第3節(jié) 圓周運動及其運用
【考綱知識梳理】
一、描述圓周運動的物理量及其相互關(guān)系
1、定義：質(zhì)點沿圓周運動，如果在相等的時間里通過的圓弧長度相等，這種運動就叫做勻速圓周運動。
2、描述圓周運動的物理量：
（1）線速度：
①線速度的大小等于質(zhì)點作勻速圓周運動時通過的弧長跟通過這段弧長所用時間的比值。
②線速度的方向就是在圓周該點的切線方向上。
③線速度的定義與第二章速度的定義，從字面上看似乎是不同的，實質(zhì)上并沒有差別，因為圓周運動中線速度的概念是瞬時速度的概念。在勻速圓周運動中，速度的大小不變，平均速率與瞬時速率相等，那么，弧長與對應(yīng)時間的比值，在數(shù)值上就反映了瞬時速度的大小。
（2）角速度：
①角速度是描述圓周運動的特有概念。角速度的定義為：連接運動物體和圓心的半徑轉(zhuǎn)過的角度跟所用時間的比，叫做勻速圓周運動的角速度。
②在國際單位中，角速度的單位是弧度每秒，符號是 。要特別指出提，只有角速度以 為單位時，才有 的關(guān)系。
（3）周期
①周期：做勻速圓周運動的物體運動一周所用的時間叫做周期。
②轉(zhuǎn)速：所謂轉(zhuǎn)速，是指做勻速圓周運動的物體每秒轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。當(dāng)轉(zhuǎn)速的單位為 時，它和角速度的關(guān)系為 ；當(dāng)轉(zhuǎn)速的單位為 時，它和角速度的關(guān)系為 。
（4）向心力
①向心力的方向總是與物體運動的方向垂直，總是沿著半徑指賂圓心。向心力的作用只是改變速度的方向。
②向心力的大小為
或
（5）向心加速度
①定義：做圓周運動的物體，在向心力的作用下產(chǎn)生的指向圓心的加速度，叫做向心加速度。
②向心加速度的大小為
或
二、勻速圓周運動與非勻速圓周運動
1、勻速圓周運動
（1）特點：線速度的大小恒定，角速度、周期和頻率都是恒定不變的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不變的．
（2）．性質(zhì)：是速度大小不變而速度方向時刻在變的變速曲線運動，并且是加速度大小不變、方向時刻變化的變加速曲線運動．
（3）．加速度和向心力：由于勻速圓周運動僅是速度方向變化而速度大小不變，故僅存在向心加速度，因此向心力就是做勻速圓周運動的物體所受外力的合力．
（4）質(zhì)點做勻速圓周運動的條件：合外力大小不變，方向始終與速度方向垂直且指向圓心．
2、非勻速圓周運動
（1）非勻速圓周運動的物體，不僅線速度大小、方向時刻在改變，而且加速度的大小、方向也時刻在改變，是變加速曲線運動（注：勻速圓周運動也是變加速運動）．
非勻速圓周運動的合力一般不指向圓心，非勻速圓周運動所受的合外力產(chǎn)生兩個效果．
（2）半徑方向的分力：產(chǎn)生向心加速度而改變速度方向．
（3）切線方向的分力：產(chǎn)生切線方向加速度而改變速度大小．
故利用公式求圓周上某一點的向心力和向心加速度的大小，必須用該點的瞬時速度值．
三、離心運動與向心運動
1．定義：做圓周運動的物體，在所受外力突然消失或者不足以提供圓周運動所需的向心力的情況下，就做逐漸遠(yuǎn)離圓心的運動。這種運動叫做離心運動。
2、做圓周運動的物體，離心現(xiàn)象條件的分析
（1）當(dāng) 時，物體被限制著沿圓周運動。
（2）當(dāng) 時，物體便沿所在位置的切線方向飛出去。
（3）當(dāng) 時，物體沿切線和圓周之間的一條曲線運動。
3、當(dāng) 時，物體離圓心將越來越近，即做向心運動。
【要點名師透析】
一、在傳動裝置中各物理量之間的關(guān)系
在分析傳動裝置的物理量時，要抓住不等量和相等量的關(guān)系，表現(xiàn)為：
1.同一轉(zhuǎn)軸的各點角速度ω相同，而線速度v=ωr與半徑r成正比，向心加速度大小a=rω2與半徑r成正比.
