§3　集合的基本運(yùn)算
3．1　交集與并集

課時(shí)目標(biāo) 　1.理解兩個(gè)集合的交集與并集的含義，會求兩個(gè)簡單集合的并集與交集.2.能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用．


1．一般地，由________________________的所有元素組成的集合，叫作A與B的交集，記作________(讀作“A交B”)，即A∩B＝________________.
2．一般地，由屬于________________的所有元素組成的集合，叫作A與B的并集，記作______(讀作“A并B”)，即A∪B＝________________.
3．A∩A＝____，A∪A＝____，A∩?＝____，A∪?＝____.
4．若A?B，則A∩B＝____，A∪B＝____.
5．A∩B____A，A∩B____B，A____A∪B，
A∩B____A∪B.

一、選擇題
1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，則集合A∪B等于(　　)
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{1,2} D．{0}
2．集合A＝{x－1≤x≤2}，B＝{xx<1}，則A∩B等于(　　)
A．{xx<1} B．{x－1≤x≤2}
C．{x－1≤x≤1} D．{x－1≤x<1}
3．若集合A＝{參加北京奧運(yùn)會比賽的運(yùn)動員}，集合B＝{參加北京奧運(yùn)會比賽的男運(yùn)動員}，集合C＝{參加北京奧運(yùn)會比賽的女運(yùn)動員}，則下列關(guān)系正確的是(　　)
A．A?B B．B?C
C．A∩B＝C D．B∪C＝A
4．已知集合M＝{(x，y)x＋y＝2}，N＝{(x，y)x－y＝4}，那么集合M∩N為(　　)
A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1)
C．{3，－1} D．{(3，－1)}
5．滿足條件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的個(gè)數(shù)是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
6．集合M＝{1,2,3,4,5}，集合N＝{1,3,5}，則(　　)
A．N∈M B．M∪N＝M
C．M∩N＝M D．M>N
題　號123456
答　案
二、填空題
7．設(shè)集合A＝{－3,0,1}，B＝{t2－t＋1}．若A∪B＝A，則t＝________.
8．設(shè)集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，則實(shí)數(shù)a＝________.
9．設(shè)集合A＝{x－1≤x≤2}，B＝{x－1三、解答題
10．已知方程x2＋px＋q＝0的兩個(gè)不相等實(shí)根分別為α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}， C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝?.求p，q的值．


11．設(shè)集合A＝{－2}，B＝{xax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．


能力提升
12．定義集合運(yùn)算：A*B＝{zz＝xy，x∈A，y∈B}．設(shè)A＝{1,2}，B＝{0,2}，則集合A*B的所有元素之和為(　　)
A．0 B．2
C．3 D．6
13．設(shè)U＝{1,2,3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1,3}，則稱(M，N)為一個(gè)“理想配集”，求符合此條件的“理想配集”的個(gè)數(shù)(規(guī)定(M，N)與(N，M)不同)．

