6.5 不等式的解法(二)
●知識梳理1.x>a x>a或x<-a(a>0);x<a -a<x<a(a>0).2.形如x-a+x-b≥c的不等式的求解通常采用“零點(diǎn)分段討論法”.3.含參不等式的求解,通常對參數(shù)分類討論.4.絕對值不等式的性質(zhì):a-b≤a±b≤a+b.思考討論1.在x>a x>a或x<-a(a>0)、x<a -a<x<a(a>0)中的a>0改為a∈R還成立嗎?2.絕對值不等式的性質(zhì)中等號成立的條是什么?●點(diǎn)擊雙基1.設(shè)a、b是滿足ab<0的實(shí)數(shù),那么A.a+b>a-bB.a+b<a-bC.a-b<a-bD.a-b<a+b解析:用賦值法.令a=1,b=-1,代入檢驗(yàn).答案:B2.不等式2x2-1≤1的解集為A.{x-1≤x≤1}B.{x-2≤x≤2}C.{x0≤x≤2}D.{x-2≤x≤0}解析:由2x2-1≤1得-1≤2x2-1≤1.∴0≤x2≤1,即-1≤x≤1.答案:A3.不等式x+log3x<x+log3x的解集為A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,+∞)解析:∵x>0,x與log3x異號,∴l(xiāng)og3x<0.∴0<x<1.答案:A4.已知不等式a≤ 對x取一切負(fù)數(shù)恒成立,則a的取值范圍是____________.解析:要使a≤ 對x取一切負(fù)數(shù)恒成立,令t=x>0,則a≤ .而 ≥ =2 ,∴a≤2 .答案:a≤2 5.已知不等式2x-t+t-1<0的解集為(- , ),則t=____________.解析:2x-t<1-t,t-1<2x-t<1-t,2t-1<2x<1,t- <x< .∴t=0.答案:0●典例剖析【例1】 解不等式2x+1+x-2>4.剖析:解帶絕對值的不等式,需先去絕對值,多個絕對值的不等式必須利用零點(diǎn)分段法去絕對值求解.令2x+1=0,x-2=0,得兩個零點(diǎn)x1=- ,x2=2.解:當(dāng)x≤- 時,原不等式可化為-2x-1+2-x>4,∴x<-1.當(dāng)- <x≤2時,原不等式可化為2x+1+2-x>4,∴x>1.又- <x≤2,∴1<x≤2.當(dāng)x>2時,原不等式可化為2x+1+x-2>4,∴x> .又x>2,∴x>2.綜上,得原不等式的解集為{xx<-1或1<x}.深化拓展若此題再多一個含絕對值式子.如:2x+1+x-2+x-1>4,你又如何去解?分析:令2x+1=0,x-2=0,x-1=0,得x1=- ,x2=1,x3=2.解:當(dāng)x≤- 時,原不等式化為-2x-1+2-x+1-x>4,∴x<- .當(dāng)- <x≤1時,原不等式可化為2x+1+2-x+1-x>4,4>4(矛盾).當(dāng)1<x≤2時,原不等式可化為2x+1+2-x+x-1>4,∴x>1.又1<x≤2,∴1<x≤2.當(dāng)x>2時,原不等式可化為2x+1+x-2+x-1>4,∴x> .又x>2,∴x>2.綜上所述,原不等式的解集為{xx<- 或x>1}.【例2】 解不等式|x2-9|≤x+3.剖析:需先去絕對值,可按定義去絕對值,也可利用x≤a -a≤x≤a去絕對值.解法一:原不等式 (1) 或(2) 不等式(1) x=-3或3≤x≤4;不等式(2) 2≤x<3.∴原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.解法二:原不等式等價于 或x≥2 x=-3或2≤x≤4.∴原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.【例3】 (理)已知函數(shù)f(x)=xx-a(a∈R).(1)判斷f(x)的奇偶性;(2)解關(guān)于x的不等式:f(x)≥2a2.解:(1)當(dāng)a=0時,f(-x)=-x-x=-xx=-f(x),∴f(x)是奇函數(shù).當(dāng)a≠0時,f(a)=0且f(-a)=-2aa.故f(-a)≠f(a)且f(-a)≠-f(a).∴f(x)是非奇非偶函數(shù).(2)由題設(shè)知xx-a≥2a2,∴原不等式等價于 ①或 ②由①得 x∈ .由②得 當(dāng)a=0時,x≥0.當(dāng)a>0時, ∴x≥2a.