專(zhuān)題四：立體幾何
第二講 點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系


【最新考綱透析】
1．理解空間直線(xiàn)\平面位置關(guān)系的定義。
2．了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理。
3．認(rèn)識(shí)和理解空間中線(xiàn)面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理。
4．能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題。

【核心要點(diǎn)突破】
要點(diǎn)考向1：線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面的位置關(guān)系
考情聚焦：1．空間直線(xiàn)的位置關(guān)系、直線(xiàn)與平面的位 置關(guān)系是最基本的關(guān)系，是高考中重點(diǎn)考查的內(nèi)容，幾乎年年都考。
2．題目基本上以柱體、錐體為背景，重點(diǎn)考查異面直線(xiàn)及線(xiàn)面關(guān)系。
3．三種題型均可出現(xiàn)，屬較容易或中檔題。
考向鏈接：1．解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)要特別注意線(xiàn)線(xiàn)平行與垂直、線(xiàn)在平行與垂直、面面平行與垂直間的相互轉(zhuǎn)化。
2．證明線(xiàn)線(xiàn)平行的常用方法：（1）利用定義，證兩線(xiàn)共面且無(wú)公共點(diǎn)；（2）利用公理4，證兩線(xiàn)同時(shí)平行于第三條直線(xiàn)；（3）利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理把證線(xiàn)線(xiàn)平行轉(zhuǎn)化為證線(xiàn)面平行。
3．證明線(xiàn)面平行常用方法：（1）利用線(xiàn)面平行的判定定理把證線(xiàn)面平行轉(zhuǎn)化為證線(xiàn)線(xiàn)平行；（2）利用性質(zhì)
4．證明線(xiàn)面垂直的方法有：
（1）定義；
（2）判定定理；

例1：（2010?天津高考文科?Ｔ１9）
如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ADEF是正方形，F(xiàn)A⊥平面ABCD，BC∥AD， CD=1，AD= ，∠BAD＝∠CDA＝45°.
（Ⅰ）求異面直線(xiàn)CE與AF所成角的余弦值；
（Ⅱ）證明CD⊥平面ABF；
（Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值。
【命題立意】本小題主要考查異面直線(xiàn)所成的角、直線(xiàn)與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，運(yùn)算能力和推理論證能力。
【思路點(diǎn)撥】（1）∠CED即為異面直線(xiàn)CE與AF所成角；（2）證明CD垂直于兩條相交直線(xiàn)AB、FA;（3）做輔助線(xiàn)構(gòu)造二面角的平面角。
【規(guī)范解答】(I)解：因?yàn)樗倪呅蜛DEF是正方形，所以FA//ED.故 為異面直線(xiàn)CE與AF所成的角.因?yàn)镕A 平面ABCD，所以FA CD.故ED CD.
在Rt△CDE中，CD=1，ED= ，CE= =3,故cos = = .
所以異面直線(xiàn)CE和AF所成角的余弦值為 .
(Ⅱ)證明：過(guò)點(diǎn)B作BG//CD,交AD于點(diǎn)G，則 .由 ,可得BG AB,從而CD AB,又CD FA,FA AB=A,所以CD 平面ABF.
(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得AG= ，即G為AD的中點(diǎn).取EF的中點(diǎn)N，連接GN，則GN EF,因?yàn)锽C//AD,所以BC//EF.過(guò)點(diǎn)N作NM EF，交BC于M，則 為二面角B-EF-A的平面角。
連接GM，可得AD 平面GNM,故AD GM.從而B(niǎo)C GM.由已知，可得GM 平面MAB.由NG//FA,FA GM,得NG GM.
在Rt△NGM中，tan ,
所以二面角B-EF-A的正切值為 .

