專題四：立體幾何
階段質量評估（四）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，總分60分）
1．如右圖所示，一個空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為 的正方形，俯視圖是一個直徑為 的圓，那么這個幾何體的全面積為（ ）
A． B．
C． D．
2．下列四個幾何體中，每個幾何體的三視圖
有且僅有兩個視圖相同的是（ ）




A．①② B．①③ C．①④ D． ②④
3．如圖，設平面 ，垂足分別為 ，若增加一個條件，就能推出 .

現有① ② 與 所成的角相等;
③ 與 在 內的射影在同一條直線上;④ ∥ .
那么上述幾個條件中能成為增加條件的個數是（ ）
個 個 個 個
4．已知直線 和平面 ，則下列命 題正確的是 ( )
A B
C D
5．空間直角坐標系 中，點 關于平面 的對稱點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
6．給定下列四個命題：
①若一個平面內的兩條直線與另一個平面都平 行，那么這兩個平面相互平行；
②若一條直線和兩個平行平面中的一個平面垂直，那么這條直線也和另一個平面垂直；
③若一條直線和兩個互相垂直的平面中的 一個平面垂直，那么這條直線一定平行于另一個平面；
④若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.
其中，為真命題的是 （ ）
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
7．如圖，正四棱柱 中， ，則異面直線 所成角的余弦值為（ ）

A． B． C． D．
8．如圖，已知六棱錐 的底面是正六 邊形， 則下列結論正確的是( )

A. B.
C. 直線 ∥ D. 直線 所成的角為45°
9．正六棱錐P－ABCDEF中，G為PB的中點，則三棱錐D－GAC與三棱錐P－GAC體積之比為（ ）
（A）1：1 (B) 1 ：2 (C) 2：1 (D) 3：2
10．如圖，在四面體 中，截面 是正方形，則在下列命題中，錯誤的為（ ）

. . ∥截面
. . 異面直線 與 所成的角為
11．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的余弦值為（ ）

A. B.
C. D.
12．如圖， 為正方體，下面結論錯誤的是（　�。�
（A） 平面
（B）
（C） 平面
（D）異面直線 與 所成的角為

二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，總分16分）
13．圖2中實線圍成的部分是長方體（圖1）的平面展開圖，其中四邊形ABCD是邊長為1的正方形．若向虛線圍成的矩形內任意拋擲一質點，它落在長方體的平面展開圖內的概率是 ，則此長方體的體積是 。

14．已知一圓錐的底面半徑與一球的半徑相等，且全面積也相等，則圓錐的母線與底面所成角的大小為 ．(結果用反三角函數值表示)

15．如圖，在長方形 中， ， ， 為 的中點， 為線段 （端點除外）上一動點．現將 沿 折起，使平面 平面 ．在平面 內過點 ，作 ， 為垂足．設 ，則 的取值范圍是 ．

16．已知點O在二面角α－AB－β的棱上，點P在α內，且∠POB＝45°．若對于β內異于O的任意一點Q，都有∠POQ≥45°，則二面角α－AB－β的取值范圍是_________．


三、解答題（本大題共6小題，總分74分）
17．如圖，在長方體 ，點E在棱AB上移動，小螞蟻從點A沿長方體的表面爬到點C1，所爬的最短路程為 .
（1）求證：D1E⊥A1D；
（2）求AB的長度；
（3）在線段AB上是否存在點E，使得二面角
。若存在，確定
點E的位置；若不存在，請說明理由.






18．如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點.
（Ⅰ）證明PA//平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B—DE—C的 平面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在點F，使PB⊥平面DEF？證明你的結論.





19． 如圖所示的長方體 中，底面 是邊長為 的正方形， 為 與 的交點， ，
是線段 的中點。
（Ⅰ）求證： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的大小。



20．如圖，已知三棱柱ABC—A1B1C1的側棱與底面垂直，AA1=AB=AC=1， ，M是CC 1的中點，N是BC的中點，點P在A1B1上，且滿足
（I）證明：
（II）當 取何值時，直線PN與平面ABC
所成的角 最大？并求該角最大值的正切值；
（II）若平面PMN與平面ABC所成的二面角
為45°，試確定點P的位置。



21．（本小題滿分12分）
如圖，四面體 中， 是 的中點， 和 均 為等邊三角形， ．

（I）求證： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值；
（Ⅲ）求 點到平面 的距離．


22．如圖，在 中， ，斜邊 ． 可以通過 以直線 為軸旋轉得到，且二面角 是直二面角．動點 在斜邊 上．
（I）求證：平面 平面 ；
（II）當 為 的中點時，求異面直線 與 所成角的大��；
（III）求 與平面 所成角的最大值．


參考答案
一、選擇題
1. 【解析】選A. 。
2. 【解析】選D.①三個都相同，②正視圖和側視圖相同，③三個視圖均不同，④正視圖和側視圖相同。
3.C
4. 【解析】選B.對A， ，
對C畫出圖形可知，對D， 缺少條件。
5.C
6.D
7.D
8. D
9. 【解析】選C .由于G是PB的中點,故P－GAC的體積等于B－GAC的體積
在底面正六邊形ABCDER中
BH＝ABtan30°＝ AB
而BD＝ AB
故DH＝2BH
于是VD－GAC＝2VB－GAC＝2VP－GAC

10. 【解析】選 .由 ∥ ， ∥ ， ⊥ 可得 ⊥ ，故 正確；由 ∥ 可得 ∥截面 ，故 正確； 異面直線 與 所成的角等于 與 所成的角，故 正確；綜上 是錯誤的.