當(dāng)a<0時, 即x≥-a.綜上a≥0時,f(x)≥2a2的解集為{xx≥2a};a<0時,f(x)≥2a2的解集為{xx≥-a}.()設(shè)函數(shù)f(x)=ax+2,不等式 f(x)<6的解集為(-1,2),試求不等式 ≤1的解集.解:ax+2<6,∴(ax+2)2<36,即a2x2+4ax-32<0.由題設(shè)可得 解得a=-4.∴f(x)=-4x+2.由 ≤1,即 ≤1可得 ≥0.解得x> 或x≤ .∴原不等式的解集為{xx> 或x≤ }.●闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.已知集合A={xa-1≤x≤a+2},B={x3<x<5},則能使A B成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.{a3<a≤4}B.{a3≤a≤4}C.{a3<a<4}D. 解析:由題意知 得3≤a≤4.答案:B2.不等式x2+2x<3的解集為____________.解析:-3<x2+2x<3,即 ∴-3<x<1.答案:-3<x<13.不等式x+2≥x的解集是____________.解法一:x+2≥x (x+2)2≥x2 4x+4≥0 x≥-1.解法二: 在同一直角坐標(biāo)系下作出f(x)=x+2與g(x)=x的圖象,根據(jù)圖象可得x≥-1.解法三:根據(jù)絕對值的幾何意義,不等式x+2≥x表示數(shù)軸上x到-2的距離不小于到0的距離,∴x≥-1.答案:{xx≥-1}評述:本題的三種解法均為解絕對值不等式的基本方法,必須掌握.4.當(dāng)0<a<1時,解關(guān)于x的不等式a <ax-2.解:由0<a<1,原不等式可化為 >x-2.這個不等式的解集是下面不等式組①及②的解集的并集. ①或 ②解不等式組①得解集為{x ≤x<2},解不等式組②得解集為{x2≤x<5},所以原不等式的解集為{x ≤x<5}.5.關(guān)于x的方程3x2-6(m-1)x+m2+1=0的兩實(shí)根為x1、x2,若x1+x2=2,求m的值.解:x1、x2為方程兩實(shí)根,∴Δ=36(m-1)2-12(m2+1)≥0.∴m≥ 或m≤ .又∵x1•x2= >0,∴x1、x2同號.∴x1+x2=x1+x2=2m-1.于是有2m-1=2,∴m=0或2.∴m=0.培養(yǎng)能力6.解不等式 ≤ .解:(1)當(dāng)x2-2<0且x≠0,即當(dāng)- <x< 且x≠0時,原不等式顯然成立.(2)當(dāng)x2-2>0時,原不等式與不等式組 等價.x2-2≥|x|,即|x|2-|x|-2≥0.∴|x|≥2.∴不等式組的解為|x|≥2,即x≤-2或x≥2.∴原不等式的解集為(-∞,-2]∪(- ,0)∪(0, )∪[2,+∞).7.已知函數(shù)f(x)= 的定義域恰為不等式log2(x+3)+log x≤3的解集,且f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:由log2(x+3)+log x≤3得 x≥ ,即f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞).∵f(x)在定義域[ ,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,∴當(dāng)x2>x1≥ 時,f(x1)-f(x2)>0恒成立,即有(ax1- +2)-(ax2- +2)>0 a(x1-x2)-( - )>0(x1-x2)(a+ )>0恒成立.∵x1<x2,∴(x1-x2)(a+ )>0a+ <0.∵x1x2> - >- ,要使a<- 恒成立,則a的取值范圍是a≤- .8.有點(diǎn)難度喲!已知f(x)=x2-x+c定義在區(qū)間[0,1]上,x1、x2∈[0,1],且x1≠x2,求證:(1)f(0)=f(1);(2) f(x2)-f(x1)<x1-x2;(3) f(x1)-f(x2)< ;(4) f(x1)-f(x2)≤ .證明:(1)f(0)=c,f(1)=c,∴f(0)=f(1).(2) f(x2)-f(x1)=x2-x1x2+x1-1.∵0≤x1≤1,∴0≤x2≤1,0<x1+x2<2(x1≠x2).∴-1<x1+x2-1<1.∴ f(x2)-f(x1)<x2-x1.