要點(diǎn)考向2：面面位置關(guān)系
考情聚焦：1．在高考中，本部分內(nèi)容幾乎年年考查，主要考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。
2．題目基本上以棱柱、棱錐為背景，考查面面平行或垂直。
3．選擇題、填空題、解答題均可出現(xiàn)，題目難度為低檔或中檔。
考向鏈接：1．證明面面平行，依據(jù)判定定理，只要找到一個(gè)面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行即可。從而將面面平行轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面平行，再轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)平行。
2．證明面面垂直的方法：證明一個(gè)面過(guò)另一個(gè)面的垂線(xiàn)，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)面垂直，一般先從現(xiàn)有直線(xiàn)中尋找，若圖中不存在這樣的直線(xiàn)，則借助中點(diǎn)、高線(xiàn)或添加輔助線(xiàn)解決。
例2：（2010?遼寧高考文科?Ｔ19）
如圖，棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.
(Ⅰ)證明：平面AB1C⊥平面A1BC1;
（Ⅱ)設(shè)D是A1C1上的點(diǎn)，且A1B∥平面B1CD，求A1D:DC1的值.

【命題立意】本題考查了空間幾何體的線(xiàn)面與面面垂直、以及幾何體的計(jì)算問(wèn)題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力。
【思路點(diǎn)撥】（I）先證明B1C⊥平面A1BC1.再證明平面AB1C⊥平面A1BC1;
（II）利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)，得到DE//A1B，判斷出D點(diǎn)是中點(diǎn)，從而可解
【規(guī)范解答】（I）

（II）

【方法技巧】
1、證明面面垂直，一般通過(guò)證明一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，為此分析題設(shè)，觀察圖形找到是哪條直線(xiàn)和哪個(gè)平面垂直。
2、證明直線(xiàn)和平面垂直，就是要證明這條直線(xiàn)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，這一點(diǎn)在解題時(shí)一定要體現(xiàn)出來(lái)，如本題中強(qiáng)調(diào)了A1B∩BC1＝B
要點(diǎn)考向3：與折疊有關(guān)的問(wèn)題
考情聚焦：1．空間圖形的折疊問(wèn)題是近幾年高考命題的一個(gè)新的亮點(diǎn),它通常與其他知識(shí)相結(jié)合,能夠較好地考查學(xué)生的空間想象能力、圖形變換能力及識(shí)圖能力。
2．選擇題、填空題、解答題均可出現(xiàn)，尤其解答題為多，屬中檔題。
例3：（2010?浙江高考文科?Ｔ20）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°。E為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線(xiàn)DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F(xiàn)為線(xiàn)段A’C的中點(diǎn)。

（Ⅰ）求證：BF∥平面A’DE；
（Ⅱ）設(shè)M為線(xiàn)段DE的中點(diǎn)，求直線(xiàn)FM與平面A’DE所成角的余弦值。
【命題立意】本題主要考查空間線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面位置關(guān)系，線(xiàn)面角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理論證能力。
【思路點(diǎn)撥】（1）可以在面 內(nèi)找一條直線(xiàn)與BF平行，從而證明線(xiàn)面平行；（2）求線(xiàn)面角的關(guān)鍵是找到對(duì)應(yīng)的平面角。
【規(guī)范解答】 (Ⅰ)取A′D的中點(diǎn)G，連結(jié)GF，CE，由條件易知FG∥CD，F(xiàn)G= CD. BE∥CD,BE= CD.所以FG∥BE,FG=BE.

故四邊形BEGF為平行四邊形, 所以BF∥EG
因?yàn)?平面 ，BF 平面 ，所以 BF//平面
（Ⅱ）在平行四邊形ABCD中，設(shè)BC=a，則AB=CD=2a, AD=AE=EB=a, 連CE。
因?yàn)?，在△BCE中，可得CE= a, 在△ADE中，可得DE=a,
在△CDE中，因?yàn)镃D2=CE2+DE2，所以CE⊥DE,
在正三角形A′DE中，M為DE中點(diǎn)，
所以A′M⊥DE.由平面A′DE⊥平面BCD,
可知A′M⊥平面BCD, A′M⊥CE.取A′E的中點(diǎn)N，
連線(xiàn)NM、NF，所以NF⊥DE,NF⊥A′M.因?yàn)镈E交A′M于M,
所以NF⊥平面A′DE,則∠FMN為直線(xiàn)FM與平面A′DE所成的角.
在Rt△FMN中，NF= a, MN= a, FM=a,則cos = .
所以直線(xiàn)FM與平面A′DE所成角的余弦值為 .
【方法技巧】找線(xiàn)面所成角時(shí)，可適當(dāng)?shù)淖饕粭l面的垂線(xiàn)，從而把線(xiàn)面角轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)夾角。
注：（1）解決與折疊有關(guān)的問(wèn)題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量，一般情況下，線(xiàn)段的長(zhǎng)度是不變量，而位置關(guān)系往往會(huì)發(fā)生變化，抓住不變量是解決問(wèn)題的突破口。
（2）在解決問(wèn)題時(shí)，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形。