2.當(dāng)皮帶不打滑時，傳動皮帶、用皮帶連接的兩輪邊沿上的各點線速度大小相等，由 可知,ω與r成反比,由 可知,a與r成反比.
【例1】 (2011?湛江模擬)如圖所示，一種向自行車車燈供電的小發(fā)電機(jī)的上端有一半徑r0=1.0 cm的摩擦小輪，小輪與自行車車輪的邊沿接觸.當(dāng)車輪轉(zhuǎn)動時，因摩擦而帶動小輪轉(zhuǎn)動，從而為發(fā)電機(jī)提供動力.自行車車輪的半徑R1=35 cm，小齒輪的半徑R2=4.0 cm，大齒輪的半徑R3=10.0 cm.求大齒輪的轉(zhuǎn)速n1和摩擦小輪的轉(zhuǎn)速n2之比.(假定摩擦小輪與自行車車輪之間無相對滑動)
【答案】2∶175
【詳解】大小齒輪間、摩擦小輪和車輪之間和皮帶傳動原理相同，兩輪邊沿各點的線速度大小相等，由v=2πnr可知轉(zhuǎn)速n和半徑r成反比；小齒輪和車輪同軸轉(zhuǎn)動，兩輪上各點的轉(zhuǎn)速相同.大齒輪與小齒輪轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系為:n1∶n小=R2∶R3.車輪與小齒輪之間的轉(zhuǎn)速關(guān)系為:n車=n小.車輪與摩擦小輪之間的關(guān)系為:n車∶n2=r0∶R1.由以上各式可解出大齒輪和摩擦小輪之間的轉(zhuǎn)速之比為:n1∶n2=2∶175.
二、用動力學(xué)方法解決圓周運動中的問題
1.向心力的來源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、彈力、摩擦力等各種力，也可以是幾個力的合力或某個力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一個向心力.
2.向心力的確定
(1)確定圓周運動的軌道所在的平面，確定圓心的位置.
(2)分析物體的受力情況，找出所有的力沿半徑方向指向圓心的合力就是向心力.
3.解決圓周運動問題的主要步驟
(1)審清題意，確定研究對象；
(2)分析物體的運動情況，即物體的線速度、角速度、周期、軌道平面、圓心、半徑等；
(3)分析物體的受力情況，畫出受力示意圖，確定向心力的來源；
(4)根據(jù)牛頓運動定律及向心力公式列方程；
(5)求解、討論.
【例2】(2011?福州模擬)小球在半徑為R的光滑半球內(nèi)做水平面內(nèi)的勻速圓周運動，試分析圖中的θ(小球與半球球心連線跟豎直方向的夾角)與線速度v、周期T的關(guān)系.(小球的半徑遠(yuǎn)小于R)
【詳解】小球做勻速圓周運動的圓心在和小球等高的水平面上(不在半球的球心)，向心力F是重力G和支持力FN的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平.如圖所示,有:
mgtanθ= =mRsinθω2,
由此可得： (式中h為小球軌道平面到球心的高度)可見，θ越大(即軌跡所在平面越高)，v越大，T越小.
三、豎直面內(nèi)圓周運動問題分析
豎直面內(nèi)圓周運動問題的特點是：由于機(jī)械能守恒，物體做圓周運動的速率時刻在改變.常分析兩種模型??輕繩模型和輕桿模型，分析比較如下：
注意： (1)繩模型和桿模型過最高點的臨界條件不同.其原因是：繩只能有拉力，不能承受壓力，而桿既能有拉力，也能承受壓力.
(2)對于豎直面內(nèi)的圓周運動問題，經(jīng)常是綜合考查牛頓第二定律、機(jī)械能守恒及功能關(guān)系等知識的綜合性問題.
【例3】如圖所示，放置在水平地面上的支架質(zhì)量為M，支架頂端用細(xì)線拴著的擺球質(zhì)量為m，現(xiàn)將擺球拉至水平位置，而后釋放，擺球運動過程中，支架始終不動，以下說法正確的是( )
A.在釋放前的瞬間，支架對地面的壓力為(m＋M)g
B.在釋放前的瞬間，支架對地面的壓力為Mg
C.擺球到達(dá)最低點時，支架對地面的壓力為(m＋M)g
D.擺球到達(dá)最低點時，支架對地面的壓力為(3m＋M)g
【答案】選B、D.
