§1.2 點、線、面之間的位置關系
1.2.1 平面的基本性質

【課時目標】　1．了解平面的概念及表示法．2．了解公理1、2、3及推論1、2、3，并能用文字語言、圖形語言和符號語言分別表述．


1．公理1：如果一條直線上的________在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內．用符號表示為：________________．
2．公理2：如果________________________________，那么它們還有其他公共點，這些公共點的集合是經(jīng)過這個公共點的______________．
用符號表示為：P∈αP∈β?α∩β＝l且P∈l．
3．公理3：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，________________________．公理3也可簡單地說成，不共線的三點確定一個平面．
(1)推論1　經(jīng)過________________________________________，有且只有一個平面．
(2)推論2　經(jīng)過____________，有且只有一個平面．
(3)推論3　經(jīng)過____________，有且只有一個平面．

一、填空題
1．下列命題：
①書桌面是平面；
②8個平面重疊起來，要比6個平面重疊起來厚；
③有一個平面的長是50 m，寬是20 m；
④平面是絕對的平、無厚度，可以無限延展的抽象數(shù)學概念．
其中正確命題的個數(shù)為________．
2．若點M在直線b上，b在平面β內，則M、b、β之間的關系用符號可記作____________．
3．已知平面α與平面β、γ都相交，則這三個平面可能的交線有________條．
4．已知α、β為平面，A、B、M、N為點，a為直線，下列推理錯誤的是__________(填序號)．
①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β；
②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN；
③A∈α，A∈β?α∩β＝A；
④A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共線?α、β重合．
5．空間中可以確定一個平面的條件是________．(填序號)
①兩條直線； ②一點和一直線；
③一個三角形； ④三個點．
6．空間有四個點，如果其中任意三個點不共線，則經(jīng)過其中三個點的平面有__________個．
7．把下列符號敘述所對應的圖形(如圖)的序號填在題后橫線上．

(1)AD/∈α，a?α________．
(2)α∩β＝a，PD/∈α且PD/∈β________．
(3)a?α，a∩α＝A________．
(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．
8．已知α∩β＝m，a?α，b?β，a∩b＝A，則直線m與A的位置關系用集合符號表示為________．
9．下列四個命題：
①兩個相交平面有不在同一直線上的三個公共點；
②經(jīng)過空間任意三點有且只有一個平面；
③過兩平行直線有且只有一個平面；
④在空間兩兩相交的三條直線必共面．
其中正確命題的序號是________．
二、解答題
10．如圖，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一點，畫出平面SBD和平面SAC的交線，并說明理由．


11．如圖所示，四邊形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延長線)分別與平面α相交于E，F(xiàn)，G，H，求證：E，F(xiàn)，G，H必在同一直線上．


能力提升
12．空間中三個平面兩兩相交于三條直線，這三條直線兩兩不平行，證明三條直線必相交于一點．


13．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，對角線A1C與平面BDC1交于點O，AC、BD交于點M，E為AB的中點，F(xiàn)為AA1的中點．
求證：(1)C1、O、M三點共線；
(2)E、C、D1、F四點共面；
(3)CE、D1F、DA三線共點．

1．證明幾點共線的方法：先考慮兩個平面的交線，再證有關的點都是這兩個平面的公共點，或先由某兩點作一直線，再證明其他點也在這條直線上．
2．證明點線共面的方法：先由有關元素確定一個基本平面，再證其他的點(或線)在這個平面內；或先由部分點線確定平面，再由其他點線確定平面，然后證明這些平面重合．注意對諸如“兩平行直線確定一個平面”等依據(jù)的證明、記憶與運用．
3．證明幾線共點的方法：先證兩線共點，再證這個點在其他直線上，而“其他”直線往往歸結為平面與平面的交線．


§1．2　點、線、面之間的位置關系
1．2．1　平面的基本性質
答案
知識梳理
1．兩點　A∈αB∈α?AB?α
2．兩個平面有一個公共點　一條直線
3．有且只有一個平面　(1)一條直線和這條直線外的一點　(2)兩條相交直線　(3)兩條平行直線
作業(yè)設計
1．1
解析　由平面的概念，它是平滑、無厚度、可無限延展的，可以判斷命題④正確，其余的命題都不符合平面的概念，所以命題①、②、③都不正確．
2．M∈b?β　3．1,2或3
4．③
解析　∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β．
由公理可知α∩β為經(jīng)過A的一條直線而不是A．
故α∩β＝A的寫法錯誤．
5．③
6．1或4
解析　四點共面時有1個平面，四點不共面時有4個平面．
7．(1)C　(2)D　(3)A　(4)B
8．A∈m
解析　因為α∩β＝m，A∈a?α，所以A∈α，
同理A∈β，故A在α與β的交線m上．
9．③
10．解　很明顯，點S是平面SBD和平面SAC的一個公共點，即點S在交線上，由于AB>CD，則分別延長AC和BD交于點E，如圖所示．

∵E∈AC，AC?平面SAC，
∴E∈平面SAC．
同理，可證E∈平面SBD．
∴點E在平面SBD和平面SAC的交線上，連結SE，
直線SE是平面SBD和平面SAC的交線．
11．證明　因為AB∥CD，所以AB，CD確定平面AC，AD∩α＝H，因為H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC與平面α的交線上．同理F、G、E都在平面AC與平面α的交線上，因此E，F(xiàn)，G，H必在同一直線上．
12．證明　

∵l1?β，l2?β，l1 l2，
∴l(xiāng)1∩l2交于一點，記交點為P．
∵P∈l1?β，P∈l2?γ，
∴P∈β∩γ＝l3，
∴l(xiāng)1，l2，l3交于一點．
13．證明　(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，
又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，點C1、O、M在平面BDC1與平面A1ACC1的交線上，
∴C1、O、M三點共線．
(2)∵E，F(xiàn)分別是AB，A1A的中點，
∴EF∥A1B．
∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．
∴E、C、D1、F四點共面．
(3)由(2)可知：四點E、C、D1、F共面．
又∵EF＝12A1B．
∴D1F，CE為相交直線，記交點為P．
則P∈D1F?平面ADD1A1，
P∈CE?平面ADCB．
∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．
∴CE、D1F、DA三線共點．

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