3.函數(shù)模型及其應(yīng)用
知識(shí)歸納
1．求解函數(shù)應(yīng)用問題的思路和方法


2．函數(shù)建模的基本流程

誤區(qū)警示
求解函數(shù)應(yīng)用題時(shí)，關(guān)鍵環(huán)節(jié)是審題，審題時(shí)：
一要弄清問題的實(shí)際背景，注意隱含條件；
二是將文字語言恰當(dāng)準(zhǔn)確的翻譯為數(shù)學(xué)語
言，用數(shù)學(xué)表達(dá)式加以表示；
三是弄清給出什么條件，解決什么問題，通
過何種數(shù)學(xué)模型加以解決；
四是嚴(yán)格按各種數(shù)學(xué)模型的要求進(jìn)行推理運(yùn)
算，并對(duì)運(yùn)算結(jié)果作出實(shí)際解釋．
3．常見函數(shù)模型的理解
（1）一次函數(shù)模型（其增長特點(diǎn)是直線上升（ 的系數(shù) ），通過圖象可很直觀地認(rèn)識(shí)它）、 二次函數(shù)型、正反比例函數(shù)型
（2）指數(shù)函數(shù)模型：能用指數(shù)型函數(shù)表達(dá)的函數(shù)模型，其增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快 ，常形象地稱之為“指數(shù)爆炸”。
（3）對(duì)數(shù)函數(shù)模型：能用對(duì)數(shù)函數(shù)表達(dá)式表達(dá)的函數(shù)模型，其增長特點(diǎn)是開始階段增長得較快 ，但隨著 的逐漸增大，其函數(shù)值變化越來越慢，常稱之為“蝸牛式增長”。
（4）冪函數(shù)模型：能用冪函數(shù)表示表達(dá)的函數(shù)模型，其增長情況隨 中 的取值變化而定，常見的有二次函數(shù)模型。
（5）分式（“勾”） 函數(shù)模型：形如 的函數(shù)模型，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，常利用“基本不等式”解決，有時(shí)通過利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性來求最值。

四．典例解析
題型1：正比例、反比例、一次函數(shù)型和二次函數(shù)型
例1．某種商品原來定價(jià)為每件a元時(shí)，每天可售出m件，現(xiàn)在把定價(jià)降低x個(gè)百分點(diǎn)（即x％）后，售出數(shù)量增加了y個(gè)百分點(diǎn)，且每天的銷售額是原來的k倍。
（1）設(shè)y=nx，其中n是大于1的常數(shù)，試將k寫成x的函數(shù)；
（2）求銷售額最大時(shí)x的值（結(jié)果可用喊n的式子表示）；
（3）當(dāng)n＝2時(shí)，要使銷售額比原來有所增加，求x的取值范圍。
解：（1）依題意有a(1-x%)×m(1+y%)=kam，將y=nx代入，化簡得
（2）由（1）知當(dāng) 時(shí)，k值最大。因?yàn)殇N售額為amk，所以此時(shí)銷售額也最大，且銷售額最大為 元。
（3）當(dāng)n=2時(shí)， 要使銷售額有所增加，需k＞1，所以 ＞0，故x∈（0，50），這就是說，當(dāng)銷售額有所增加時(shí)，降價(jià)幅度的范圍需要在原價(jià)的一半以內(nèi)。