【詳解】在釋放前的瞬間繩拉力為零,對M：對地面的壓力F=Mg；
當(dāng)擺球運動到最低點時，由機(jī)械能守恒得 ①
由牛頓第二定律得： ②
由①②得繩對小球的拉力FT=3mg
對支架M由受力平衡，地面支持力FN=Mg＋3mg
由牛頓第三定律知，支架對地面的壓力FN2＝3mg＋Mg，故選項B、D正確.
【感悟高考真題】
1.（2011.安徽高考）一般的曲線運動可以分成很多小段，每小段都可以看成圓周運動的一部分，即把整條曲線用一系列不同半徑的小圓弧來代替。如圖（a）所示，曲線上的A點的曲率圓定義為：通過A點和曲線上緊鄰A點兩側(cè)的兩點作一圓，在極限情況下，這個圓就叫做A點的曲率圓，其半徑ρ叫做A點的曲率半徑�，F(xiàn)將一物體沿與水平面成α角的方向已速度υ0拋出，如圖（b）所示。則在其軌跡最高點p處的曲率半徑是
A. B.
C. D.
【答案】選C.
【詳解】物體做斜上拋運動，最高點速度即為斜上拋的水平速度 ，最高點重力提供向心力 ，由兩式得 。
2.（2011?海南物理?T15）如圖，水平地面上有一個坑，其豎直截面為半圓。ab為沿水平方向的直徑。若在a點以初速度 沿ab方向拋出一小球， 小球會擊中坑壁上的c點。已知c點與水平地面的距離為圓半徑的一半，求圓的半徑。
【答案】
【詳解】如圖所示， ，則
小球做平拋運動的水平位移
豎直位移
根據(jù) ，
聯(lián)立以上兩式解得
3. （2010?上海理綜）8．如圖是位于錦江樂園的摩天輪，高度為108m，直徑是98m。一質(zhì)量為50kg的游客乘坐該摩天輪做勻速圓周運動旋轉(zhuǎn)一圈需25min。如果以地面為零勢能面，則他到達(dá)最高處時的（取g=10m/s2）（ ）。
A．重力勢能為5.4×104J，角速度為0.2rad/s
B．重力勢能為4.9×104J，角速度為0.2rad/s
C．重力勢能為5.4×104J，角速度為4.2×10-3rad/s
D．重力勢能為4.9×104J，角速度為4.2×10-3rad/s
答案：C
4.（2010?江蘇卷）14. (16分)在游樂節(jié)目中，選手需要借助懸掛在高處的繩飛越到水面的浮臺上，小明和小陽觀看后對此進(jìn)行了討論。如圖所示，他們將選手簡化為質(zhì)量m=60kg的指點， 選手抓住繩由靜止開始擺動，此事繩與豎直方向夾角 = ，繩的懸掛點O距水面的高度為H=3m.不考慮空氣阻力和繩的質(zhì)量，浮臺露出水面的高度不計，水足夠深。取中立加速度 ， ，
求選手?jǐn)[到最低點時對繩拉力的大小F；
若繩長l=2m, 選手?jǐn)[到最高點時松手落入手中。設(shè)水碓選手的平均浮力 ，平均阻力 ，求選手落入水中的深度 ；
若選手?jǐn)[到最低點時松手， 小明認(rèn)為繩越長，在浮臺上的落點距岸邊越遠(yuǎn)；小陽認(rèn)為繩越短，落點距岸邊越遠(yuǎn)，請通過推算說明你的觀點。
【解析】（1）機(jī)械能守恒 ①
圓周運動F′－mg＝m
解得F′＝（3－2cos ）mg
人對繩的拉力F＝F′
則F＝1080N
（2）動能定理 mg（H－lcos ＋d）－（f1＋f2）d＝0
則d=
解得
(3)選手從最低點開始做平拋運動x=vt
H-l=
且有①式
解得
當(dāng) 時，x有最大值，解得l=1.5m
因此，兩人的看法均不正確。當(dāng)繩長鉞接近1.5m時，落點距岸邊越遠(yuǎn)。
本題考查機(jī)械能守恒，圓周運動向心力，動能定理，平拋運動規(guī)律及求極值問題。
難度：較難。
5. （2010?重慶卷）24.（18分）小明站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球，甩動手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運動。當(dāng)球某次運動到最低點時，繩突然斷掉，球飛行水平距離d后落地。如題24圖所示。已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長為 d,重力加速度為g。忽略手的運動半徑和空氣阻力。