【高考真題探究】
1．（2010?山東高考理科?Ｔ3）在空間，下列命題正確的是（ ）
（A）平行直線(xiàn)的平行投影重合
（B）平行于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行
（C）垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行
（D）垂直于同一平面的兩條直線(xiàn)平行
【命題立意】 本題考查空間直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系及線(xiàn)面垂直與平行的判定與性質(zhì)，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力.
【思路點(diǎn)撥】 可利用特殊圖形進(jìn)行排除.
【規(guī)范解答】選D，在正方體 中， 但它們?cè)诘酌?上的投影仍平行，故A選項(xiàng)不正確；平面 與平面 都平行于直線(xiàn) ，但平面 與平面相交，故B選項(xiàng)不正確；平面 與平面 都垂直于平面 ，但平面 與平面相交 ，故C選項(xiàng)不正確；而由空間直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系及線(xiàn)面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理可以證明選項(xiàng)D正確.
2．（2010?浙江高考理科?Ｔ6）設(shè) ， 是兩條不同的直線(xiàn)， 是一個(gè)平面，則下列命題正確的是（ ）
（A）若 ， ，則 （B）若 ， ，則
（C）若 ， ，則 （D）若 ， ，則
【命題立意】本題考查空間中的線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面位置關(guān)系，考查空間想象能力。
【思路點(diǎn)撥】利用線(xiàn)面平行、線(xiàn)面垂直的判定定理。
【規(guī)范解答】選B。如圖（1），選項(xiàng)A不正確；如圖（2），選項(xiàng)B正確；如圖（3）選項(xiàng)C不正確；如圖（4）選項(xiàng)D不正確。

3．（2010?廣東高考理科?Ｔ18） 如圖5， 是
半徑為a的半圓，AC為直徑，點(diǎn)E為 的中點(diǎn)，點(diǎn)B
和點(diǎn)C為線(xiàn)段AD的三等分點(diǎn)。平面AEC外一點(diǎn)F滿(mǎn)足
FB=FD= a，F(xiàn)E= a
證明：EB⊥FD；
已知點(diǎn)Q,R分別為線(xiàn)段FE,FB上的點(diǎn)，使得
FQ= FE,FR= FB,求平面BED與平面RQD所成二面角的正弦值。
【命題立意】本題考察空間點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的關(guān)系以及空間幾何體的相關(guān)計(jì)算.
【思路點(diǎn)撥】（1）點(diǎn)E為 的中點(diǎn)，AC為直徑 是 ，又 面 EB⊥FD.
作出二面角的棱 證明 為所求二面角的平面角 求 、
【規(guī)范解答】（1）證明：連結(jié) .因?yàn)?是半徑為a的半圓， 為直徑，點(diǎn)E為 的中點(diǎn)，
所以 ，在 中， ，在 中， ，所以 是等腰三角形，且點(diǎn) 是底邊 的中點(diǎn)，所以
在 中， ，所以 是 ，所以 .
由 ， ，且 ，所以 面
又 面 ，所以，
所以 平面 ，而 平面 ，所以
（2）過(guò)點(diǎn) 作 ， FQ= FE,FR= FB， ， ，
與 共面且與 共面，
為平面BED與平面RQD的棱.
由（1）知， 平面 ， 平面 ，而 平面 ， 平面 ，
， ， 是平面BED與平面RQD所成二面角的平面角.
在 中， ，
， = .
由余弦定理得：

