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2012屆高考數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性與最值知識(shí)歸納復(fù)習(xí)教案
編輯:
逍遙路
關(guān)鍵詞:
高三
來源:
高中學(xué)習(xí)網(wǎng)
3.函數(shù)的單調(diào)性與最值
一、知識(shí)梳理:
1、函數(shù)的單調(diào)性
(1) 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須在定義域內(nèi)。分別在兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)用“和”連接而不能用并.
如:求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間。
(2)定義:設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1,x2,當(dāng)x1
f(x2)),那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)(減函數(shù));
(3)函數(shù)單調(diào)性的證明、判斷和求單調(diào)區(qū)間:定義法,導(dǎo)數(shù)法。
定義法:對(duì)任意的 , ,判斷 的符號(hào),兩法因式分解和配方法,以 說明之
(4)初等函數(shù)的單調(diào)性:一次函數(shù),反比例函數(shù),二次函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),冪函數(shù),三角函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。具體說明。
(5)設(shè) 是定義在M上的函數(shù),若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反,則 在M上是減函數(shù);若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同,則 在M上是增函數(shù)。
如求函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ,單調(diào)遞減區(qū)間為 。
(6)簡(jiǎn)單性質(zhì):
①奇函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同;②偶函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反;
③在公共定義域內(nèi):
增函數(shù) 增函數(shù) 是增函數(shù);減函數(shù) 減函數(shù) 是減函數(shù);
增函數(shù) 減函數(shù) 是增函數(shù);減函數(shù) 增函數(shù) 是減函數(shù)。
2、函數(shù)的最值
(1)定義:
最大值:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足:①對(duì)于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得f(x0) = M。那么,稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。
最小值:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足:①對(duì)于任意的x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0) = M。那么,稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。
其意義2點(diǎn):
○1 函數(shù)最大(。┦紫葢(yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值,即存在x0∈I,使得f(x0) = M;
○2 函數(shù)最大(。⿷(yīng)該是所有函數(shù)值中最大(。┑,即對(duì)于任意的x∈I,都有f(x)≤M(f(x)≥M)。
(2)求最值方法:函數(shù)單調(diào)性法(包括導(dǎo)數(shù)法)、基本不等式法;
二、典例討論:
1、基本初等復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
例1.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并確定每一單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性.
解:(1)圖象法:遞增區(qū)間: 和 ,遞減區(qū)間: 和
(2)初等復(fù)合函數(shù)法:遞增區(qū)間: ,遞減區(qū)間:
(3)遞增區(qū)間: ,遞減區(qū)間:
例2、已知 討論函數(shù) 的單調(diào)性。
解: 的定義域?yàn)?,且 , 為奇函數(shù)。
所以只需討論 在 上的單調(diào)性,任取 且 ,
則
因?yàn)?,
因?yàn)?為增函數(shù),所以 即 ,
所以 在 上遞減,因?yàn)?為奇函數(shù),所以 在 上也遞減
點(diǎn)評(píng):對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性討論的處理。
討論練習(xí)1:判斷函數(shù) ( ≠0)在區(qū)間(-1,1)上的單調(diào)性。
解:設(shè) , 則
- = ,
∵ , , , , ∴ >0,
∴ 當(dāng) 時(shí), , 函數(shù) 在(-1, 1)上為減函數(shù),
當(dāng) 時(shí), , 函數(shù) 在(-1, 1)上為增函數(shù).
方法二、導(dǎo)數(shù)法:
∴ 當(dāng) 時(shí), , 函數(shù) 在(-1, 1)上為減函數(shù),
當(dāng) 時(shí), , 函數(shù) 在(-1, 1)上為增函數(shù).
點(diǎn)評(píng):解單調(diào)性大題時(shí)只有兩種合法方法:定義法和導(dǎo)數(shù)法。
例3、函數(shù) 的圖象如圖所示:則 的單調(diào)減區(qū)間是( )
解:令 ,則 在 和 上為遞增,所以在 和 由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)則知, 為遞減,故選C
例4、(1)已知 是R上的減函數(shù),那么 的取值范圍是( )
解: 在 遞減, , 時(shí) 。故選C
(2)函數(shù) 在 上的最大值與最小值的和為 ,則 .