（1）求繩斷時球的速度大小 和球落地時的速度大小 。
（2）向繩能承受的最大拉力多大？
（3）改變繩長，使球重復(fù)上述運動，若繩仍在球運動到最低點時斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長應(yīng)是多少？最大水平距離為多少？
解析：
（1）設(shè)繩段后球飛行時間為t，由平拋運動規(guī)律，有
豎直方向 ，水平方向
得
由機(jī)械能守恒定律，有
得
（2）設(shè)繩能承受的最大拉力大小為T，這也是球受到繩的最大拉力大小。
球做圓周運動的半徑為
由圓周運動向心力公式，有
得
（3）設(shè)繩長尾l，繩斷時球的速度大小為 ，繩承受的最大推力不變，
有 得
繩斷后球做平拋運動，豎直位移為 ，水平位移為x，時間為
有
得
當(dāng) 時， 有極大值，
6.（09?上海?43）右圖為一種早期的自行車，這種下帶鏈條傳動的自行車前輪的直徑很大，這樣的設(shè)計在當(dāng)時主要是為了 （ A ）
A.提高速度 B.提高穩(wěn)定性
C.騎行方便 D.減小阻力
7. (09?廣東文科基礎(chǔ)?57) 圖7所示是一個玩具陀螺。a、b和c是陀螺上的三個點。當(dāng)陀螺繞垂直于地面的軸線以角速度ω穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時，下列表述正確的是 （ B ）
A．a(chǎn)、b和c三點的線速度大小相等 B．a(chǎn)、b和c三點的角速度相等
C．a(chǎn)、b的角速度比c的大 D．c的線速度比a、b的大
8.（09?安徽?24）（20分）過山車是游樂場中常見的設(shè)施。下圖是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的三個圓形軌道組成，B、C、D分別是三個圓形軌道的最低點，B、C間距與C、D間距相等，半徑 、 。一個質(zhì)量為 kg的小球（視為質(zhì)點），從軌道的左側(cè)A點以 的初速度沿軌道向右運動，A、B間距 m。小球與水平軌道間的動摩擦因數(shù) ，圓形軌道是光滑的。假設(shè)水平軌道足夠長，圓形軌道間不相互重疊。重力加速度取 ，計算結(jié)果保留小數(shù)點后一位
數(shù)字。試求
（1）小球在經(jīng)過第一個圓形軌道的最高點時，軌道對小球作用力的大��；
（2）如果小球恰能通過第二圓形軌道，B、C間距 應(yīng)是多少；
（3）在滿足（2）的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第三個圓形軌道的設(shè)計中，半徑 應(yīng)滿足的條件；小球最終停留點與起點 的距離。
答案：（1）10.0N；（2）12.5m(3) 當(dāng) 時， ；當(dāng) 時，
解析：（1）設(shè)小于經(jīng)過第一個圓軌道的最高點時的速度為v1根據(jù)動能定理
①
小球在最高點受到重力mg和軌道對它的作用力F，根據(jù)牛頓第二定律
②
由①②得 ③
（2）設(shè)小球在第二個圓軌道的最高點的速度為v2，由題意
④
⑤
由④⑤得 ⑥
（3）要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進(jìn)行討論：
I．軌道半徑較小時，小球恰能通過第三個圓軌道，設(shè)在最高點的速度為v3，應(yīng)滿足
⑦
⑧
由⑥⑦⑧得
II．軌道半徑較大時，小球上升的最大高度為R3，根據(jù)動能定理
解得
為了保證圓軌道不重疊，R3最大值應(yīng)滿足
解得 R3=27.9m
綜合I、II，要使小球不脫離軌道，則第三個圓軌道的半徑須滿足下面的條件
或
當(dāng) 時，小球最終焦停留點與起始點A的距離為L′，則