又由正弦定理得：
，即
所以平面BED與平面RQD所成二面角的正弦值為
4．（2010?北京高考理科?Ｔ１6）如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在
的平面互相垂直， CE⊥AC,EF∥AC,AB= ，CE=EF=1.
（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。
【命題立意】本題考查了線(xiàn)面平行、線(xiàn)面垂直及二面角的求法。一般的，運(yùn)用幾何法（方法一）對(duì)空間想象能力，空間運(yùn)算能力要求較高，關(guān)鍵是尋找二面角的平面角；運(yùn)用向量法（方法二）思路簡(jiǎn)單，但運(yùn)算量較大，熟練掌握向量的線(xiàn)性運(yùn)算及數(shù)量積是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。
【思路點(diǎn)撥】立體幾何問(wèn)題一般有兩種方法：幾何法與向量法。幾何法：（1）證明AF與面BDE內(nèi)的某條線(xiàn)平行；（2）證明CF垂直于面BDE內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)；（3）由第（2）問(wèn)的結(jié)論 ，可過(guò)A作一直線(xiàn)與CF平行，從而垂直于面BDE，再過(guò)A和垂足向二面角A-BE-D的菱BE作垂線(xiàn)，找到二面角的平面角。向量法：利用三個(gè)垂直關(guān)系CE，CD，CB，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的平行、垂直和數(shù)量積求二面角的大小。
【規(guī)范解答】方法一：
（I） 設(shè)AC與BD交點(diǎn)G。因?yàn)镋F//AG，且EF=1，AG= AC=1.所以四邊形AGEF為平行四邊形.
所以AF//EG，因?yàn)?平面BDE，AF 平面BDE，所以AF//平面BDE.
(II)連接FG， ， 為平行四邊形，
又 ， CEFG為菱形， 。
在正方形ABCD中， 。
正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直， ，
，又 ， 。
（III）在平面ACEF內(nèi)，過(guò)A作 ，垂足為H，連接HB。則AH//CF。
AH 平面BDE， ， 。
又 面ABCD 面ACEF，CE AC， 面ABCD， 。
又 ， 面BCE， 。 面ABH。
。 為所求的二面角A-BE-D的平面角。
由 得， ，
為銳角， 。

方法二：
（I）因?yàn)檎�方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直，且CE AC，所以CE 平面ABCD.如圖，以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系C- .則C（0，0，0）， ，B（0， ，0）， ， ， ，所以 ， ， .設(shè) 為平面BDE的法向量，則 ，即 ，令 ，得 ， 。
， ，
又 面BDE， AF//平面BDE。