1．對并集、交集概念全方面的感悟
(1)對于并集，要注意其中“或”的意義，“或”與通常所說的“非此即彼”有原則性的區(qū)別，它們是“相容”的．
“x∈A，或x∈B”這一條件，包括下列三種情況：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少屬于A、B兩者之一的元素組成的集合．
(2)A∩B中的元素是“所有”屬于集合A且屬于集合B的元素，而不是部分，特別地，當(dāng)集合A和集合B沒有公共元素時(shí)，不能說A與B沒有交集，而是A∩B＝?.
2．集合的交、并運(yùn)算中的注意事項(xiàng)
(1)對于元素個(gè)數(shù)有限的集合，可直接根據(jù)集合的“交”、“并”定義求解，但要注意集合元素的互異性．
(2)對于元素個(gè)數(shù)無限的集合，進(jìn)行交、并運(yùn)算時(shí)，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解，但要注意端點(diǎn)值取到與否．
拓展　交集與并集的運(yùn)算性質(zhì)，除了教材中介紹的以外，還有A?B?A∪B＝B，A?B?A∩B＝A.這種轉(zhuǎn)化在做題時(shí)體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法，十分有效．
§3　集合的基本運(yùn)算
3．1　交集與并集
知識梳理
1．既屬于集合A又屬于集合B　A∩B　{xx∈A，且x∈B}
2．集合A或?qū)儆诩�合B　A∪B　{xx∈A，或x∈B}
3．A　A　?　A　4.A　B　　5.?　?　?　?
作業(yè)設(shè)計(jì)
1．A
2．D　[由交集定義得{x－1≤x≤2}∩{xx<1}＝{x－1≤x<1}．]
3．D　[參加北京奧運(yùn)會比賽的男運(yùn)動員與參加北京奧運(yùn)會比賽的女運(yùn)動員構(gòu)成了參加北京奧運(yùn)會比賽的所有運(yùn)動員，因此A＝B∪C.]
4．D　[M、N中的元素是平面上的點(diǎn)，M∩N是集合，并且其中元素也是點(diǎn)，解x＋y＝2，x－y＝4，得x＝3，y＝－1.]
5．B　[由已知得M＝{2,3}或{1,2,3}，共2個(gè)．]
6．B　[∵N M，∴M∪N＝M.]
7．0或1
解析　由A∪B＝A知B?A，
∴t2－t＋1＝－3，①
或t2－t＋1＝0，②
或t2－t＋1＝1.③
①無解；②無解；③t＝0或t＝1.
8．1
解析　∵3∈B，由于a2＋4≥4，∴a＋2＝3，即a＝1.
9．－1　2
解析　∵B∪C＝{x－3∴A∩(B∪C)＝A，
由題意{xa≤x≤b}＝{x－1≤x≤2}，
∴a＝－1，b＝2.
10．解　由A∩C＝A，A∩B＝?，可得：A＝{1,3}，
即方程x2＋px＋q＝0的兩個(gè)實(shí)根為1,3.
∴1＋3＝－p1×3＝q，∴p＝－4q＝3.
11．解　∵A∩B＝B，∴B?A.
∵A＝{－2}≠?，∴B＝?或B≠?.
當(dāng)B＝?時(shí)，方程ax＋1＝0無解，此時(shí)a＝0.
當(dāng)B≠?時(shí)，此時(shí)a≠0，則B＝{－1a}，
∴－1a∈A，即有－1a＝－2，得a＝12.
綜上，得a＝0或a＝12.
12．D　[x的取值為1,2，y的取值為0,2，
∵z＝xy，∴z的取值為0,2,4，所以2＋4＝6，故選D.]
13．解　符合條件的理想配集有
①M(fèi)＝{1,3}，N＝{1,3}．
②M＝{1,3}，N＝{1,2,3}．
③M＝{1,2,3}，N＝{1,3}．
共3個(gè)．


3．2　全集與補(bǔ)集

課時(shí)目標(biāo) 　1.理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集.2.熟練掌握集合的基本運(yùn)算．


1．在研究某些集合的時(shí)候，這些集合往往是某個(gè)給定集合的______，這個(gè)給定的集合叫作全集，常用符號____表示．全集含有我們所要研究的這些集合的______元素．
2．設(shè)U是全集，A是U的一個(gè)子集(即______)，則由U中所有不屬于A的元素組成的集合，叫作U中子集A的______(或______)，記作______，即?UA＝___________________.
3．補(bǔ)集與全集的性質(zhì)
(1)?UU＝______；(2)?U?＝____；(3)?U(?UA)＝____；
(4)A∪(?UA)＝____；(5)A∩(?UA)＝____.

一、選擇題
1．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，則?UA等于(　　)
A．{1,3} B．{3,7,9}
C．{3,5,9} D．{3,9}
2．已知全集U＝R，集合M＝{xx2－4≤0}，則?UM等于(　　)
A．{x－2C．{xx<－2或x>2} D．{xx≤－2或x≥2}
3．設(shè)全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,5}，則A∩(?UB)等于(　　)
A．{2} B．{2,3} C．{3} D．{1,3}
4．設(shè)全集U和集合A、B、P滿足A＝?UB，B＝?UP，則A與P的關(guān)系是(　　)
A．A＝?UP B．A＝P
C．A P D．A P
5．如圖，I是全集，M、P、S是I的3個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合是(　　)

A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪S
C．(M∩P)∩(?IS) D．(M∩P)∪(?IS)
6．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是(　　)
A．A∪B B．A∩B
C．?U(A∩B) D．?U(A∪B)
題　號123456
答　案
二、填空題
7．設(shè)U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈Ux2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，則實(shí)數(shù)m＝________.
8．設(shè)全集U＝{xx<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，則?UA＝________，?UB＝______，?BA＝________.
9．已知全集U，A B，則?UA與?UB的關(guān)系是____________________．
三、解答題
10．設(shè)全集是數(shù)集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，?UA＝{5}，求實(shí)數(shù)a，b的值．

11．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，設(shè)全集為U，若B∪(?UB)＝A，求?UB.