題型2：分段函數(shù)型
例2某廠生產(chǎn)某種零件，每個(gè)零件的成本為40元，出廠單價(jià)定為60元，該廠為鼓勵(lì)銷售商訂購，決定當(dāng)一次訂購量超過100個(gè)時(shí)，每多訂購一個(gè)，訂購的全部零件的出廠單價(jià)就降低0.02元，但實(shí)際出廠單價(jià)不能低于51元。
（I）當(dāng)一次訂購量為多少個(gè)時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)恰降為51元？
（II）設(shè)一次訂購量為x個(gè)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)為P元，寫出函數(shù) 的表達(dá)式；
（III）當(dāng)銷售商一次訂購500個(gè)零件時(shí)，該廠獲得的利潤是多少元？如果訂購1000個(gè)，利潤又是多少元？（工廠售出一個(gè)零件的利潤＝實(shí)際出廠單價(jià)－成本）
[解題思路]根據(jù)題意及“工廠售出一個(gè)零件的利潤＝實(shí)際出廠單價(jià)－成本”建立函數(shù)模型進(jìn)行求解
【解析】（1）設(shè)每個(gè)零件的實(shí)際出廠價(jià)恰好降為51元，一次訂購量為 個(gè)，則 。
因此，當(dāng)一次定購量為550個(gè)時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)恰降為51元。
（2）當(dāng) 時(shí)，P＝60；
當(dāng) 時(shí)， ；
當(dāng) 時(shí)，P＝51。
所以
（3）設(shè)銷售商的一次訂購量為 個(gè)時(shí)，該廠獲得的利潤為L元，則
，
當(dāng) 時(shí)，L＝6000；當(dāng) 時(shí)，L＝11000。
故當(dāng)銷售商一次訂購 500 個(gè)零件時(shí)，該廠獲得的利潤是6000元；如果訂購1000個(gè)，利潤是11000元．
[名師指引]求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題必須突破三關(guān)：
（1）閱讀理解關(guān)：一般數(shù)學(xué)應(yīng)用題的文字閱讀量都比較大，要通過閱讀審題，找出關(guān)鍵詞、句，理解其意義．
（2）建模關(guān)：即建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．
（3）數(shù)理關(guān)：運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法去解決已建立的數(shù)學(xué)模型．
題型3：指數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)
例3．按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲(chǔ)蓄，本金為a元，每期利率為r，設(shè)本利和為y，存期為x，寫出本利和y歲存期x變化的函數(shù)式，如果存入本金1000元，每期利率2.25％，試計(jì)算5期后的本利和是多少？
解：已知本金為a元，1期后的本利和為y1=a＋a×r＝a(1+r),2期后的的本利和為y2=a(1+r)2，。。。。x期后的本利和為：y=a(1+r)x,
將a=1000，r=2.25%，x=5代入得y=1000×（1＋2.25％）5
用計(jì)算器可得y=1117.68（元）
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)要熟練應(yīng)用近似計(jì)算的知識(shí)，來對(duì)事件進(jìn)行合理的解析。
題型4：分式（不等式）型
例4．對(duì)1個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗, 清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為: 為 , 要求清洗完后的清潔度為 . 有兩種方案可供選擇, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分兩次清洗. 該物體初次清洗后受殘留水等因素影響, 其質(zhì)量變?yōu)?. 設(shè)用 單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是 , 用 單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是 , 其中 是該物體初次清洗后的清潔度.。
(Ⅰ)分別求出方案甲以及 時(shí)方案乙的用水量, 并比較哪一種方案用水量較少;
(Ⅱ)若采用方案乙, 當(dāng) 為某固定值時(shí), 如何安排初次與第二次清洗的用水量, 使總用水量最小? 并討論 取不同數(shù)值時(shí)對(duì)最少總用水量多少的影響.
解析：(Ⅰ)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z,由題設(shè)有 =0.99,解得x=19.
由 得方案乙初次用水量為3, 第二次用水量y滿足方程: 解得y=4 ,故z=4 +3.
即兩種方案的用水量分別為19與4 +3.
因?yàn)楫?dāng) ,故方案乙的用水量較少.
（II）設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為 與 ，類似（I）得
， （*）
于是 +
當(dāng) 為定值時(shí), ,
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立.此時(shí)

將 代入（*）式得
故 時(shí)總用水量最少,
此時(shí)第一次與第二次用水量分別為 ,
最少總用水量是 .
當(dāng) ,故T( )是增函數(shù)，這說明,隨著 的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量.
點(diǎn)評(píng)：該題建立了函數(shù)解析式后，通過基本不等式“ ”解釋了函數(shù)的最值情況，而解決了實(shí)際問題。該問題也可以用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷。

