第三模塊　不等式推理與證明綜合檢測
(時(shí)間120分鐘，滿分150分)
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1.(2009•廣東模擬)已知條p：x≤1，條q：1x<1，則q是非p成立的(　　)
A．充分不必要條
B．必要不充分條
C．充要條
D．既不充分也不必要條
解析：由1x<1，得x>1或x<0，
∴q：x>1或x<0，而非p：x>1.
∴q是非p的必要不充分條．
答案：B
2．a(chǎn)，b是不相等的正數(shù)，則(　　)
A.a2＋b22<ab<a＋b2
B.a＋b2<ab< a2＋b22
C.ab<a＋b2< a2＋b22
D.ab<a2＋b22<a＋b2
解析：用特殊值法或分析法可知，C正確．
答案：C
3．下列命題正確的是(　　)
A．當(dāng)x>0且x≠1時(shí)，lgx＋1lgx≥2
B．當(dāng)x>0時(shí)，x＋1x≥2
C．當(dāng)x≥2時(shí)，x＋1x的最大值為2.
D．當(dāng)x∈(0,2]時(shí)，x－1x無最大值
解析：A錯，當(dāng)0<x<1時(shí)，lgx<0；C錯，當(dāng)x＝2時(shí)，最小值為52；D錯，當(dāng)x＝2時(shí)，有最大值32.
答案：B
4．設(shè)不全等的xi∈(0，＋∞)(i＝1,2，…，n)，則在n個(gè)數(shù)x1＋1x2，x2＋1x3，…，xn－1＋1xn，xn＋1x1中(　　)
A．都不大于2
B．都不小于2
C．至多有n－1個(gè)大于等于2
D．至多有n－1個(gè)小于等于2
解析：假設(shè)這n個(gè)數(shù)都不大于2，用反證法會推出矛盾．
答案：D
5．當(dāng)log2a>1時(shí)，不等式x2－(a＋2)x＋2a>0的解集為(　　)
A．{xx<a或x>2}　　　　B．{xx<2或x>a}
C．{x0<x<2} D．{x2<x<a}
解析：∵log2a>1，∴a>2，x2－(a＋2)x＋2a>0，⇔(x－a)(x－2)>0，∴x<2或x>a.
答案：B
6．如果f(x)＝mx2＋(m－1)x＋1在區(qū)間(－∞，1]上是減函數(shù)，則m的取值范圍是(　　)
A．(0，13] B．[0，13)
C．[0，13] D．(0，13)
解析：當(dāng)m＝0時(shí)，f(x)＝－x＋1，適合題意．
當(dāng)m≠0時(shí)，若f(x)在(－∞，1)上為減函數(shù)．
則 ⇒0<m≤13.
綜上知0≤m≤13.
答案：C
7．若不等式x2＋ax＋b<0的解集為{x1<x<2}，則不等式x2＋ax＋bx2－5x－6>0的解集為(　　)
A．{xx<－1或1<x<2或x>6}
B．{xx<－1或2<x<6}
C．{xx<－1或x>6}
D．{x－1<x<2}
解析：方程x2＋ax＋b＝0的兩根為1和2，
方程x2－5x－6＝0的兩根為－1和6.
如圖所示：

不等式的解集為{xx<－1或1<x<2或x>6}
答案：A
8.(2009•北京海淀)在直角坐標(biāo)系由不等式組 所表示的平面區(qū)域(用陰影表示)是(　　)

解析：驗(yàn)證點(diǎn)(0,1)在區(qū)域內(nèi)，知A、D不對，再取點(diǎn)(0，－1)不在區(qū)域內(nèi)，知B不對．
答案：C
9.(2009•廣東廣州)在平面內(nèi)有n(n∈N*，n≥3)條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點(diǎn)，若這n條直線把平面分成f(n)個(gè)平面區(qū)域，則f(6)等于(　　)
A．19 B．22C．24 D．32
解析：f(3)＝7，f(4)＝7＋4＝11，f(5)＝11＋5＝16，f(6)＝16＋6＝22.
答案：B
10．m＝a＋a＋5，n＝a＋2＋a＋3，a≥0，則有(　　)
A．m<n B．m＝n
C．m>n D．m，n大小不確定
解析：∵a≥0，∴m>0，n>0.
又m2＝2a＋5＋2a2＋5a，
n2＝2a＋5＋2a2＋5a＋6，
∵a2＋5a<a2＋5a＋6，
∴m2<n2，∴m<n.
