=∠AN，
∴底角∠BAC=∠AN，∴△ABC∽△AN，……………………6分
∴=，又∵∠BA=∠BAC?∠AC，∠CAN=∠AN?∠AC，
∴∠BA=∠CAN，∴△BA∽△CAN，
∴∠ABC=∠ACN．………………………………7分

（2014?順義1月期末?24）如圖，和都是以A為直角頂點的等腰直角三角形，連結BD，BE，CE，延長CE交AB于點F，交BD于點G．
　�。�1）求證：；
（2）若是邊長可變化的等腰直角三角形，并將繞點旋轉(zhuǎn)，使CE的延長線始終與線段BD（包括端點B、D）相交．當為等腰直角三角形時，求出的值．

24．解：（1）證明：∵，
　　　　　　　　　∴．
　　　　　　　　　∴．…………………………………………………1分
　　　　　　　　　∵，且，
　　　　　　　　　∴，
　　　　　　　　　∴．…………………………………………………2分
　　　　　　　　　又， …………………………………………… 3分
　　　　　　　　　∴．………………………………………………4分
　　　　（2）解：∵，
　　　　　　　　∴．
　　　　　　　　①當，DE=BE時，如圖①所示，
　　　　　　　　 設AD=AE=x，則．
　　　　　　　　　　∵為等腰直角三角形，
　　　　　　　　　∴．
　　　　　　　　　∴．
　　　　　　　　　∵+， 圖①
　　　　　　　　　∴．
　　　　　　　　　∴． ……………………………………………5分
　　　　　　　�、诋�，DE=DB時，如圖②所示，
　　　　　　　　 同理設AD=AE=x，則．
　　　　　　　　 ∴．
　　　　　　　　　∵，
　　　　　　　　　∴．
　　　　　　　　 ∴． ……………… 6分 圖②
③當，BD=BE時，如圖③所示，
　　　同理設AD=AE=x，則．
　　　∴BD=BE=x．
　　　∴四邊形ADBE是正方形，
　　　∴．
　　　∴． …………7分 圖③
（2014?延慶1月期末?24）如圖①，已知點O為菱形ABCD的對稱中心，∠A=60°，將等邊△OEF的頂點放在點O處，OE ，OF分別交AB，BC于點 ，N.
　�。�1）求證：O=ON；
　　（2）寫出線段B ，BN與AB之間的數(shù)量關系，并進行證明；
�。�3）將圖①中的△OEF繞O點順時針旋轉(zhuǎn)至圖②所示的位置，請寫出線段B ，BN
　　　與AB之間的數(shù)量關系，并進行證明.

24.
（1）證明：取BC的中點G，連接OG
　∵菱形ABCD,∠A=60°
∴∠A=∠C=∠ABD=60°,AB=BC=CD=DA……1分
∵點O為菱形ABCD的對稱中心
∴OD=OB
∴，OG//CD ………………2分
　∴∠BGO=∠C=60°, OG=OB
　∵等邊△OEF ∴∠EOF=60° ∴∠1=∠2
∵∠BGO=∠ABD=60°
　∴△OB≌△OGN
　∴O=ON ………………3分
(2)由（1）可知，B=NG
∵OB=OD，BG=GC ∴ ………………4分
∵BG=BN+NG，AB=BC ∴ ………………5分
（3）取BC中點G 同理可證：∴△OB≌△OGN
　∴B=GN ………………6分
　∴BG=BN-NG
　∵ ∴ ………………7分

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