3.函數(shù)模型及其應(yīng)用
知識歸納
1．求解函數(shù)應(yīng)用問題的思路和方法


2．函數(shù)建模的基本流程

誤區(qū)警示
求解函數(shù)應(yīng)用題時，關(guān)鍵環(huán)節(jié)是審題，審題時：
一要弄清問題的實際背景，注意隱含條件；
二是將文字語言恰當準確的翻譯為數(shù)學(xué)語
言，用數(shù)學(xué)表達式加以表示；
三是弄清給出什么條件，解決什么問題，通
過何種數(shù)學(xué)模型加以解決；
四是嚴格按各種數(shù)學(xué)模型的要求進行推理運
算，并對運算結(jié)果作出實際解釋．
3．常見函數(shù)模型的理解
（1）一次函數(shù)模型（其增長特點是直線上升（ 的系數(shù) ），通過圖象可很直觀地認識它）、 二次函數(shù)型、正反比例函數(shù)型
（2）指數(shù)函數(shù)模型：能用指數(shù)型函數(shù)表達的函數(shù)模型，其增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快 ，常形象地稱之為“指數(shù)爆炸”。
（3）對數(shù)函數(shù)模型：能用對數(shù)函數(shù)表達式表達的函數(shù)模型，其增長特點是開始階段增長得較快 ，但隨著 的逐漸增大，其函數(shù)值變化越來越慢，常稱之為“蝸牛式增長”。
（4）冪函數(shù)模型：能用冪函數(shù)表示表達的函數(shù)模型，其增長情況隨 中 的取值變化而定，常見的有二次函數(shù)模型。
（5）分式（“勾”） 函數(shù)模型：形如 的函數(shù)模型，在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用，常利用“基本不等式”解決，有時通過利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性來求最值。

四．典例解析
題型1：正比例、反比例、一次函數(shù)型和二次函數(shù)型
例1．某種商品原來定價為每件a元時，每天可售出m件，現(xiàn)在把定價降低x個百分點（即x％）后，售出數(shù)量增加了y個百分點，且每天的銷售額是原來的k倍。
（1）設(shè)y=nx，其中n是大于1的常數(shù)，試將k寫成x的函數(shù)；
（2）求銷售額最大時x的值（結(jié)果可用喊n的式子表示）；
（3）當n＝2時，要使銷售額比原來有所增加，求x的取值范圍。
解：（1）依題意有a(1-x%)×m(1+y%)=kam，將y=nx代入，化簡得
（2）由（1）知當 時，k值最大。因為銷售額為amk，所以此時銷售額也最大，且銷售額最大為 元。
（3）當n=2時， 要使銷售額有所增加，需k＞1，所以 ＞0，故x∈（0，50），這就是說，當銷售額有所增加時，降價幅度的范圍需要在原價的一半以內(nèi)。

題型2：分段函數(shù)型
例2某廠生產(chǎn)某種零件，每個零件的成本為40元，出廠單價定為60元，該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當一次訂購量超過100個時，每多訂購一個，訂購的全部零件的出廠單價就降低0.02元，但實際出廠單價不能低于51元。
（I）當一次訂購量為多少個時，零件的實際出廠單價恰降為51元？
（II）設(shè)一次訂購量為x個，零件的實際出廠單價為P元，寫出函數(shù) 的表達式；
（III）當銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是多少元？如果訂購1000個，利潤又是多少元？（工廠售出一個零件的利潤＝實際出廠單價－成本）
[解題思路]根據(jù)題意及“工廠售出一個零件的利潤＝實際出廠單價－成本”建立函數(shù)模型進行求解
【解析】（1）設(shè)每個零件的實際出廠價恰好降為51元，一次訂購量為 個，則 。
因此，當一次定購量為550個時，零件的實際出廠單價恰降為51元。
（2）當 時，P＝60；
當 時， ；
當 時，P＝51。
所以
（3）設(shè)銷售商的一次訂購量為 個時，該廠獲得的利潤為L元，則
，
當 時，L＝6000；當 時，L＝11000。
故當銷售商一次訂購 500 個零件時，該廠獲得的利潤是6000元；如果訂購1000個，利潤是11000元．
[名師指引]求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題必須突破三關(guān)：
（1）閱讀理解關(guān)：一般數(shù)學(xué)應(yīng)用題的文字閱讀量都比較大，要通過閱讀審題，找出關(guān)鍵詞、句，理解其意義．
（2）建模關(guān)：即建立實際問題的數(shù)學(xué)模型，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．
（3）數(shù)理關(guān)：運用恰當?shù)臄?shù)學(xué)方法去解決已建立的數(shù)學(xué)模型．
題型3：指數(shù)、對數(shù)型函數(shù)
例3．按復(fù)利計算利息的一種儲蓄，本金為a元，每期利率為r，設(shè)本利和為y，存期為x，寫出本利和y歲存期x變化的函數(shù)式，如果存入本金1000元，每期利率2.25％，試計算5期后的本利和是多少？
解：已知本金為a元，1期后的本利和為y1=a＋a×r＝a(1+r),2期后的的本利和為y2=a(1+r)2，。。。。x期后的本利和為：y=a(1+r)x,
將a=1000，r=2.25%，x=5代入得y=1000×（1＋2.25％）5
用計算器可得y=1117.68（元）
點評：對于指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)要熟練應(yīng)用近似計算的知識，來對事件進行合理的解析。
題型4：分式（不等式）型
例4．對1個單位質(zhì)量的含污物體進行清洗, 清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為: 為 , 要求清洗完后的清潔度為 . 有兩種方案可供選擇, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分兩次清洗. 該物體初次清洗后受殘留水等因素影響, 其質(zhì)量變?yōu)?. 設(shè)用 單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是 , 用 單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是 , 其中 是該物體初次清洗后的清潔度.。
(Ⅰ)分別求出方案甲以及 時方案乙的用水量, 并比較哪一種方案用水量較少;
(Ⅱ)若采用方案乙, 當 為某固定值時, 如何安排初次與第二次清洗的用水量, 使總用水量最小? 并討論 取不同數(shù)值時對最少總用水量多少的影響.
解析：(Ⅰ)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z,由題設(shè)有 =0.99,解得x=19.
由 得方案乙初次用水量為3, 第二次用水量y滿足方程: 解得y=4 ,故z=4 +3.
即兩種方案的用水量分別為19與4 +3.
因為當 ,故方案乙的用水量較少.
（II）設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為 與 ，類似（I）得
， （*）
于是 +
當 為定值時, ,
當且僅當 時等號成立.此時