答案：A
11．若x，y∈R，且2x2＋y2＝6x，則x2＋y2＋2x的最大值為(　　)
A．14 B．15C.16 D．17
解析：∵2x2＋y2＝6x，
∴y2＝6x－2x2＝2x(3－x)≥0，
∴0≤x≤3.
∴x2＋y2＋2x＝x2＋6x－2x2＋2x＝－x2＋8x
＝－(x－4)2＋16.
∴當(dāng)x＝3時(shí)，有最大值15.
答案：B
12．平面內(nèi)平行于同一直線的兩條直線平行，由類比推理可以得到(　　)
A．空間中平行同一直線的兩直線平行
B．空間中平行于同一平面的兩直線平行
C．空間中平行同一直線的兩平面平行
D．空間中平行于同一平面的兩平面平行
解析：平面與空間、直線與平面類比．
答案：D
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．
13.(2009•廣東模擬)用錘子以均勻的力敲擊鐵釘進(jìn)入木板．隨著鐵釘?shù)纳钊�，鐵釘所受的阻力會越越大，使得每次釘入木板的釘子長度為前一次的1k(k∈N*)．已知一個(gè)鐵釘受擊3次后全部進(jìn)入木板，且第一次受擊后進(jìn)入木板部分的鐵釘長度是釘長的47，請從這實(shí)事中提煉出一個(gè)不等式組是________．
答案：
14.(2009•臨沂模擬)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x2<x<4}，則不等式cx2＋bx＋a<0的解集為____．
解析：由題意： ⇒
∴cx2＋bx＋a<0可化為x2＋bcx＋ac>0，即x2－34x＋18>0，
解得{xx>12或x<14}．
答案：{xx>12或x<14}．
15.(2009•北京高考)若實(shí)數(shù)x，y滿足 ，則s＝y(tǒng)－x的最小值為________．

解析：畫出可行域，如圖所示．
由題知，點(diǎn)(x，y)落在右圖三角形ABC區(qū)域內(nèi)(包括邊界)，C(4，－2)，當(dāng)直線s＝y(tǒng)－x過點(diǎn)C時(shí)，s最小，最小值為－6.
答案：－6
16.(2009•江蘇調(diào)研)已知0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2，a1≠b1，則關(guān)于三個(gè)數(shù)：a1b1＋a2b2；a1b2＋a2b1；a1a2＋b1b2的大小關(guān)系說法如下：
①a1b1＋a2b2最大；②a1b2＋a2b1最��；③a1a2＋b1b2最小；④a1b2＋a2b1與a1a2＋b1b2大小不能確定，其中正確的有________(將你認(rèn)為正確說法前面的序號填上)．
解析：∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)>0，
∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
∵(a1b2＋a2b1)－(a1a2＋b1b2)
＝(a1－b1)(b2－a2)＝(a1－b1)2>0，
∴a1b2＋a2b1>a1a2＋b1b2.
答案：①③
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出字說明、證明過程或演算步驟．
17．(10分)設(shè)a>b>0，分別用分析法、綜合法證明：
a2－b2a2＋b2>a－ba＋b.
證明：(分析法)要證a2－b2a2＋b2>a－ba＋b，∵a>b>0，∴只要證a＋ba2＋b2>1a＋b，
即證(a＋b)2>a2＋b2，
即證2ab>0.
該不等式顯然成立，故原不等式成立．
(綜合法)∵a>b>0，∴2ab>0.
∴a2＋b2＋2ab>a2＋b2，
∴(a＋b)2>a2＋b2，
∴a＋ba2＋b2>1a＋b
又a－b>0，
∴a2－b2a2＋b2>a－ba＋b.
18．(12分)對于a>b>0，請依據(jù)a2＋b2>ab＋ab；a3＋b3>a2b＋ab2；a4＋b4>a3b＋ab3歸納出an＋bn(n為正整數(shù))滿足的不等式，并給予證明．
解：由已知可歸納出an＋bn>an－1b＋abn－1.
證明如下：∵a>b>0，∴a－b>0，an－1－bn－1>0
∴an＋bn－(an－1b＋abn－1)
＝an－1(a－b)＋bn－1(b－a)
＝(a－b)(an－1－bn－1)>0.
∴an＋bn>an－1b＋abn－1(n為正整數(shù))．
19．(12分)已知a>1，命題p：a(x－2)＋1>0，命題q：(x－1)2>a(x－2)＋1，若命題p與q同時(shí)成立，求x的取值范圍．
解：依題意得 ，
∵a>1，∴ .