解:無論 和 , 與 同增減,所以最大值與最小值的和一定是
4、單調(diào)性的應(yīng)用
例5、已知函數(shù) 是定義在R上的偶函數(shù),且在 上是增函數(shù),令 ,則( )
解:
,
所以, ,故選A
5、綜合問題
例6、 定義在R上的函數(shù)y=f(x),f(0)≠0,當(dāng)x>0時(shí),f(x)>1,且對(duì)任意的a、b∈R,有f(a+b)=f(a)?f(b).
(1)求證:f(0)=1;
(2)求證:對(duì)任意的x∈R,恒有f(x)>0;
(3)求證:f(x)是R上的增函數(shù);
(4)若f(x)?f(2x-x2)>1,求x的取值范圍.
解:(1)證明:令a=b=0,則f(0)=f 2(0).又f(0)≠0,∴f(0)=1.
(2)證明:當(dāng)x<0時(shí),-x>0,∴f(0)=f(x)?f(-x)=1.
∴f(-x)= >0.又x≥0時(shí)f(x)≥1>0,∴x∈R時(shí),恒有f(x)>0.
(3)證明:設(shè)x1<x2,則x2-x1>0.∴f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)?f(x1).
∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.又f(x1)>0,∴f(x2-x1)?f(x1)>f(x1).
∴f(x2)>f(x1).∴f(x)是R上的增函數(shù).
(4)解:由f(x)?f(2x-x2)>1,f(0)=1得f(3x-x2)>f(0).又f(x)是R上的增函數(shù),∴3x-x2>0.∴0<x<3.
評(píng)述:解本題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用題目條件,尤其是(3)中“f(x2)=f[(x2-x1)+x1]”是證明單調(diào)性的關(guān)鍵,這里體現(xiàn)了向條件化歸的策略.
三、課堂小結(jié):
四、課后作業(yè):
1.討論函數(shù)f(x)=x+ (a>0)的單調(diào)性.?
解 方法一 顯然f(x)為奇函數(shù),所以先討論函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性,設(shè)x1>x2>0,則?
f(x1)-f(x2) =(x1+ )-(x2+ )=(x1-x2)?(1- ).
∴當(dāng)0<x2<x1≤ 時(shí), >1,?
則f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在(0, ]上是減函數(shù).?
當(dāng)x1>x2≥ 時(shí),0< <1,則f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),?
故f(x)在[ ,+∞)上是增函數(shù).∵f(x)是奇函數(shù),?
∴f(x)分別在(-∞,- ]、[ ,+∞)上為增函數(shù);?
f(x)分別在[- ,0)、(0, ]上為減函數(shù).?
方法二 由f ′(x)=1- =0可得x=±
當(dāng)x> 時(shí)或x<- 時(shí),f ′(x)>0,∴f(x)分別在( ,+∞)、(-∞,- ]上是增函數(shù).?
同理0<x< 或- <x<0時(shí),f′(x)<0?
即f(x)分別在(0, ]、[- ,0)上是減函數(shù).
2.求函數(shù)y= (4x-x2)的單調(diào)區(qū)間.?
解 由4x-x2>0,得函數(shù)的定義域是(0,4).令t=4x-x2,則y= t.?
∵t=4x-x2=-(x-2)2+4,∴t=4x-x2的單調(diào)減區(qū)間是[2,4),增區(qū)間是(0,2].?
又y= t在(0,+∞)上是減函數(shù),
∴函數(shù)y= (4x-x2)的單調(diào)減區(qū)間是(0,2],單調(diào)增區(qū)間是[2,4).
3.定義在R上的函數(shù)y=f(x),對(duì)任意的x、y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y), 當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0,f(1)= .
(1)判斷f(x)在R上的單調(diào)性;
(2)求f(x)在[-3,3]上的最值。
解:(1)令
設(shè)任意的 且 ,
所以f(x)是在R上的減函數(shù)
(2)
本文來自:逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaosan/70951.html
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