35、（2013•呼和浩特）如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點E是BC邊上的點，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分線CP于點P，交邊CD于點F，
（1） 的值為　 ��；
（2）求證：AE=EP；
（3）在AB邊上是否存在點，使得四邊形DEP是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由．

考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定．3718684
分析：（1）由正方形的性質可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可證得：∠BAE=∠CEF，根據同角的正弦值相等即可解答；
（2）在BA邊上截取BK=NE，連接KE，根據角角之間的關系得到∠AKE=∠ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，結合∠KAE=∠CEP，證明△AKE≌△ECP，于是結論得出；
（3）作D⊥AE于AB交于點，連接E、DP，易得出D∥EP，由已知條件證明△AD≌△BAE，進而證明D=EP，四邊形DEP是平行四邊形即可證出．
解答：（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D，
∵∠AEP=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在Rt△ABE中，AE= = ，
∵sin∠BAE= =sin∠FEC= ，
∴ = ，

（2）證明：在BA邊上截取BK=NE，連接KE，
∵∠B=90°，BK=BE，
∴∠BKE=45°，
∴∠AKE=135°，
∵CP平分外角，
∴∠DCP=45°，
∴∠ECP=135°，
∴∠AKE=∠ECP，
∵AB=CB，BK=BE，
∴AB?BK=BC?BE，
即：AK=EC，
易得∠KAE=∠CEP，
∵在△AKE和△ECP中，
，
∴△AKE≌△ECP（ASA），
∴AE=EP；

（3）答：存在．
證明：作D⊥AE于AB交于點，
則有：D∥EP，連接E、DP，
∵在△AD與△BAE中，
，
∴△AD≌△BAE（AAS），
∴D=AE，
∵AE=EP，
∴D=EP，
∴D EP，
∴四邊形DEP為平行四邊形．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質以及正方形的性質等知識．此題綜合性很強，圖形比較復雜，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用與輔助線的準確選擇．
　
36、（2013泰安）如圖，四邊形ABCD為正方形．點A的坐標為（0，2），點B的坐標為（0，?3），反比例函數y=的圖象經過點C，一次函數y=ax+b的圖象經過點C，一次函數y=ax+b的圖象經過點A，
（1）求反比例函數與一次函數的解析式；
（2）求點P是反比例函數圖象上的一點，△OAP的面積恰好等于正方形ABCD的面積，求P點的坐標．

考點：反比例函數與一次函數的交點問題．
分析：（1）先根據正方形的性質求出點C的坐標為（5，?3），再將C點坐標代入反比例函數y=中，運用待定系數法求出反比例函數的解析式；同理，將點A，C的坐標代入一次函數y=ax+b中，運用待定系數法求出一次函數函數的解析式；
（2）設P點的坐標為（x，y），先由△OAP的面積恰好等于正方形ABCD的面積，列出關于x的方程，解方程求出x的值，再將x的值代入y=? ，即可求出P點的坐標．
解答：解：（1）∵點A的坐標為（0，2），點B的坐標為（0，?3），
∴AB=5，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴點C的坐標為（5，?3）．
∵反比例函數y=的圖象經過點C，
∴?3=，解得k=?15，
∴反比例函數的解析式為y=? ；
∵一次函數y=ax+b的圖象經過點A，C，
∴ ，
解得 ，
∴一次函數的解析式為y=?x+2；
（2）設P點的坐標為（x，y）．
∵△OAP的面積恰好等于正方形ABCD的面積，
∴×OA•x=52，
∴×2x=25，
解得x=±25．
當x=25時，y=? =?；
當x=?25時，y=? =．
∴P點的坐標為（25，?）或（?25，）．
點評：本題考查了正方形的性質，反比例函數與一次函數的交點問題，運用待定系數法求反比例函數與一次函數的解析式，三角形的面積，難度適中．運用方程思想是解題的關鍵．

37、（2013•資陽）在一個邊長為a（單位：c）的正方形ABCD中，點E、分別是線段AC，CD上的動點，連結DE并延長交正方形的邊于點F，過點作N⊥DF于H，交AD于N．
（1）如圖1，當點與點C重合，求證：DF=N；
（2）如圖2，假設點從點C出發(fā)，以1c/s的速度沿CD向點D運動，點E同時從點A出發(fā)，以 c/s速度沿AC向點C運動，運動時間為t（t＞0）；
①判斷命題“當點F是邊AB中點時，則點是邊CD的三等分點”的真假，并說明理由．
②連結F、FN，△NF能否為等腰三角形？若能，請寫出a，t之間的關系；若不能，請說明理由．

