11.3 相互獨立事件同時發(fā)生的概率

●知識梳理
1.相互獨立事件：事件A是否發(fā)生對事件B發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫相互獨立事件.
2.獨立重復(fù)實驗：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中，這個事件恰好發(fā)生k次的概率為Pn（k）=C pk（1－p）n－k.
3.關(guān)于相互獨立事件也要抓住以下特征加以理解：
第一，相互獨立也是研究兩個事件的關(guān)系；
第二，所研究的兩個事件是在兩次試驗中得到的；
第三，兩個事件相互獨立是從“一個事件的發(fā)生對另一個事件的發(fā)生的概率沒有影響”來確定的.
4.互斥事件與相互獨立事件是有區(qū)別的：
兩事件互斥是指同一次試驗中兩事件不能同時發(fā)生，兩事件相互獨立是指不同試驗下，二者互不影響；兩個相互獨立事件不一定互斥，即可能同時發(fā)生，而互斥事件不可能同時發(fā)生.
5.事件A與B的積記作A?B，A?B表示這樣一個事件，即A與B同時發(fā)生.
當(dāng)A和B是相互獨立事件時，事件A?B滿足乘法公式P（A?B）=P（A）?P（B），還要弄清 ? ， 的區(qū)別. ? 表示事件 與 同時發(fā)生，因此它們的對立事件A與B同時不發(fā)生，也等價于A與B至少有一個發(fā)生的對立事件即 ，因此有 ? ≠ ，但 ? = .
●點擊雙基
1.甲、乙兩人獨立地解同一問題，甲解決這個問題的概率是p1，乙解決這個問題的概率是p2，那么恰好有1人解決這個問題的概率是
A.p1p2B.p1（1－p2）+p2（1－p1）
C.1－p1p2D.1－（1－p1）（1－p2）
解析：恰有一人解決就是甲解決乙沒有解決或甲沒有解決乙解決，故所求概率是p1（1－p2）+p2（1－p1）.
答案：B
2.將一枚硬幣連擲5次，如果出現(xiàn)k次正面的概率等于出現(xiàn)k+1次正面的概率，那么k的值為
A.0B.1C.2D.3
解析：由C （ ）k（ ）5－k=C （ ）k+1?（ ）5－k－1，
即C =C ，k+（k+1）=5，k=2.
答案：C
3.從應(yīng)屆高中生中選出飛行員，已知這批學(xué)生體型合格的概率為 ，視力合格的概率為 ，其他幾項標(biāo)準(zhǔn)合格的概率為 ，從中任選一學(xué)生，則該生三項均合格的概率為（假設(shè)三項標(biāo)準(zhǔn)互不影響）
A. B. C. D.
解析：P= × × = .
答案：C
4.一道數(shù)學(xué)競賽試題，甲生解出它的概率為 ，乙生解出它的概率為 ，丙生解出它的概率為 ，由甲、乙、丙三人獨立解答此題只有一人解出的概率為________.
解析：P= × × + × × + × × = .
答案：
5.一出租車司機(jī)從飯店到火車站途中有六個交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈這一事件是相互獨立的，并且概率都是 .那么這位司機(jī)遇到紅燈前，已經(jīng)通過了兩個交通崗的概率是________.
解析：因為這位司機(jī)在第一、二個交通崗未遇到紅燈，在第三個交通崗遇到紅燈，所以P=（1－ ）（1－ ）× = .
答案：
●典例剖析
【例1】某班有兩個課外活動小組，其中第一小組有足球票6張，排球票4張；第二小組有足球票4張，排球票6張.甲從第一小組的10張票中任抽1張，乙從第二小組的10張票中任抽1張.
（1）兩人都抽到足球票的概率是多少?
（2）兩人中至少有1人抽到足球票的概率是多少?
解：記“甲從第一小組的10張票中任抽1張，抽到足球票”為事件A，“乙從第二小組的10張票中任抽1張，抽到足球票”為事件B；記“甲從第一小組的10張票中任抽1張，抽到排球票”為事件 ，“乙從第二小組的10張票中任抽1張，抽到排球票”為事件 ，
于是P（A）= = ，P（ ）= ；
P（B）= = ，P（ ）= .
由于甲（或乙）是否抽到足球票，對乙（或甲）是否抽到足球票沒有影響，因此A與B是相互獨立事件.
（1）甲、乙兩人都抽到足球票就是事件A?B發(fā)生，根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式，得到P（A?B）=P（A）?P（B）= ? = .
答：兩人都抽到足球票的概率是 .
（2）甲、乙兩人均未抽到足球票（事件 ? 發(fā)生）的概率為
P（ ? ）=P（ ）?P（ ）= ? = .
∴兩人中至少有1人抽到足球票的概率為
P=1－P（ ? ）=1－ = .
答：兩人中至少有1人抽到足球票的概率是 .
