三角函數(shù)的性質(zhì)及其變換
多年，三角函數(shù)試題在全國高考中的題量及其分?jǐn)?shù)都沒有較大的變動，每年的分?jǐn)?shù)一般在二十分左右。試題難度都為中低檔題。主要考察的內(nèi)容有：三角函數(shù)的定義和基本關(guān)系式.
關(guān)于今后幾年全國高考對三角函數(shù)的命題趨向，我們認(rèn)為：
1.試題數(shù)量及其分?jǐn)?shù)在試卷中所占比例將基本保持穩(wěn)定。
2.所有試題都是中低檔難度試題，而解答題的難度還將略有下降，原因有三個：一是需用時將列出有關(guān)公式，這實際上是對解題的關(guān)鍵步驟給出了提示；二是“簡單的三角方程”已經(jīng)改為不作高考要求的選學(xué)內(nèi)容，因而需用解簡單的三角不等式的試題將會更加簡單；三是新的大綱中規(guī)定刪去了“三角函數(shù)中較復(fù)雜得恒等變形”，因此，即使在新大綱實施之前，高考命題也會受到它的影響。
3.涉及積化和差與和差化積公式的試題在三角試題中的比例將會明顯下降，而同時涉及這兩組公式的試題已幾乎不可能再出現(xiàn)，因此這兩組公式已不再是高考的熱點。
4.倍角公式的變形——半角公式、升冪公式與降冪公式考查的可能性較大，掌握這幾個公式對解決一些相對復(fù)雜的三角變換有好處.
即：sin2α＝ ，……
5.由于解斜三角形需要較多的應(yīng)用平面幾何知識，因而今后幾年涉及這一類中的高考題，仍將會像1998年的三角解答題那樣，僅限于簡單的應(yīng)用正弦定理和余弦定理。另外，這兩個定理也很可能在解答幾何或結(jié)合實際的應(yīng)用題中使用。由于2000年的三角解答題的難度已經(jīng)“略有下降”，因此，今后幾年此類試題的難度也將“基本保持穩(wěn)定”。
在本講的復(fù)習(xí)中，我們將注意以下幾點：
1.以小題為主，中低檔題為主，并注重三角函數(shù)與其他知識的交匯點處的習(xí)題
2.適當(dāng)增大復(fù)習(xí)題中的求值與求范圍的題目的比例
3.對正、余弦定理的應(yīng)用力求熟練，并避免繁雜的近似計算
本講分三個部分：第一部分是三角函數(shù)的變換，第二部分是三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，第三部分是三角形中的三角函數(shù)問題，主要是正弦定理和余弦定理的應(yīng)用
第一部分
例1.已知sinθcosθ＝ ，且 ，那么cosθ－sinθ的值為
A. B. C.－ D.－
分析:由于 ，所以cosθ＜sinθ,于是cosθ－sinθ＝－ ,選D
例2.若tanθ＝－2，則 ＝______________
提示：將分子中的2θ化為單角，分母中的1用sin2θ＋cos2θ替換，然后分子分母同除以cos2θ即可。結(jié)論為
例3.化簡 (0＜α＜π)
提示：將分子分母全部化為 的表達(dá)式，然后注意0＜ ,即可得結(jié)論：cosα
例4.求tan9°＋cot117°－tan243°－cot351°的值
解：原式＝tan9°－tan27°－cot27°＋cot9°
＝(tan9°＋cot9°)－(tan27°＋cot27°)

例5.已知α、β∈(0，π)且tan(α－β)＝ ，tanβ＝－ ，求2α－β的值
解：∵ α＝(α－β)＋β
∴ tanα＝tan[(α－β)＋β]＝
∴ tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)] ＝ ＝1
又∵ β∈(0,π),且tanβ＝－ ＜0,∴ β∈( ,π),同理可得α∈(0, )
∴ －π＜2α－β＜0
于是 2α－β＝－
例6.已知θ∈(0， )，sinθ－cosθ＝ ，求 的值
解：由已知得：sin2θ＝ ，且2θ∈( ,π)