考點：四邊形綜合題
分析：（1）證明△ADF≌△DNC，即可得到DF=N；
（2）①首先證明△AFE∽△CDE，利用比例式求出時間t= a，進而得到C= a= CD，所以該命題為真命題；
②若△NF為等腰三角形，則可能有三種情形，需要分類討論．
解答：（1）證明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，
∴∠ADF=∠DCN．
在△ADF與△DNC中，
，
∴△ADF≌△DNC（ASA），
∴DF=N．

（2）解：①該命題是真命題．
理由如下：當點F是邊AB中點時，則AF= AB= CD．
∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE，
∴ ，
∴AE= EC，則AE= AC= a，
∴t= = a．
則C=1•t= a= CD，
∴點為邊CD的三等分點．
②能．理由如下：
易證AFE∽△CDE，∴ ，即 ，得AF= ．
易證△ND∽△DFA，∴ ，即 ，得ND=t．
∴ND=C=t，AN=D=a?t．
若△NF為等腰三角形，則可能有三種情形：
（I）若FN=N，則由AN=D知△FAN≌△ND，
∴AF=D，即 =t，得t=0，不合題意．
∴此種情形不存在；
（II）若FN=F，由N⊥DF知，HN=H，∴DN=D=C，
∴t= a，此時點F與點B重合；
（III）若F=N，顯然此時點F在BC邊上，如下圖所示：

易得△FC≌△ND，∴FC=D=a?t；
又由△ND∽△DCF，∴ ，即 ，∴FC= ．
∴ =a?t，
∴t=a，此時點F與點C重合．
綜上所述，當t=a或t= a時，△NF能夠成為等腰三角形．
點評：本題是運動型幾何綜合題，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命題證明等知識點．解題要點是：（1）明確動點的運動過程；（2）明確運動過程中，各組成線段、三角形之間的關系；（3）運用分類討論的數學思想，避免漏解．

38、（2013杭州壓軸題）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，對稱中心為點P，點F為BC邊上一個動點，點E在AB邊上，且滿足條件∠EPF=45°，圖中兩塊陰影部分圖形關于直線AC成軸對稱，設它們的面積和為S1．
（1）求證：∠APE=∠CFP；
（2）設四邊形CPF的面積為S2，CF=x， ．
①求y關于x的函數解析式和自變量x的取值范圍，并求出y的最大值；
②當圖中兩塊陰影部分圖形關于點P成中心對稱時，求y的值．

考點：四邊形綜合題．
分析：（1）利用正方形與三角形的相關角之間的關系可以證明結論；
（2）本問關鍵是求出y與x之間的函數解析式．
①首先分別用x表示出S1與S2，然后計算出y與x的函數解析式．這是一個二次函數，求出其最大值；
②注意中心對稱、軸對稱的幾何性質．
解答：（1）證明：∵∠EPF=45°，
∴∠APE+∠FPC=180°?45°=135°；
而在△PFC中，由于PF為正方形ABCD的對角線，則∠PCF=45°，
則∠CFP+∠FPC=180°?45°=135°，
∴∠APE=∠CFP．
（2）解：①∵∠APE=∠CFP，且∠FCP=∠PAE=45°，
∴△APE∽△CPF，則 ．
而在正方形ABCD中，AC為對角線，則AC= AB= ，
又∵P為對稱中心，則AP=CP= ，
∴AE= = =．
如圖，過點P作PH⊥AB于點H，PG⊥BC于點G，

P為AC中點，則PH∥BC，且PH=BC=2，同理PG=2．
S△APE= =×2×=，
∵陰影部分關于直線AC軸對稱，
∴△APE與△APN也關于直線AC對稱，
則S四邊形AEPN=2S△APE= ；
而S2=2S△PFC=2× =2x，
∴S1=S正方形ABCD?S四邊形AEPN?S2=16? ?2x，
∴y= = = +?1．
∵E在AB上運動，F在BC上運動，且∠EPF=45°，
∴2≤x≤4．
令=a，則y=?8a2+8a?1，當a= =，即x=2時，y取得最大值．
而x=2在x的取值范圍內，代入x=2，則y最大=4?2?1=1．
∴y關于x的函數解析式為：y= +?1（2≤x≤4），y的最大值為1．
②圖中兩塊陰影部分圖形關于點P成中心對稱，
而此兩塊圖形也關于直線AC成軸對稱，則陰影部分圖形自身關于直線BD對稱，
則EB=BF，即AE=FC，
∴=x，解得x= ，
代入x= ，得y= ?2．
點評：本題是代數幾何綜合題，考查了正方形的性質、相似三角形、二次函數的解析式與最值、幾何變換（軸對稱與中心對稱）、圖形面積的計算等知識點，涉及的考點較多，有一定的難度．本題重點與難點在于求出y與x的函數解析式，在計算幾何圖形面積時涉及大量的計算，需要細心計算避免出錯．　

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