(3)不妨設(shè)x2>x1,由(2)知 f(x2)-f(x1)<x2-x1.①而由f(0)=f(1),從而 f(x2)-f(x1)= f(x2)-f(1)+f(0)-f(x1)≤ f(x2)-f(1)+ f(0)-f(x1)<1-x2+x1<1-x2+x1.②①+②得2 f(x2)-f(x1)<1,即 f(x2)-f(x1)< .(4)f(x2)-f(x1)≤fmax-fmin=f(0)-f( )= .探究創(chuàng)新9.(1)已知a<1,b<1,求證: >1;(2)求實(shí)數(shù)λ的取值范圍,使不等式 >1對滿足a<1,b<1的一切實(shí)數(shù)a、b恒成立;(3)已知a<1,若 <1,求b的取值范圍.(1)證明:1-ab2-a-b2=1+a2b2-a2-b2=(a2-1)(b2-1).∵a<1,b<1,∴a2-1<0,b2-1<0.∴1-ab2-a-b2>0.∴1-ab>a-b,= >1.(2)解:∵ >1 1-abλ2-aλ-b2=(a2λ2-1)(b2-1)>0.∵b2<1,∴a2λ2-1<0對于任意滿足a<1的a恒成立.當(dāng)a=0時,a2λ2-1<0成立;當(dāng)a≠0時,要使λ2< 對于任意滿足a<1的a恒成立,而 >1,∴λ≤1.故-1≤λ≤1.(3) <1 ( )2<1 (a+b)2<(1+ab)2 a2+b2-1-a2b2<0 (a2-1)(b2-1)<0.∵a<1,∴a2<1.∴1-b2>0,即-1<b<1.●思悟小結(jié)1.解含有絕對值的不等式的指導(dǎo)思想是去掉絕對值.常用的方法是:(1)由定義分段討論;(2)利用絕對值不等式的性質(zhì);(3)平方.2.解含參數(shù)的不等式,如果轉(zhuǎn)化不等式的形式或求不等式的解集時與參數(shù)的取值范圍有關(guān),就必須分類討論.注意:(1)要考慮參數(shù)的總?cè)≈捣秶?(2)用同一標(biāo)準(zhǔn)對參數(shù)進(jìn)行劃分,做到不重不漏.●教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1.絕對值是歷年高考的重點(diǎn),而絕對值不等式更是?汲P.在教學(xué)中要從絕對值的定義和幾何意義分析,絕對值的特點(diǎn)是帶有絕對值符號,如何去掉絕對值符號,一定要教給學(xué)生方法,切不可以題論題.2.無理不等式在新程書本并未出現(xiàn),但可以利用不等式的性質(zhì)把其等價轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式.3.指數(shù)、對數(shù)不等式能利用單調(diào)性求解.拓展題例【例1】 設(shè)x1、x2、y1、y2是實(shí)數(shù),且滿足x12+x22≤1,證明不等式(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1).分析:要證原不等式成立,也就是證(x1y1+x2y2-1)2-(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0.證明:(1)當(dāng)x12+x22=1時,原不等式成立.(2)當(dāng)x12+x22<1時,聯(lián)想根的判別式,可構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x12+x22-1)x-2(x1y1+x2y2-1)x+(y12+y22-1),其根的判別式Δ=4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1).由題意x12+x22<1,函數(shù)f(x)的圖象開口向下.又∵f(1)=x12+x22-2x1y1-2x2y2+y12+y22=(x1-y1)2+(x2-y2)2≥0,因此拋物線與x軸必有公共點(diǎn).∴Δ≥0.∴4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0,即(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1).
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