當(dāng) 時，小球最終焦停留點與起始點A的距離為L?，則
9.（09?浙江?24）（18分）某校物理興趣小組決定舉行遙控賽車比賽。比賽路徑如圖所示，賽車從起點A出發(fā)，沿水平直線軌道運動L后，由B點進(jìn)入半徑為R的光滑豎直圓軌道，離開豎直圓軌道后繼續(xù)在光滑平直軌道上運動到C點，并能越過壕溝。已知賽車質(zhì)量m=0.1kg，通電后以額定功率P=1.5w工作，進(jìn)入豎直軌道前受到阻力恒為0.3N，隨后在運動中受到的阻力均可不記。圖中L=10.00m，R=0.32m，h=1.25m，S=1.50m。問：要使賽車完成比賽，電動機(jī)至少工作多長時間？（取g=10 ）
答案：2.53s
解析：本題考查平拋、圓周運動和功能關(guān)系。
設(shè)賽車越過壕溝需要的最小速度為v1，由平拋運動的規(guī)律
解得
設(shè)賽車恰好越過圓軌道，對應(yīng)圓軌道最高點的速度為v2，最低點的速度為v3，由牛頓第二定律及機(jī)械能守恒定律
解得 m/s
通過分析比較，賽車要完成比賽，在進(jìn)入圓軌道前的速度最小應(yīng)該是
m/s
設(shè)電動機(jī)工作時間至少為t，根據(jù)功能原理
由此可得 t=2.53s
10.（09?四川?25） (20分)如圖所示，輕彈簧一端連于固定點O，可在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動，另一端連接一帶電小球P,其質(zhì)量m=2×10-2 kg,電荷量q=0.2 C.將彈簧拉至水平后，以初速度V0=20 m/s豎直向下射出小球P,小球P到達(dá)O點的正下方O1點時速度恰好水平，其大小V=15 m/s.若O、O1相距R=1.5 m,小球P在O1點與另一由細(xì)繩懸掛的、不帶電的、質(zhì)量M=1.6×10-1 kg的靜止絕緣小球N相碰。碰后瞬間，小球P脫離彈簧，小球N脫離細(xì)繩，同時在空間加上豎直向上的勻強(qiáng)電場E和垂直于紙面的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T的弱強(qiáng)磁場。此后，小球P在豎直平面內(nèi)做半徑r=0.5 m的圓周運動。小球P、N均可視為質(zhì)點，小球P的電荷量保持不變，不計空氣阻力，取g=10 m/s2。那么，
（1）彈簧從水平擺至豎直位置的過程中，其彈力做功為多少？
（2）請通過計算并比較相關(guān)物理量，判斷小球P、N碰撞后能否在某一時刻具有相同的速度。
(3)若題中各量為變量，在保證小球P、N碰撞后某一時刻具有相同速度的前提下，請推導(dǎo)出r的表達(dá)式(要求用B、q、m、θ表示，其中θ為小球N的運動速度與水平方向的夾角)。
解析：（1）設(shè)彈簧的彈力做功為W，有：
①
代入數(shù)據(jù)，得：W＝ J �、�
（2）由題給條件知，N碰后作平拋運動，P所受電場力和重力平衡，P帶正電荷。設(shè)P、N碰后的速度大小分別為v1和V，并令水平向右為正方向，有: ③
而： ④
若P、N碰后速度同向時，計算可得V
⑥
⑦
代入數(shù)據(jù)，得： ⑧
對小球P，其圓周運動的周期為T，有：
⑨
經(jīng)計算得： ＜T，
P經(jīng)過 時，對應(yīng)的圓心角為 ，有： ⑩
當(dāng)B的方向垂直紙面朝外時，P、N的速度相同，如圖可知，有：
聯(lián)立相關(guān)方程得：
比較得， ，在此情況下，P、N的速度在同一時刻不可能相同。
當(dāng)B的方向垂直紙面朝里時，P、N的速度相同，同樣由圖，有： ，
同上得： ，
比較得， ，在此情況下，P、N的速度在同一時刻也不可能相同。
（3）當(dāng)B的方向垂直紙面朝外時，設(shè)在t時刻P、N的速度相同， ，
再聯(lián)立④⑦⑨⑩解得：
當(dāng)B的方向垂直紙面朝里時，設(shè)在t時刻P、N的速度相同 ，
同理得： ，
考慮圓周運動的周期性，有:
（給定的B、q、r、m、 等物理量決定n的取值）
11.（09?廣東物理?17）（20分）（1）為了清理堵塞河道的冰凌，空軍實施了投彈爆破，飛機(jī)在河道上空高H處以速度v0水平勻速飛行，投擲下炸彈并擊中目標(biāo)。求炸彈剛脫離飛機(jī)到擊中目標(biāo)所飛行的水平距離及擊中目標(biāo)時的速度大小。（不計空氣阻力）
（2）如圖17所示，一個豎直放置的圓錐筒可繞其中心OO′轉(zhuǎn)動，筒內(nèi)壁粗糙，筒口半徑和筒高分別為R和H，筒內(nèi)壁A點的高度為筒高的一半。內(nèi)壁上有一質(zhì)量為m的小物塊。求
①當(dāng)筒不轉(zhuǎn)動時，物塊靜止在筒壁A點受到的摩擦力和支持力的大��；
②當(dāng)物塊在A點隨筒做勻速轉(zhuǎn)動，且其受到的摩擦力為零時，筒轉(zhuǎn)動的 角速度。
解析：⑴炸彈作平拋運動，設(shè)炸彈脫離飛機(jī)到擊中目標(biāo)所飛行的水平距離為x,
聯(lián)立以上各式解得
設(shè)擊中目標(biāo)時的豎直速度大小為vy，擊中目標(biāo)時的速度大小為v
聯(lián)立以上各式解得
⑵①當(dāng)筒不轉(zhuǎn)動時，物塊靜止在筒壁A點時受到的重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡，由平衡條件得
摩擦力的大小
支持力的大小
②當(dāng)物塊在A點隨筒做勻速轉(zhuǎn)動，且其所受到的摩擦力為零時，物塊在筒壁A點時受到的重力和支持力作用，它們的合力提供向心力，設(shè)筒轉(zhuǎn)動的角速度為 有
由幾何關(guān)系得
聯(lián)立以上各式解得
【考點模擬演練】
1.關(guān)于勻速圓周運動的說法，正確的是( )
A.勻速圓周運動的速度大小保持不變，所以做勻速圓周運動的物體沒有加速度
B.做勻速圓周運動的物體，雖然速度大小不變，但方向時刻都在改變，所以必有加速度
C.做勻速圓周運動的物體，加速度的大小保持不變，所以是勻變速(曲線)運動
D.勻速圓周運動的物體加速度大小雖然不變，但加速度的方向始終指向圓心，加速度的方向時刻都在改變，所以勻速圓周運動既不是勻速運動，也不是勻變速運動
【答案】選B、D.
【詳解】速度和加速度都是矢量，做勻速圓周運動的物體，雖然速度大小不變，但方向時刻在改變，速度時刻發(fā)生變化，必然具有加速度.加速度大小雖然不變，但方向時刻改變，所以勻速圓周運動是變加速曲線運動.故本題選B、D.
2.如圖所示，天車下吊著兩個質(zhì)量都是m的工件A和B，系A(chǔ)的吊繩較短，系B的吊繩較長.若天車運動到P處突然停止，則兩吊繩所受的拉力FA和FB的大小關(guān)系為( )
A.FA>FB B.FA
【答案】選A.
【詳解】天車運動到P處突然停止后，A、B各以天車上的懸點為圓心做圓周運動，線速度相同而半徑不同，由 ，得： ，因為m相等，v相等，而LA
3．如圖所示是一種娛樂設(shè)施“魔盤”，而且畫面反映的是魔盤旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速較大時，盤中人的情景．甲、乙、丙三位同學(xué)看了圖后發(fā)生爭論，甲說：“圖畫錯了，做圓周運動的物體受到向心力的作用，魔盤上的人應(yīng)該向中心靠攏”．乙說：“圖畫得對，因為旋轉(zhuǎn)的魔盤給人離心力，所以人向盤邊緣靠攏．”丙說：“圖畫得對，當(dāng)盤對人的摩擦力不能滿足人做圓周運動的向心力時，人會逐漸遠(yuǎn)離圓心．”該三位同學(xué)的說法應(yīng)是
( )
A．甲正確 B．乙正確 C．丙正確 D．無法判斷
【答案】C
【詳解】人在水平魔盤上做勻速圓周運動時，靜摩擦力提供向心力，轉(zhuǎn)速增大到一
定值，最大靜摩擦力不足以提供向心力，人將做離心運動，所以丙的說法正確．
4．一小球用一不可伸縮且柔軟的輕繩拉著在豎直平面內(nèi)做圓周運動，不計空氣阻力，下面說法中正確的是
