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高三
來源:
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第七教時
教材:不等式證明二(比較法、綜合法)
目的:加強(qiáng)比商法的訓(xùn)練,以期達(dá)到熟練技巧,同時要求學(xué)生初步掌握用綜合法證明不等式。
過程:
一、比較法:
1.復(fù)習(xí):比較法,依據(jù)、步驟
比商法,依據(jù)、步驟、適用題型
2.例一、證明: 在 是增函數(shù)。
證:設(shè)2≤x1
∵x2 ? x1 > 0, x1 + x2 ? 4 > 0 ∴
又∵y1 > 0, ∴y1 > y2 ∴ 在 是增函數(shù)
二、綜合法:
定義:利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì),推導(dǎo)出所要證明的不等式,這個證明方法叫綜合法。
例二、已知a, b, c是不全相等的正數(shù),
求證:a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc
證:∵b2 + c2 ≥ 2bc , a > 0 , ∴a(b2 + c2) ≥ 2abc
同理:b(c2 + a2) ≥ 2abc , c(a2 + b2) ≥ 2abc
∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) ≥ 6abc
當(dāng)且僅當(dāng)b=c,c=a,a=b時取等號,而a, b, c是不全相等的正數(shù)
∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc
例三、設(shè)a, b, c ? R,
1?求證:
2?求證:
3?若a + b = 1, 求證:
證:1?∵ ∴
∴
2?同理: ,
三式相加:
3?由冪平均不等式:
∴
例四、a , b, c?R, 求證:1?
2?
3?
證:1?法一: , , 兩式相乘即得。
法二:左邊
≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9
2?∵
兩式相乘即得
3?由上題:
∴
即:
三、小結(jié):綜合法
四、作業(yè): P15—16 練習(xí) 1,2
P18 習(xí)題6.3 1,2,3
補(bǔ)充:
1.已知a, b?R+且a ? b,求證: (取差)
2.設(shè)??R,x, y?R,求證: (取商)
3.已知a, b?R+,求證:
證:∵a, b?R+ ∴ ∴
∴
∴
∴
∴
4.設(shè)a>0, b>0,且a + b = 1,求證:
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