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2012屆高考數(shù)學第一輪立體幾何專項復習 習題課
編輯:
逍遙路
關鍵詞:
高三
來源:
高中學習網(wǎng)
習題課
【課時目標】 1.能熟練應用直線、平面平行與垂直的判定及性質(zhì)進行有關的證明.2.進一步體會化歸思想在證明中的應用.
a、b、c表示直線,α、β、γ表示平面.
位置
關系判定定理
(符號語言)性質(zhì)定理
(符號語言)
直線與平面平行a∥b且__________?a∥αa∥α,________________?a∥b
平面與平面平行a∥α,b∥α,且________________?α∥βα∥β,________________?a∥b
直線與平面垂直l⊥a,l⊥b,且____________?l⊥αa⊥α,b⊥α?____
平面與平面垂直a⊥α,____?α⊥βα⊥β,α∩β=a,
__________?b⊥β
一、填空題
1.不同直線m、n和不同平面α、β.給出下列命題:
①α∥βm?α?m∥β; ②m∥nm∥β?n∥β;
③m?αn?β?m,n異面; ④α⊥βm∥α?m⊥β.
其中假命題的個數(shù)為________.
2.下列命題中:(1)平行于同一直線的兩個平面平行;(2)平行于同一平面的兩個平面平行;(3)垂直于同一直線的兩直線平行;(4)垂直于同一平面的兩直線平行.其中正確命題的為________.
3.若a、b表示直線,α表示平面,下列命題中正確的有________個.
①a⊥α,b∥α?a⊥b;②a⊥α,a⊥b?b∥α;③a∥α,a⊥b?b⊥α.
4.過平面外一點P:①存在無數(shù)條直線與平面α平行;②存在無數(shù)條直線與平面α垂直;③有且只有一條直線與平面α平行;④有且只有一條直線與平面α垂直,其中真命題的個數(shù)是________.
5.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P在側面BCC1B1及其邊界上運動,并且總是保持AP⊥BD1,則動點P的軌跡是________.
6.設a,b為兩條直線,α,β為兩個平面,下列四個命題中,正確的命題是________.
①若a,b與α所成的角相等,則a∥b;
②若a∥α,b∥β,α∥β,則a∥b;
③若a?α,b?β,a∥b,則α∥β;
④若a⊥α,b⊥β,α⊥β,則a⊥b.
7.三棱錐D-ABC的三個側面分別與底面全等,且AB=AC=3,BC=2,則二面角A-BC-D的大小為______.
8.如果一條直線與一個平面垂直,那么,稱此直線與平面構成一個“正交線面對”,在一個正方體中,由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數(shù)是________.
9.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為BD1的中點,則△PAC在該正方體各個面上的射影可能是________.(填序號)
二、解答題
10.如圖所示,△ABC為正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中點,求證:
(1)DE=DA;
(2)平面BDM⊥平面ECA;
(3)平面DEA⊥平面ECA.
11.如圖,棱柱ABC-A1B1C1的側面BCC1B1是菱形,B1C⊥A1B.
(1)證明:平面AB1C⊥平面A1BC1;
(2)設D是A1C1上的點且A1B∥平面B1CD,求A1DDC1的值.
能力提升
12.四棱錐P—ABCD的頂點P在底面ABCD中的投影恰好是A,其三視圖如圖:
(1)根據(jù)圖中的信息,在四棱錐P—ABCD的側面、底面和棱中,請把符合要求的結論填寫在空格處(每空只要求填一種):
①一對互相垂直的異面直線________;
②一對互相垂直的平面________;
③一對互相垂直的直線和平面________;
(2)四棱錐P—ABCD的表面積為________.(棱錐的表面積等于棱錐各面的面積之和)
13.如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD是正方形,AB=2EF,EF∥AB,EF⊥FB,BF=FC,H為BC的中點.
(1)求證:FH∥平面EDB;
(2)求證:AC⊥平面EDB.
轉(zhuǎn)化思想是證明線面平行與垂直的主要思路,其關系為
即利用線線平行(垂直),證明線面平行(垂直)或證明面面平行(垂直);反過來,又利用面面平行(垂直),證明線面平行(垂直)或證明線線平行(垂直),甚至平行與垂直之間的轉(zhuǎn)化.這樣,來來往往,就如同運用“四渡赤水”的戰(zhàn)略戰(zhàn)術,達到了出奇制勝的目的.