∴ cos2θ＝－ , tanθ＝ ＝2,帶入所求式
∴
練習(xí)一
一、選擇題
1.若cos2α＝－ ，且α∈[ ，π]，則sinα＝
A. B. C. D.
提示：注意α是鈍角，所以sinα＞0,由半角公式可得：sinα＝ ，選A
2.已知tan159°＝m，則sin2001°＝
A. B. C.－ D.－
解：由已知得tan21°＝－tan159°＝－m
2001°＝－sin21°＝－tan21°cos21°＝－ .選B
3.已知180°＜α＜270°，且sin(270°＋α)＝ ，則tan ＝
A.3B.2C.－2D.－3
解：由已知cosα＝－ ,而180°＜α＜270°，∴ sinα＝－
∴ tan ＝－3.選D
4.已知tan(α＋β)＝ ，tan(α－ ，那么tan(β＋ )＝
A. B. C. D.
提示：注意到β＋ ＝(α＋β)—(α－ )，則直接使用正切差角公式即可得結(jié)論 .選B
5.若sinα＋sinβ＝ (cosβ－cosα)，α、β∈(0，π)，則α－β的值為
A.－ πB.－ C. D. π
解：已知等式兩邊和差化積得：2sin
∵ 0＜α＋β＜2π,∴ sin ≠0,于是tan
又注意到cosβ－cosα＞0，∴ β＜α,且β－α∈(－π,π)
∴ ,α－β＝ . 選D
6.已知α∈(0， )，lg(1－sinα)＝m，lg ＝n，則lgcosα＝
A.m－nB.m＋ C. (m－n)D. (m＋ )
解：lgcosα＝lg [lg(1－sinα)＋lg(1＋sinα)]＝ (m－n).選C
二、填空題
7.若(sinθ＋cosθ)2＝2x＋2－x，θ∈(0， )，則tanθ＝_______________
解：由三角函數(shù)定義(sinθ＋cosθ)2≤2，而由基本不等式2x＋2－x≥2
于是只有(sinθ＋cosθ)2＝2.由此推得銳角α＝
8.已知sinθ＋cosθ＝ ，則sin3θ＋cos3θ＝_______________
解：已知等式平方可得sinθcosθ＝－
于是：sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(1－sinθcosθ)＝
9. ＝____________________
解：原式＝
10.f(x)＝2tanx－ ，則f( )＝________________
解：化簡f(x)＝2(tanx＋ )，利用半角公式計算可得tan ＝2－
∴ ＝2＋
∴ f( )＝8
三、解答題
11.已知tan ，求cos(α－ )的值
解：cos(α－ )＝ cosα＋ sinα
∵ tan
由萬能公式可得sinα＝－4/5 cosα＝3/5
∴ cos(α－ )＝
12.求 [2cos40°＋sin10°(1＋ tan10°)]的值
解：原式＝ cos10°(2cos40°＋sin10° )
＝2 [cos10°cos40°＋sin10°( cos10°＋ sin10°)]
＝2 (cos10°cos40°＋sin10°sin40°)＝2 cos30°＝
13.已知cos(α－ )＝－ ，sin( －β)＝ ，且 ＜α＜2π， ＜β＜π，求cos(α＋β)的值
解：∵ (α－ )－( －β)＝
＜α＜2π， ＜β＜π，
∴ α＜α－
又cos(α－ )＝－ ，sin( －β)＝ ，
∴ sin(α－ )＝－ ，cos( －β)＝
cos ＝cos[(α－ )－( －β)]＝……＝
14.若tanα＝2log3x，tanβ＝3log x，且α－β＝ ，求x
解：∵ α－β＝ ，∴ tan(α－β)＝1
又tan(α－β)＝ ＝1
∴ 6log x＋5log3x－1＝0
 x＝ 或x＝
已知sinα＋sinβ＝sin165°，cosα＋cosβ＝cos165°，求cos(α－β)及cos(α＋β)的值
解：已知兩式平方相加得2＋2cos(α－β)＝1，即cos(α－β)＝－
已知兩式平方相減得cos2α＋cos2β＋2cos(α＋β)＝cos330°
∴ 2cos(α＋β)cos(α－β)＋3cos(α＋β)＝cos30°
∴ 2cos(α＋β)(－ )＋2cos(α＋β)＝
∴ cos(α＋β)＝



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