五．思維總結(jié)
1．將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，比較常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型的增長差異，結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義。
2．怎樣選擇數(shù)學(xué)模型分析解決實(shí)際問題
數(shù)學(xué)應(yīng)用問題形式多樣，解法靈活。在應(yīng)用題的各種題型中，有這樣一類題型：信息由表格數(shù)據(jù)的形式給出，要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化處理，建立數(shù)學(xué)模型，解答有關(guān)的實(shí)際問題。解答此類題型主要有如下三種方法：
（1）直接法：若由題中條件能明顯確定需要用的數(shù)學(xué)模型，或題中直接給出了需要用的數(shù)學(xué)模型，則可直接代入表中的數(shù)據(jù)，問題即可獲解；
（2）列式比較法：若題所涉及的是最優(yōu)化方案問題，則可根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)先列式，然后進(jìn)行比較；
（3）描點(diǎn)觀察法：若根據(jù)題設(shè)條件不能直接確定需要用哪種數(shù)學(xué)模型，則可根據(jù)表中的數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行描點(diǎn)，作出散點(diǎn)圖，然后觀察這些點(diǎn)的位置變化情況，確定所需要用的數(shù)學(xué)模型，問題即可順利解決。下面舉例進(jìn)行說明。
六：作業(yè) 《走向高考》
課后練習(xí)
1某地區(qū)上年度電價(jià)為0.8元/（千瓦?時(shí)），年用電量為a千瓦?時(shí).本年度計(jì)劃將電價(jià)降到0.55元／（千瓦?時(shí)）至0.75元／（千瓦?時(shí)）之間，而用戶期望電價(jià)為0.4元／（千瓦?時(shí)）.經(jīng)測算，下調(diào)電價(jià)后新增的用電量與實(shí)際電價(jià)和用戶期望電價(jià)的差成反比（比例系數(shù)為k）.該地區(qū)電力的成本價(jià)為0.3元／（千瓦?時(shí)）.
（1）寫出本年度電價(jià)下調(diào)后，電力部門的收益y與實(shí)際電價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)k＝0.2a，當(dāng)電價(jià)最低定為多少時(shí)仍可保證電力部門的收益比上年至少增長20%?
〔注：收益＝實(shí)際用電量×（實(shí)際電價(jià)－成本價(jià)）〕
[解題思路]先根據(jù)題意寫出收益y與實(shí)際電價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式，然后再列出不等式求解
[解析] （1）設(shè)下調(diào)后的電價(jià)為x元／（千瓦?時(shí)），依題意知用電量增至 ＋a，電力部門的收益為y＝（ ＋a）（x－0.3）（0.55≤x≤0.75）.
（2）依題意有
整理得
解此不等式得0.60≤x≤0.75.
答：當(dāng)電價(jià)最低定為0.60元／（千瓦?時(shí)）時(shí)，仍可保證電力部門的收益比去年至少增長20%.
2．運(yùn)貨卡車以每小時(shí) 千米的速度勻速行駛130千米路程,
按交通法規(guī)限制50≤x≤100 (單位: 千米/小時(shí)). 假設(shè)汽油的價(jià)格是每升2元, 而汽車每小時(shí)耗油 升, 司機(jī)的工資是每小時(shí)14元.
（Ⅰ）求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于y的表達(dá)式；
（Ⅱ）當(dāng) 為何值時(shí), 這次行車的總費(fèi)用最低, 并求出最低費(fèi)用的值（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位， ）．
[解題思路]根據(jù)題意建立y與x的函數(shù)關(guān)系，然后再求y的最小值
（Ⅰ）設(shè)行車所用時(shí)間為
∴
所以，這次行車總費(fèi)用 關(guān)于 的表達(dá)式是：

（或： ）
（Ⅱ） ，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，上述不等式中等號(hào)成立
答：當(dāng) 約為56.88km/h時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用的值約為82.16元.
3．某廠家擬在2008年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷費(fèi)用m萬元（m≥0）滿足 ，如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件。已知2008年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費(fèi)用）。
（1）將2008年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)；
（2）該廠家2008的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤最大？
解：（1）由題意可知，當(dāng) ，
每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為 （元），

（2） ，
（萬元）時(shí)， （萬元）。所以該廠家2006年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利潤最大，最大值為21萬元。

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaosan/75662.html

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