能力提升
12．已知A，B均為集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(?UB)∩A＝{9}，則A等于(　　)
A．{1,3} B．{3,7,9}
C．{3,5,9} D．{3,9}
13．學(xué)校開運(yùn)動會，某班有30名學(xué)生，其中20人報(bào)名參加賽跑項(xiàng)目，11人報(bào)名參加跳躍項(xiàng)目，兩項(xiàng)都沒有報(bào)名的有4人，問兩項(xiàng)都參加的有幾人？

1．全集與補(bǔ)集的互相依存關(guān)系
(1)全集并非是包羅萬象、含有任何元素的集合，它是對于研究問題而言的一個(gè)相對概念，它僅含有所研究問題中涉及的所有元素，如研究整數(shù)，Z就是全集，研究方程的實(shí)數(shù)解，R就是全集．因此，全集因研究問題而異．
(2)補(bǔ)集是集合之間的一種運(yùn)算．求集合A的補(bǔ)集的前提是A是全集U的子集，隨著所選全集的不同，得到的補(bǔ)集也是不同的，因此，它們是互相依存、不可分割的兩個(gè)概念．
(3)?UA的數(shù)學(xué)意義包括兩個(gè)方面：首先必須具備A?U；其次是定義?UA＝{xx∈U，且x?A}，補(bǔ)集是集合間的運(yùn)算關(guān)系．
2．補(bǔ)集思想
做題時(shí)“正難則反”策略運(yùn)用的是補(bǔ)集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困難，可先求?UA，再由?U(?UA)＝A求A.


3．2　全集與補(bǔ)集
知識梳理
1．子集　U　全部　2.A?U　補(bǔ)集　余集　?UA　{xx∈U，且x?A}
3．(1)?　(2)U　(3)A　(4)U　(5)?
作業(yè)設(shè)計(jì)
1．D　[在集合U中，去掉1,5,7，剩下的元素構(gòu)成?UA.]
2．C　[∵M(jìn)＝{x－2≤x≤2}，
∴?UM＝{xx<－2或x>2}．]
3．D　[由B＝{2,5}，知?UB＝{1,3,4}．
A∩(?UB)＝{1,3,5}∩{1,3,4}＝{1,3}．]
4．B　[由A＝?UB，得?UA＝B.
又∵B＝?UP，∴?UP＝?UA.
即P＝A，故選B.]
5．C　[依題意，由圖知，陰影部分對應(yīng)的元素a具有性質(zhì)a∈M，a∈P，a∈?IS，所以陰影部分所表示的集合是(M∩P)∩(?IS)，故選C.]
6．D　[由A∪B＝{1,3,4,5,6}，得?U(A∪B)＝{2,7}，故選D.]
7．－3
解析　∵?UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.
8．{0,1,3,5,7,8}　{7,8}　{0,1,3,5}

解析　由題意得U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，用Venn圖表示出U，A，B，易得?UA＝{0,1,3,5,7,8}，?UB＝{7,8}，?BA＝{0,1,3,5}．
9．(?UB) (?UA)
解析　畫Venn圖，觀察可知(?UB) (?UA)．

10．解　∵?UA＝{5}，∴5∈U且5?A.
又b∈A，∴b∈U，由此得a2＋2a－3＝5，b＝3.
解得a＝2，b＝3或a＝－4，b＝3經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意．
11．解　因?yàn)锽∪(?UB)＝A，
所以B?A，U＝A，因而x2＝3或x2＝x.
①若x2＝3，則x＝±3.
當(dāng)x＝3時(shí)，A＝{1,3，3}，B＝{1,3}，U＝A＝{1,3，3}，
此時(shí)?UB＝{3}；
當(dāng)x＝－3時(shí)，A＝{1,3，－3}，B＝{1,3}，U＝A＝{1,3，－3}，
此時(shí)?UB＝{－3}．
②若x2＝x，則x＝0或x＝1.
當(dāng)x＝1時(shí)，A中元素x與1相同，B中元素x2與1也相同，不符合元素的互異性，故x≠1；
當(dāng)x＝0時(shí)，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，U＝A＝{1,3,0}，
從而?UB＝{3}．
綜上所述，?UB＝{3}或{－3}或{3}．
12．D　[借助于Venn圖解，因?yàn)锳∩B＝{3}，所以3∈A，又因?yàn)??UB)∩A＝{9}，所以9∈A，故選D.]

13.

解　如圖所示，設(shè)只參加賽跑、只參加跳躍、兩項(xiàng)都參加的人數(shù)分別為a，b，x.
根據(jù)題意有a＋x＝20，b＋x＝11，a＋b＋x＝30－4.
解得x＝5，即兩項(xiàng)都參加的有5人．

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaosan/75226.html

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