①當(dāng)1<a<2時(shí)，則有 ，
而a－(2－1a)＝a＋1a－2>0，
∴a>2－1a，∴2－1a<x<a或x>2.
②當(dāng)a＝2時(shí)，則x>32且x≠2.
③當(dāng)a>2時(shí)，則 .
∴x>a，或2－1a<x<2.
綜上知，當(dāng)1<a<2時(shí)，x的取值范圍是
(2－1a，a)∪(2，＋∞)；當(dāng)a＝2時(shí)，x的取值范圍是(32，2)∪(2，＋∞)；當(dāng)a>2時(shí)，x的取值范圍是(2－1a，2)∪(a，＋∞)．
20．(12分)一種計(jì)算裝置，有一個(gè)數(shù)據(jù)入口A和一個(gè)運(yùn)算出口B，按照某個(gè)運(yùn)算程序：①當(dāng)從A口輸入自然數(shù)1時(shí)，從B口得到13，記為f(1)＝13；②當(dāng)從A口輸入自然數(shù)n(n≥2)時(shí)，在B口得到的結(jié)果f(n)是前一個(gè)結(jié)果f(n－1)的2(n－1)－12(n－1)＋3倍．
試問：當(dāng)從A口分別自然數(shù)2,3,4時(shí)，從B口分別得到什么數(shù)？試猜想f(n)的關(guān)系式．
解：由已知得f(n)＝2n－32n＋1f(n－1)(n≥2，n∈N*)．
當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝4－34＋1f(1)＝15×13＝115，
同理可求得f(3)＝135，f(4)＝163，
猜想f(n)＝1(2n－1)(2n＋1).
21．(12分)某個(gè)體戶經(jīng)銷A、B兩種商品，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，當(dāng)投資額為x(x≥0)萬元時(shí)，經(jīng)銷A、B商品中所獲得的收益分別為f(x)萬元與g(x)萬元，其中f(x)＝x＋1；
g(x)＝ ，如果該個(gè)體戶準(zhǔn)備投入5萬元經(jīng)營這兩種商品，請幫他制定一個(gè)資金投入方案，使他能獲得最大收益，并求出其最大收益．
解：設(shè)投入B商品的資金為x萬元(0≤x≤5)，則投A商品的資金為5－x萬元，并設(shè)所獲得的收入為S(x)萬元．
(1)當(dāng)0≤x≤3時(shí)，f(x)＝6－x，
g(x)＝10x＋1x＋1，S(x)＝6－x＋10x＋1x＋1
＝17－[(x＋1)＋9x＋1]≤17－6＝11，
當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝9x＋1，即x＝2時(shí)取“＝”號．
(2)當(dāng)3<x≤5時(shí)，f(x)＝6－x，
g(x)＝－x2＋9x－12.
S(x)＝6－x－x2＋9x－12
＝－x2＋8x－6＝－(x－4)2＋10≤10，此時(shí)x＝4.
∵10<11，∴最大收益為11萬元．
答：該個(gè)體戶可對A商品投入3萬元，對B商品投入2萬元，這樣可以獲得11萬元的最大收益．
22．(12分)解關(guān)于x的不等式kx2＋(2k－1)x＋k－2<0.
解：(1)當(dāng)k＝0時(shí)，不等式的解集為{xx>－2}．
(2)當(dāng)k>0時(shí)，Δ＝4k＋1>0，不等式的解集為
{x1－2k－4k＋12k<x<1－2k＋4k＋12k}
(3)當(dāng)k<0時(shí)，Δ＝4k＋1，不等式可化為－kx2＋(1－2k)x＋2－k>0.
① ，即－14<k<0時(shí)，不等式的解集為
{xx>1－2k－4k＋12k或x<1－2k＋4k＋12k}
② ，即k＝－14時(shí)，不等式的解集為{xx≠－3，x∈R}
③ 即k<－14時(shí)，不等式的解集為R.
綜上所述：k＝0時(shí)，解集為(－2，＋∞)；
k>0時(shí)，解集為(1－2k－4k＋12k，1－2k＋4k＋12k)；
－14<k<0時(shí)，解集為(－∞，1－2k＋4k＋12k)∪(1－2k－4k＋12k，＋∞)；k＝－14時(shí)，解集為
(－∞，－3)∪(－3，＋∞)；k<－14時(shí)，解集為R.


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