（II）由（I）知 ，所以 ,
所以 , .又因?yàn)?，所以 平面BDE.
(III)設(shè)平面ABE的法向量 , 由（I）知 = ， ，則 ， .即 所以 且 令 則 . 所以 . 從而 。所以 。
因?yàn)槎�面�?為銳角，
所以二面角 的大小為 .
5．（2010?福建高考文科?Ｔ20）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD ? A1B1C1D1中，E，H分別是棱A1B1,D1C1上的點(diǎn)（點(diǎn)E與B1不重合），且EH//A1D1。過(guò)EH的平面與棱BB1,CC1相交，交點(diǎn)分別為F，G。
（I）證明：AD//平面EFGH；
（II）設(shè)AB=2AA1=2a。在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于幾何體A1ABFE ? D1DCGH內(nèi)的概率為p。當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱A1B1, B1B上運(yùn)動(dòng)且滿(mǎn)足EF=a時(shí)，求p的最小值。
【命題立意】本小題主要考查直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積、幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力；考查函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思 想、必然與或然思想。
【思路點(diǎn)撥】第一步由線(xiàn)線(xiàn)平行得到線(xiàn)面平行；第二步求出（1）首先求出三棱柱的體積，并求解三棱柱 的體積的最大值，然后求解圓柱的體積，利用體積比計(jì)算出幾何概率。
【規(guī)范解答】 ( I ) 證明：在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中， ，又 ， ，又 平面 ，所以 平面 ；
（II）設(shè) ，則在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積 ，幾何體 的體積 ，又 ， ，所以當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立，從而 ，故 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立，所以 得最小值等于 。
【方法技巧】立 體幾何中的證明問(wèn)題，一定要把條件寫(xiě)完整了，保證邏輯合理，如：本題一定要寫(xiě)出 。
6．（2010?江蘇高考?Ｔ１6）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。
求證：PC⊥BC；
求點(diǎn)A到平面PBC的距離。
【命題立意】本題主要考查直線(xiàn)與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查幾何體的體積，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力。
【思路點(diǎn)撥】（1）可證明BC與PC所在的某一個(gè)平面垂直；（2）點(diǎn)A到平面PBC的距離是點(diǎn)D到平面PBC的距離的2倍。
【規(guī)范解答】（1）因?yàn)镻D⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PD⊥BC。
由∠BCD=900，得CD⊥BC，
又PD DC=D，PD、DC 平面PCD，
所以BC⊥平面PCD。
因?yàn)镻C 平面PCD，故PC⊥BC。
（2）分別取AB、PC的中點(diǎn)E、F，連DE、DF，則：
易證DE∥CB，DE∥平面PBC，點(diǎn)D、E到平面PBC的距離相等。
又點(diǎn)A到 平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍。
由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，
因?yàn)镻D=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面 PBC于F。
易知DF= ，故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于 。
【方法技巧】一個(gè)幾何體無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，其體積是不變的.如果一個(gè)幾何體的底面積和高較難求解時(shí)，我們可考慮利用等體積法求解。等體積法也稱(chēng)等積轉(zhuǎn)換或等積變形，它是通過(guò)選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積的一種方法，多用來(lái)解決有關(guān)錐體的體積，把底面積和高的求解轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系清晰的底面及其對(duì)應(yīng)的高，減少運(yùn)算量，這也是轉(zhuǎn)化與化歸思想在立體幾何中的具體體現(xiàn)。本題也可利用等體積法求解：
連結(jié)AC。設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h。
因?yàn)锳B∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。
從而AB=2，BC=1，得 的面積 。
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積 。
因?yàn)镻D⊥平面ABCD，DC 平面ABCD，所以PD⊥DC。
又PD=DC=1，所以 。
由PC⊥BC，BC=1，得 的面積 。
由 ， ，得 ，
故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于 。


【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題（每小題6分，共36分）
1.給出以下三個(gè)命題：
①如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行,經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線(xiàn)和交線(xiàn)平行;
②如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直,那么這條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平面;
③如果一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)，那么這條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平面.
其中真命題的個(gè)數(shù)是( )
(A)3(B)2(C)1(D)0
2.給定空間中的直線(xiàn)l及平面α,條件“直線(xiàn)l與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線(xiàn)都垂直”是“直線(xiàn)l與平面α垂直”的 （ ）
(A)充要條件
(B)充分非必要條件
(C)必要非充分條件
(D)既非充分又非必要條件
3.設(shè)有直線(xiàn)m、n和平面α、β.下列四個(gè)命題中,正確的是（ ）
(A)若m∥α,n∥α,則m∥n
(B)若m α,n α,m∥β,n∥β,則α∥β
(C)若α⊥β,m α,則m⊥β
(D)若α⊥β,m⊥β,m α,則m∥α
4.對(duì)于平面α和直線(xiàn)m、n，給出下列命題
①若m∥n,則m、n與α所成的角相等；
②若m⊥α,m⊥n,則n∥α;
③若m與n是異面直線(xiàn)，且m∥α,則n與α相交.
其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
(A)0(B)1(C)2(D)3
5.已知平面α外不共線(xiàn)的三點(diǎn)A、B、C到α的距離都相等，則正確的結(jié)論是（ ）
(A)平面ABC必不垂直于α
(B)平面ABC必平行于α
(C)平面ABC必與α相交
(D)存在△ABC的一條中位線(xiàn)平行于α或在α內(nèi)
6．（2010北京模擬）設(shè)A、B、C、D是空間四個(gè)不同的點(diǎn)，在下列命題中，不正確的是（ ）
　　A．若AC與BD共面，則AD與BC共面
　　B．若AC與BD是異面直線(xiàn)，則AD與BC是異面直線(xiàn)
　　C．若AB = AC，DB = DC，則AD = BC
D．若AB = AC，D B = DC，則AD⊥BC

二、填空題（每小 題6分， 共18分）
7.如圖，長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中,MN在平面BCC1B1內(nèi),MN⊥BC于M，則MN與平面AB1的位置關(guān)系是_______.