( )
A．小球在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運動
B．小球的機(jī)械能一定守恒
C．小球的向心加速度的大小一定是變化的
D．小球的向心加速度的大小一定是不變的
【答案】BC
【詳解】不計空氣阻力，輕繩的拉力不做功，因此小球的機(jī)械能守恒，高度增大時速度減小，A錯B對；小球的向心加速度a＝v2R隨速度的變化而變化，C正確D錯．考查圓周運動的向心加速度、機(jī)械能守恒等知識點，本題較易．
5．中央電視臺《今日說法》欄目報道了一起發(fā)生在湖南長沙某區(qū)湘府路上的離奇交通事故．家住公路拐彎處的張先生和李先生家在三個月內(nèi)連續(xù)遭遇七次大卡車側(cè)翻在自家門口的場面，第八次有輛卡車沖撞進(jìn)李先生家，造成三死一傷和房屋嚴(yán)重?fù)p毀的血腥慘案．經(jīng)公安部門和交通部門協(xié)力調(diào)查，畫出的現(xiàn)場示意圖如圖14所示．交警根據(jù)圖示作出以下判斷，你認(rèn)為正確的是
( )
A．由圖可知汽車在拐彎時發(fā)生側(cè)翻是因為車做離心運動
B．由圖可知汽車在拐彎時發(fā)生側(cè)翻是因為車做向心運動
C．公路在設(shè)計上可能內(nèi)(東)高外(西)低
D．公路在設(shè)計上可能外(西)高內(nèi)(東)低
【答案】AC
【詳解】汽車進(jìn)入民宅，遠(yuǎn)離圓心，因而車作離心運動，A對，B錯．汽車在水平公路上拐彎時，靜摩擦力提供向心力，此處，汽車以與水平公路上相同速度拐彎，易發(fā)生側(cè)翻，摩擦力不足以提供向心力；也可能是路面設(shè)計不太合理，內(nèi)高外低．重力沿斜面方向的分力背離圓心而致，C對，D錯．
6．如圖所示為某一皮帶傳動裝置．主動輪的半徑為r1，從動輪的半徑為r2.已知主動輪做順時針轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速為n，轉(zhuǎn)動過程中皮帶不打滑．下列說法正確的是( )
A．從動輪做順時針轉(zhuǎn)動
B．從動輪做逆時針轉(zhuǎn)動
C．從動輪的轉(zhuǎn)速為r1r2n
D．從動輪的轉(zhuǎn)速為r2r1n
【答案】BC
【詳解】因為主動輪順時針轉(zhuǎn)動，從動輪通過皮帶的摩擦力帶動轉(zhuǎn)動，所以從動輪逆時針轉(zhuǎn)動，A錯誤，B正確；由于通過皮帶傳動，皮帶與輪邊緣接觸處的速度相等，所以由2πnr1＝2πn2r2，得從動輪的轉(zhuǎn)速為n2＝nr1r2，C正確，D錯誤．
7．皮帶傳送機(jī)傳送礦石的速度v大小恒定，在輪緣A處礦石和皮帶恰好分離，如圖所示．若輪子的半徑為R，則通過A點的半徑OA和豎直方向OB的夾角θ為( )
A．a(chǎn)rcsin v2Rg B．a(chǎn)rccot v2Rg
C．a(chǎn)rctan v2Rg D．a(chǎn)rccos v2Rg
【答案】D
【詳解】礦石和皮帶分離時兩者之間的彈力為零，將重力沿半徑OA方向和垂直于OA的方向分解，有mgcos θ＝mv2R，則θ＝arccos v2Rg，D正確．
8．如圖所示，質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)的光滑圓環(huán)軌道上做圓周運動．圓環(huán)半徑為R，小球經(jīng)過圓環(huán)最高點時剛好不脫離圓環(huán)，則其通過最高點時( )
A．小球?qū)A環(huán)的壓力大小等于mg
B．小球受到的向心力等于0
C．小球的線速度大小等于gR
D．小球的向心加速度大小等于g
【答案】 CD
【詳解】小球在最高點時剛好不脫離圓環(huán)，則圓環(huán)剛好對小球沒有作用力，小球只受重力作用，重力豎直向下且過圓心，根據(jù)牛頓第二定律得小球的向心加速度大小為a＝mgm＝g，此時小球滿足mg＝mv2R，得v＝gR.