習題課 答案
知識梳理
位置
關系判定定理
(符號語言)性質(zhì)定理
(符號語言)
直線與平面平行a∥b且a?α,b?α?a∥αa∥α,a?β,α∩β=b?a∥b
平面與平面平行a∥α,b∥α,且a?β,b?β,a∩b=P?α∥βα∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b
直線與平面垂直l⊥a,l⊥b,且a?α,b?α,a∩b=P?l⊥αa⊥α,b⊥α?a∥b
平面與平面垂直a⊥α,a?β?α⊥βα⊥β,α∩β=a,b⊥a,b?α?b⊥β
作業(yè)設計
1.3
解析 命題①正確,面面平行的性質(zhì);命題②不正確,也可能n?β;命題③不正確,如果m、n有一條是α、β的交線,則m、n共面;命題④不正確,m與β的關系不確定.
2.2
解析 (2)和(4)對.
3.1
解析、僬_.
4.2
解析 ①④正確.
5.線段B1C
解析 連結AC,AB1,B1C,
∵BD⊥AC,AC⊥DD1,
BD∩DD1=D,
∴AC⊥面BDD1,
∴AC⊥BD1,
同理可證BD1⊥B1C,
∴BD1⊥面AB1C.
∴P∈B1C時,始終AP⊥BD1.
6.④
7.90°
解析
由題意畫出圖形,數(shù)據(jù)如圖,取BC的中點E,
連結AE、DE,易知∠AED為二面角A—BC—D的平面角.
可求得AE=DE=2,由此得AE2+DE2=AD2.
故∠AED=90°.
8.36
解析 正方體的一條棱長對應著2個“正交線面對”,12條棱長共對應著24個“正交線面對”;正方體的一條面對角線對應著1個“正交線面對”,12條面對角線對應著12個“正交線面對”,共有36個.
9.①④
10.證明 (1)如圖所示,
取EC的中點F,連結DF,∵EC⊥平面ABC,
∴EC⊥BC,又由已知得DF∥BC,
∴DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中,
∵EF=12EC=BD,
FD=BC=AB,
∴Rt△EFD≌Rt△DBA,
故ED=DA.
(2)取CA的中點N,連結MN、BN,
則MN?12EC,
∴MN∥BD,∴N在平面BDM內(nèi),
∵EC⊥平面ABC,∴EC⊥BN.又CA⊥BN,
∴BN⊥平面ECA,BN?平面MNBD,
∴平面MNBD⊥平面ECA.
即平面BDM⊥平面ECA.
(3)∵BD?12EC,MN?12EC,
∴BD?MN,
∴MNBD為平行四邊形,
∴DM∥BN,∵BN⊥平面ECA,
∴DM⊥平面ECA,又DM?平面DEA,
∴平面DEA⊥平面ECA.
11.(1)證明 因為側面BCC1B1是菱形,
所以B1C⊥BC1.
又B1C⊥A1B,
且A1B∩BC1=B,
所以B1C⊥平面A1BC1.
又B1C?平面AB1C,
所以平面AB1C⊥平面A1BC1.
(2)解 設BC1交B1C于點E,連結DE,則DE是平面A1BC1與平面B1CD的交線.
因為A1B∥平面B1CD,所以A1B∥DE.
又E是BC1的中點,所以D為A1C1的中點,
即A1DDC1=1.
12.(1)①PA⊥BC(或PA⊥CD或AB⊥PD)
②平面PAB⊥平面ABCD(或平面PAD⊥平面ABCD或平面PAB⊥平面PAD或平面PCD⊥平面PAD或平面PBC⊥平面PAB)
③PA⊥平面ABCD(或AB⊥平面PAD或CD⊥平面PAD或AD⊥平面PAB或BC⊥平面PAB)
(2)2a2+2a2
解析 (2)依題意:正方形的面積是a2,
S△PAB=S△PAD=12a2.
又PB=PD=2a,∴S△PBC=S△PCD=22a2.
所以四棱錐P—ABCD的表面積是
S=2a2+2a2.
13.
(1)證明 如圖,設AC與BD交于點G,則G為AC的中點.連結EG,GH,由于H為BC的中點,
故GH?12AB.
又EF?12AB,∴EF?GH.
∴四邊形EFHG為平行四邊形.
∴EG∥FH.
而EG?平面EDB,F(xiàn)H?平面EDB,
∴FH∥平面EDB.
(2)證明 由四邊形ABCD為正方形,
得AB⊥BC.
又EF∥AB,∴EF⊥BC.
而EF⊥FB,∴EF⊥平面BFC.
∴EF⊥FH.
∴AB⊥FH.
又BF=FC,H為BC的中點,∴FH⊥BC.
∴FH⊥平面ABCD.∴FH⊥AC.
又FH∥EG,∴AC⊥EG.
又AC⊥BD,EG∩BD=G,
∴AC⊥平面EDB.
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