將 代入（*）式得
故 時總用水量最少,
此時第一次與第二次用水量分別為 ,
最少總用水量是 .
當 ,故T( )是增函數(shù)，這說明,隨著 的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量.
點評：該題建立了函數(shù)解析式后，通過基本不等式“ ”解釋了函數(shù)的最值情況，而解決了實際問題。該問題也可以用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷。

五．思維總結(jié)
1．將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，比較常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的增長差異，結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義。
2．怎樣選擇數(shù)學(xué)模型分析解決實際問題
數(shù)學(xué)應(yīng)用問題形式多樣，解法靈活。在應(yīng)用題的各種題型中，有這樣一類題型：信息由表格數(shù)據(jù)的形式給出，要求對數(shù)據(jù)進行合理的轉(zhuǎn)化處理，建立數(shù)學(xué)模型，解答有關(guān)的實際問題。解答此類題型主要有如下三種方法：
（1）直接法：若由題中條件能明顯確定需要用的數(shù)學(xué)模型，或題中直接給出了需要用的數(shù)學(xué)模型，則可直接代入表中的數(shù)據(jù)，問題即可獲解；
（2）列式比較法：若題所涉及的是最優(yōu)化方案問題，則可根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)先列式，然后進行比較；
（3）描點觀察法：若根據(jù)題設(shè)條件不能直接確定需要用哪種數(shù)學(xué)模型，則可根據(jù)表中的數(shù)據(jù)在直角坐標系中進行描點，作出散點圖，然后觀察這些點的位置變化情況，確定所需要用的數(shù)學(xué)模型，問題即可順利解決。下面舉例進行說明。
六：作業(yè) 《走向高考》
課后練習(xí)
1某地區(qū)上年度電價為0.8元/（千瓦?時），年用電量為a千瓦?時.本年度計劃將電價降到0.55元／（千瓦?時）至0.75元／（千瓦?時）之間，而用戶期望電價為0.4元／（千瓦?時）.經(jīng)測算，下調(diào)電價后新增的用電量與實際電價和用戶期望電價的差成反比（比例系數(shù)為k）.該地區(qū)電力的成本價為0.3元／（千瓦?時）.
（1）寫出本年度電價下調(diào)后，電力部門的收益y與實際電價x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)k＝0.2a，當電價最低定為多少時仍可保證電力部門的收益比上年至少增長20%?
〔注：收益＝實際用電量×（實際電價－成本價）〕
[解題思路]先根據(jù)題意寫出收益y與實際電價x的函數(shù)關(guān)系式，然后再列出不等式求解
[解析] （1）設(shè)下調(diào)后的電價為x元／（千瓦?時），依題意知用電量增至 ＋a，電力部門的收益為y＝（ ＋a）（x－0.3）（0.55≤x≤0.75）.
（2）依題意有
整理得
解此不等式得0.60≤x≤0.75.
答：當電價最低定為0.60元／（千瓦?時）時，仍可保證電力部門的收益比去年至少增長20%.
2．運貨卡車以每小時 千米的速度勻速行駛130千米路程,
按交通法規(guī)限制50≤x≤100 (單位: 千米/小時). 假設(shè)汽油的價格是每升2元, 而汽車每小時耗油 升, 司機的工資是每小時14元.
（Ⅰ）求這次行車總費用y關(guān)于y的表達式；
（Ⅱ）當 為何值時, 這次行車的總費用最低, 并求出最低費用的值（精確到小數(shù)點后兩位， ）．
[解題思路]根據(jù)題意建立y與x的函數(shù)關(guān)系，然后再求y的最小值
（Ⅰ）設(shè)行車所用時間為
∴
所以，這次行車總費用 關(guān)于 的表達式是：

（或： ）
（Ⅱ） ，
當且僅當 時，上述不等式中等號成立
答：當 約為56.88km/h時，這次行車的總費用最低，最低費用的值約為82.16元.
3．某廠家擬在2008年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷費用m萬元（m≥0）滿足 ，如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件。已知2008年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費用）。
（1）將2008年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；
（2）該廠家2008的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？
解：（1）由題意可知，當 ，
每件產(chǎn)品的銷售價格為 （元），

（2） ，
（萬元）時， （萬元）。所以該廠家2006年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大，最大值為21萬元。

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaosan/75662.html

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