8.如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面垂直,那么，稱(chēng)此直線(xiàn)與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線(xiàn)面對(duì)”.在一個(gè)正方體中,由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線(xiàn)與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線(xiàn)面對(duì)”的個(gè)數(shù)是_______.
9.設(shè)α、β表示平面，a、b表示不在α內(nèi)也不在β內(nèi)的兩條直線(xiàn).給出下列四個(gè)論斷:①a∥b;②a∥β;③α⊥β;④b⊥α.若以其中三個(gè)作為條件,余下的一個(gè)作為結(jié)論,可以構(gòu)造出一些命題.寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題________.
三、解答題（10、11題每題15分，12題16分，共46分）
10.如圖，在四棱錐P-ABCD中.PD⊥平面ABCD,AD⊥CD.DB平分∠ADC,E為PC的中點(diǎn),AD=CD.
(1)證明PA∥平面BDE;
(2)證明AC⊥平面PBD;

11.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC為正三角形，D、E分別是BC、CA的中點(diǎn).
(1)證明：平面PBE ⊥平面PAC.
(2)在BC上是否存在一點(diǎn)F，使
AD∥平面PEF？說(shuō)明理由.

12.(探究創(chuàng)新題)如圖,A、B、C、D為空間四點(diǎn),在△ABC中,AB=2，AC=BC= ，等邊三角形ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動(dòng).
（1）當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí)，求CD的長(zhǎng);
（2）當(dāng)△ADB轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),是否總有AB⊥CD?證明你的結(jié)論.

參考答案
一、選擇題
1. 【解析】選B.由直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)定理知①正確；
由直線(xiàn)與平面垂直的判定定理知②正確；
若兩條直線(xiàn)都平行于一個(gè)平面,則這兩條直線(xiàn)平行或相交或異面，故③不正確.
2. 【解析】選C.由直線(xiàn)與平面垂直的定義知,當(dāng)直線(xiàn)l與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線(xiàn)都垂直時(shí),直線(xiàn)l與平面α不一定垂直;反之成立.
3. 【解析】選D.m∥α,n∥α m∥n或m與n相交或m,n異面,故A不對(duì).m α,n α,m∥β,n∥β α,β相交或平行,故B不對(duì).α⊥β,m α m∥β或m⊥β或m與β斜交,故C不對(duì).α⊥β,m⊥β,m α m∥α正確.
故選D.
4. 【解析】選B.①正確；對(duì)②，若m⊥α,m⊥n,則n∥α或n α；對(duì)③，若m與n異面，m∥α,則n與α相交或平行或在α內(nèi).
5. 【解析】選D.如圖，A、B、C三點(diǎn)不共線(xiàn)且到α的距離都相等，可得A、B、C皆錯(cuò).

6. 【解析】選C.A．若AC與BD共面，則A ，B ，C，D四點(diǎn)共面，則AD與BC共面；
　B．若AC與BD是異面直線(xiàn)，則A ，B ，C，D四點(diǎn)不共面，則AD與BC是異面直線(xiàn)；
　C．若AB = AC，DB = DC，四邊形ABCD可以是空間四邊形，AD不一定等于 BC；
D．若AB = AC，DB = DC，可以證明AD⊥BC。

二、填空題
7. 【解析】∵M(jìn)N⊥BC，
∴MN∥BB1,
而B(niǎo)B1 平面AB1，
∴MN∥平面AB1.
答案：MN∥平面AB1
8. 【解析】∵AB⊥面BCC1B1,
AB⊥面ADD1A1，
∴AB與面BCC1B1，AB與面ADD1A1
各構(gòu)成一個(gè)“正交線(xiàn)面對(duì)”.
這樣的“正交線(xiàn)面對(duì)”共有
12×2=24個(gè)，
又A1B⊥面AB1C1D.
∴A1B與面AB1C1D構(gòu)成一個(gè)“正交線(xiàn)面對(duì)”.
這樣的“正交線(xiàn)面對(duì)”共有12×1=12個(gè)，
∴共有24+12=36個(gè).
答案：36
9. 【解析】由a∥b,a∥β,b⊥α可得α⊥β.
答案：①②④ ③

