題型五 立體幾何中的空間角問題(推薦時(shí)間:30分鐘)1.如圖所示,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD為等邊三角形,AD=DE=2AB,F(xiàn)為CD的中點(diǎn).(1)求證:AF∥平面BCE;(2)求證:平面BCE⊥平面CDE;(3)求直線BF和平面BCE所成角的正弦值.
2.(2011•湖南)如圖,在圓錐PO中,已知PO=2,⊙O的直徑AB=2,C是 的中點(diǎn),D為AC的中點(diǎn).(1)證明:平面POD⊥平面PAC;(2)求二面角B—PA—C的余弦值.
答 案1.(1)證明 設(shè)AD=DE=2AB=2a,以A為原點(diǎn),AC為x軸,AB為z軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz,則A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a),D(a,3a,0),E(a,3a,2a).因?yàn)镕為CD的中點(diǎn),所以F32a,32a,0.AF→=32a,32a,0,BE→=(a,3a,a),BC→=(2a,0,-a).因?yàn)锳F→=12(BE→+BC→),AF⊄平面BCE,所以AF∥平面BCE.(2)證明 因?yàn)锳F→=32a,32a,0,CD→=(-a,3a,0),ED→=(0,0,-2a),故AF→•CD→=0,AF→•ED→=0,所以AF→⊥CD→,AF→⊥ED→.所以AF→⊥平面CDE.又AF∥平面BCE,所以平面BCE⊥平面CDE.(3)解 設(shè)平面BCE的法向量為n=(x,y,z).由n•BE→=0,n•BC→=0,可得x+3y+z=0,2x-z=0,取n=(1,-3,2).又BF→=32a,32a,-a,設(shè)BF和平面BCE所成的角為θ,則sin θ=BF→•nBF→n=2a2a•22=24.所以直線BF和平面BCE所成角的正弦值為24.2.方法一 (1)證明 如圖,連結(jié)OC,因?yàn)镺A=OC,D是AC的中點(diǎn),所以AC⊥OD.又PO⊥底面⊙O,AC⊂底面⊙O,所以AC⊥PO.因?yàn)镺D,PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線,所以AC⊥平面POD,而AC⊂平面PAC,所以平面POD⊥平面PAC.(2)解 在平面POD中,過O作OH⊥PD于H,由(1)知,平面POD⊥平面PAC,所以O(shè)H⊥平面PAC.又PA⊂平面PAC,所以PA⊥OH.在平面PAO中,過O作OG⊥PA于G,連結(jié)HG,則有PA⊥平面OGH,從而PA⊥HG,故∠OGH為二面角B—PA—C的平面角.在Rt△ODA中,OD=OA•sin 45°=22.在Rt△POD中,OH=PO•ODPO2+OD2=2×222+12=105.在Rt△POA中,OG=PO•OAPO2+OA2=2×12+1=63.在Rt△OHG中,sin∠OGH=OHOG=10563=155.所以cos∠OGH=1-sin2∠OGH=1-1525=105.故二面角B—PA—C的余弦值為105.方法二 (1)證明 如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OC,OP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D-12,12,0.設(shè)n1=(x1,y1,z1)是平面POD的一個(gè)法向量,則由n1•OD→=0,n•OP→=0,得-12x1+12y1=0,2z1=0.所以z1=0,x1=y(tǒng)1.取y1=1,得n1=(1,1,0).設(shè)n2=(x2,y2,z2)是平面PAC的一個(gè)法向量,則由n2•PA→=0,n2•PC→=0,得-x2-2z2=0,y2-2z2=0.所以x2=-2z2,y2=2z2.取z2=1,得n2=(-2,2,1).因?yàn)閚1•n2=(1,1,0)•(-2,2,1)=0,所以n1⊥n2.從而平面POD⊥平面PAC.(2)解 因?yàn)閥軸⊥平面PAB,所以平面PAB的一個(gè)法向量為n3=(0,1,0).由(1)知,平面PAC的一個(gè)法向量為n2=(-2,2,1).設(shè)向量n2和n3的夾角為θ,則cos θ=n2•n3n2•n3=25=105.由圖可知,二面角B—PA—C的平面角與θ相等,所以二面角B—PA—C的余弦值為105.
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