9.(2011?惠州模擬)甲、乙兩名溜冰運動員，面對面拉著彈簧測力計做圓周運動.已知M甲=80 kg，M乙=40 kg，兩人相距0.9 m，彈簧測力計的示數(shù)為96 N，下列判斷中正確的是
( )
A.兩人的線速度相同，約為40 m/s
B.兩人的角速度相同，為2 rad/s
C.兩人的運動半徑相同，都是0.45 m
D.兩人的運動半徑不同，甲為0.3 m，乙為0.6 m
【答案】選B、D.
【詳解】兩人旋轉(zhuǎn)一周的時間相同，故兩人的角速度相同，兩人做圓周運動所需的向心力相同，由F=mω2r可知，旋轉(zhuǎn)半徑滿足：r甲∶r乙=M乙∶M甲=1∶2，又r甲＋r乙=0.9 m，則r甲=0.3 m，r乙=0.6 m.兩人的角速度相同，則v甲∶v乙=1∶2.由F=M甲ω2r甲可得ω=2 rad/s.故選項B、D正確.
10.如圖所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓周運動，管道內(nèi)側(cè)壁半徑為R，小球半徑為r，則下列說法中正確的是( )
A.小球通過最高點時的最小速度
B.小球通過最高點時的最小速度vmin=0
C.小球在水平線ab以下的管道中運動時，內(nèi)側(cè)管壁對小球一定無作用力
D.小球在水平線ab以上的管道中運動時，外側(cè)管壁對小球一定有作用力
【答案】選B、C.
【詳解】小球沿管上升到最高點的速度可以為零，故A錯誤，B正確；小球在水平線ab以下的管道中運動時，由外側(cè)管壁對小球的作用力FN與球重力在背離圓心方向的分力Fmg的合力提供向心力，即： ，因此，外側(cè)管壁一定對球有作用力，而內(nèi)側(cè)管壁無作用力，C正確；小球在水平線ab以上的管道中運動時，小球受管壁的作用力與小球速度大小有關(guān)，D錯誤.
11．如圖所示，一個豎直放置的圓錐筒可繞其中心OO′轉(zhuǎn)動，筒內(nèi)壁粗糙，筒口半徑和筒高分別為R和H，筒內(nèi)壁A點的高度為筒高的一半，內(nèi)壁上有一質(zhì)量為m的小物塊．求：
(1)當(dāng)筒不轉(zhuǎn)動時，物塊靜止在筒壁A點受到的摩擦力和支持力的大��；
(2)當(dāng)物塊在A點隨筒做勻速轉(zhuǎn)動，且其受到的摩擦力為零時，筒轉(zhuǎn)動的角速度．
【答案】(1)HR2＋H2mg RR2＋H2mg (2)2gHR
【詳解】(1)如圖所示，當(dāng)圓錐筒靜止時，物塊受到重力mg、摩擦力Ff和支持力FN.由題意可知：
Ff＝mgsin θ＝HR2＋H2mg，①
FN＝mgcos θ＝RR2＋H2mg.②
(2)物塊受到重力和支持力的作用，設(shè)圓筒和物塊勻速轉(zhuǎn)動的角速度為ω，
豎直方向FNcos θ＝mg，③
水平方向FNsin θ＝mω2r，④
聯(lián)立③④，得ω＝grtan θ，其中tan θ＝HR，r＝R2，
ω＝2gHR.
12．如圖所示，把一個質(zhì)量m＝1 kg的物體通過兩根等長的細(xì)繩與豎直桿上A、B兩個固定點相連接，繩a、b長都是1 m，AB長度是1.6 m，直桿和球旋轉(zhuǎn)的角速度等于多少時，b繩上才有張力？
【答案】ω>3.5 rad/s
【詳解】已知a、b繩長均為1 m，即
Am＝Bm＝1 m，AO＝12AB＝0.8 m
在△AOm中，cos θ＝AOAm＝0.81＝0.8，
sin θ＝0.6，θ＝37°
小球做圓周運動的軌道半徑
r＝Om＝Am?sin θ＝1×0.6 m＝0.6 m.
b繩被拉直但無張力時，小球所受的重力mg與a繩拉力FTa的合力F為向心力，其受力分析如圖所示，由圖可知小球的向心力為
F＝mgtan θ
根據(jù)牛頓第二定律得
F＝mgtan θ＝mr?ω2
解得直桿和球的角速度為
ω＝gtan θr＝10×cos 37°0.6 rad/s＝3.5 rad/s.
當(dāng)直桿和球的角速度ω>3.5 rad/s時，b中才有張力．
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