11. 【解析】選D.連 與 交于O點,再連BO,則 為BC1與平面BB1D1D所成的角.
， ，
.

12. 【解析】選D．顯然異面直線 與 所成的角為 。
二、填空題
13. 【解析】向虛線圍成的矩形內任意拋擲一質點，它落在長方體的平面展開圖內的概率是 ，設長方體的高為x，則 ，所以 ，所以長方體的體積為3。
答案：3

14.
15. 【解析】此題的破解可采用二個極端位置法，即對于F位于DC的中點時， ，隨著F點到C點時，因 平面 ，即有 ，對于 ，又 ，因此有 ，則有 ，因此 的取值范圍是 .
答案：

16. 【解析】若二面角α－AB－β的大小為銳角，則過點P向平面 作垂線,設垂足為H.
過H作AB的垂線交于C,連PC、CH、OH，則 就是所求二面角

的平面角. 根據題意得 ，由于對于β內異于O的任意一點
Q，都有∠POQ≥45°，∴ ，設PO= ，則
又∵∠POB＝45°，∴OC=PC= ，∵PC≤PH而在 中應有
PC>PH ,∴顯然矛盾，故二面角α－AB－β的大小不可能為銳角。
即二面角 的范圍是 。
若二面角α－AB－β的大小為直角或鈍角，則由于∠PO B＝45°，結合圖形容易判斷對于β內異于O的任意一點Q，都有∠POQ≥45°。
即二面角 的范圍是 。
答案：

三、解答題
17. 【解析】（1）證明：連結AD1，由長方體的性質可知：
AE⊥平面AD1，∴AD1是ED1在
平面AD1內的射影。又∵AD=AA1=1，
∴AD1⊥A1D
∴D1E⊥A1D1（三垂線定理）
（2） 設AB=x，
點C1可能有兩種途徑，如圖甲的最短路程為

如圖乙的最短路程為




（3）假設存在，平面DEC的法向量 ，
設平面D1EC的法向量 ，則

由題意得：
解得 （舍去）


18. 【解析】（Ⅰ）以D為坐標原點，分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、
y軸、z軸建立空間直角坐標系，設PD=DC=2，則A（2，0，0），
P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），

設 是平面BDE的一個法向量，
則由
∵
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 是平面BDE的一個法向量，
又 是平面DEC的一個法向量.
設二面角B—DE—C的平面角為 ，由圖可知
∴
故二面角B—DE—C的余弦值為
（Ⅲ）∵ ∴
假設棱PB上存 在點F，使PB⊥平面DEF，設 ，
則 ，
由
∴
即在棱PB上存在點F， PB，使得PB⊥平面DEF

19. 【解析】（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系．連接 ，則點 、 ，
∴ 又點 ， ，∴
∴ ，且 與 不共線，∴ ．
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．
（Ⅱ）∵ ， ，∴ 平面 ，
∴ 為平面 的法向量．
∵ ， ，
∴ 為平面 的法向量．
∴ ，
∴ 與 的夾角為 ，即二面角 的大小為 ．

20. 解：（I）如圖，以AB，AC，AA1分別為 軸，建立空間直角坐標系
則 2分
從而

所以 …………3分
（II）平面ABC的一個法向量為
則
（※） …………5分
而
由（※）式，當 …………6分
（III）平面ABC的一個法向量為
設平面PMN的一個法向量為
由（I）得
由 …………7分
解得 …………9分
平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，

解得 11分
故點P在B1A1的延長線上，且 ……… …12分

21. 解法一：（I）證明：連結 ， 為等邊三角形， 為 的中點，

， 和 為等邊三角形， 為 的中點， ，
。
在 中， ，
，即 ．
， 面 ．
（Ⅱ）過 作 于 連結 ，
平面 ， 在平面 上的射影為

為二面角 的平角。
在 中，
二面角 的余弦值為
（Ⅲ）解：設點 到平面 的距離為 ，
，
在 中， ，
而
點 到平面 的距離為 ．
解法二：（I）同解法一．

（Ⅱ）解：以 為原點，如圖建立空間直角坐標系，
則
平面 ， 平面 的法向量
設平面 的法向量 ，
由
設 與 夾角為 ，則
∴二面角 的余弦值為 ．
（Ⅲ）解：設平面 的法向量為 又

設 與 夾角為 ， 則
設 到平面 的距離為 ，
到平面 的距離為 ．

22. 【解析】解法一：
（I）由題意， ， ，
是二面角 的平面角，
又 二面角 是直二面角，
，又 ，
平面 ，
又 平面 ．
平面 平面 ．
（II）作 ，垂足為 ，連結 （如圖），則 ，
是異面直線 與 所成的角．
在 中， ， ，
．
又 ．
在 中， ．
異面直線 與 所成角的大小為 ．
（III）由（I）知， 平面 ，
是 與平面 所成的角，且 ．
當 最小時， 最大，
這時， ，垂足為 ， ， ，
與平面 所成角的最大值為 ．
解法二：
（I）同解法一．
（II）建立空間直角坐標系 ，如圖，則 ， ， ， ，
， ，

．
異面直線 與 所成角的大小為 ．
（III）同解法一

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