三、解答題
10. 【證明】(1)設(shè)AC∩BD=H,連結(jié)EH.在△ADC中,因?yàn)锳D=CD,且DB平分∠ADC,所以H為AC的中點(diǎn).又由題設(shè),E為PC的中點(diǎn),故EH∥PA.又EH 平面BDE且PA 平面BDE,所以PA∥平面BDE.
(2)因?yàn)镻D⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,所以PD⊥AC.結(jié)合（1）易知DB⊥AC.
又PD∩DB=D.故AC⊥平面PBD.

11. 【解析】(1)∵PA⊥底面ABC，
BE 平面ABC，
∴PA⊥BE.
又△ABC是正三角形，E是AC的中點(diǎn),
∴BE⊥AC,而PA∩AC=A.
∴BE⊥平面PAC.
又BE 平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAC.
(2)存在點(diǎn)F，F(xiàn)是CD的中點(diǎn).
理由：∵E、F分別是AC、CD的中點(diǎn)，
∴EF∥AD.
而EF 平面PEF，AD 平面PEF,
∴AD∥平面PEF.
12. 【解析】（1）取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)DE、CE，

因?yàn)椤鰽DB是等邊三角形,
所以DE⊥AB,
當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí)，
因?yàn)槠矫鍭DB∩平面ABC=AB，
所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.
又DE= ,EC=1.
在Rt△DEC中,

（2）當(dāng)△ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),總有AB⊥CD.
證明：①當(dāng)D在平面ABC內(nèi)時(shí)，
因?yàn)锳C=BC,AD=BD，
所以C、D都在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上,
即AB⊥CD.
②當(dāng)D不在平面ABC內(nèi)時(shí),由（1） 知AB⊥DE，
又因AC=BC,所以AB⊥CE.
又DE、CE為相交直線(xiàn),所以AB⊥平面CDE,
由CD 平面CDE，得AB⊥CD.
綜上所述得AB⊥CD.



【備課資源】
1.已知α、β是不同的平面，m、n是不同 的直線(xiàn)，則下列命題不正確的是（ ）
(A)若m⊥α,m∥n,n?β,則α⊥β
(B)若m∥α,α∩β=n,則m∥n
(C)若m∥n,m⊥α,則n⊥α
(D)若m⊥α,m⊥β,則α∥β
【解析】選B.對(duì)B，m和n可能平行，也可能異面，故錯(cuò)誤.
2. 設(shè)a、b是兩條直線(xiàn),α、β是兩個(gè)平面，則a⊥b的一個(gè)充分條件是（ ）
(A)a⊥α,b∥β,α⊥β
(B)a⊥α,b⊥β,α∥β
(C)a α,b⊥β,α∥β
(D)a α,b∥β,α⊥β
【解析】選C.a α,b⊥β,α∥β?a⊥b.
3. 已知α、β、γ是三個(gè)互不重合的平面，l是一條直線(xiàn)，給出下列四個(gè)命題
①若α⊥β、l⊥β,則l∥α;
②若l⊥α,l∥β,則α⊥β;
③若l上有兩個(gè)點(diǎn)到α的距離相等，則l∥α;
④若α⊥β,β∥γ,則γ⊥α；
其中正確的命題是（ ）
(A)①③(B)②④(C)①④(D)②③
【解析】選B.α⊥β,l⊥β?l∥α或l?α,故①不正確.l⊥α,l∥β?α⊥β,②正確.
若l上有兩個(gè)點(diǎn)到α的距離相等,則l∥α或l?α或l與α相交，③不正確.顯然④正確.
4.設(shè)α、β、γ為三個(gè)不同的平面，m、n為兩條不同的直線(xiàn)
①α⊥β ,α∩β=n,m⊥n;②α∩γ=m,α⊥β,β⊥γ;
③α⊥β,α∥γ,m∥γ;④n⊥α,n⊥β,m⊥α
其中，是m⊥β的充分條件的為（ ）
(A)①②(B)②④(C)②③(D)③④

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