【例2】 有外形相同的球分別裝在三個不同的盒子中，每個盒子中有10個球.其中第一個盒子中有7個球標(biāo)有字母A，3個球標(biāo)有字母B；第二個盒子中有紅球和白球各5個；第三個盒子中有紅球8個，白球2個.試驗按如下規(guī)則進(jìn)行：先在第一個盒子中任取一個球，若取得標(biāo)有字母A的球，則在第二個盒子中任取一球；若第一次取得標(biāo)有字母B的球，則在第三個盒子中任取一球.如果第二次取得的球是紅球，則稱試驗成功，求試驗成功的概率.
解：設(shè)事件A：從第一個盒子中取得一個標(biāo)有字母A的球；事件B：從第一個盒子中取得一個標(biāo)有字母B的球，則A、B互斥，且P（A）= ，P（B）= ；事件C：從第二號盒子中取一個紅球，事件D：從第三號盒子中取一個紅球，則C、D互斥，且P（C）= ，P（D）= = .
顯然，事件A?C與事件B?D互斥，且事件A與C是相互獨立的，B與D也是相互獨立的.所以試驗成功的概率為P=P（A?C+B?D）=P（A?C）+P（B?D）=P（A）?P（C）+P（B）?P（D）= .
∴本次試驗成功的概率為 .
【例3】冰箱中放有甲、乙兩種飲料各5瓶，每次飲用時從中任意取1瓶甲種或乙種飲料，取用甲種或乙種飲料的概率相等.
（1）求甲種飲料飲用完畢而乙種飲料還剩下3瓶的概率；
（2）求甲種飲料被飲用瓶數(shù)比乙種飲料被飲用瓶數(shù)至少多4瓶的概率.
解：（1）由題意知，甲種已飲用5瓶，乙種已飲用2瓶.
記“飲用一次，飲用的是甲種飲料”為事件A，
則p=P（A）= .
題（1）即求7次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生5次的概率為P7（5）=C p5（1－p）2=C （ ）7= .
（2）有且僅有3種情形滿足要求：
甲被飲用5瓶，乙被飲用1瓶；甲被飲用5瓶，乙沒有被飲用；甲被飲用4瓶，乙沒有被飲用.
所求概率為P6（5）+P5（5）+P4（4）=C p5（1－p）+C p5+C p4= .
答：甲飲料飲用完畢而乙飲料還剩3瓶的概率為 ，甲飲料被飲用瓶數(shù)比乙飲料被飲用瓶數(shù)至少多4瓶的概率為 .
●闖關(guān)訓(xùn)練
夯實基礎(chǔ)
1.若A與B相互獨立，則下面不相互獨立事件有
A.A與 B.A與 C. 與B D. 與
解析：由定義知，易選A.
答案：A
2.在某段時間內(nèi)，甲地不下雨的概率為0.3，乙地不下雨的概率為0.4，假設(shè)在這段時間內(nèi)兩地是否下雨相互無影響，則這段時間內(nèi)兩地都下雨的概率是
A.0.12 B.0.88C.0.28 D.0.42
解析：P=（1－0.3）（1－0.4）=0.42.
答案：D
3.某學(xué)生參加一次選拔考試，有5道題，每題10分.已知他解題的正確率為 ，若40分為最低分?jǐn)?shù)線，則該生被選中的概率是________.
解析：該生被選中，他解對5題或4題.
∴P=（ ）5+C ×（ ）4×（1－ ）= .
答案：
4.某單位訂閱大眾日報的概率為0.6，訂閱齊魯晚報的概率為0.3，則至少訂閱其中一種報紙的概率為________.
解析：P=1－（1－0.6）（1－0.3）=0.72.
答案：0.72
培養(yǎng)能力
5.在未來3天中，某氣象臺預(yù)報每天天氣的準(zhǔn)確率為0.8，則在未來3天中，
（1）至少有2天預(yù)報準(zhǔn)確的概率是多少？
（2）至少有一個連續(xù)2天預(yù)報都準(zhǔn)確的概率是多少？
解：（1）至少有2天預(yù)報準(zhǔn)確的概率即為恰有2天和恰有3天預(yù)報準(zhǔn)確的概率，即
C ?0.82?0.2+C ?0.83=0.896.
∴至少有2天預(yù)報準(zhǔn)確的概率為0.896.
（2）至少有一個連續(xù)2天預(yù)報準(zhǔn)確，即為恰有一個連續(xù)2天預(yù)報準(zhǔn)確或3天預(yù)報準(zhǔn)確的概率為
2?0.82?0.2+0.83=0.768.
∴至少有一個連續(xù)2天預(yù)報準(zhǔn)確的概率為0.768.
6.（2004年南京模擬題）一個通訊小組有兩套設(shè)備，只要其中有一套設(shè)備能正常工作，就能進(jìn)行通訊.每套設(shè)備由3個部件組成，只要其中有一個部件出故障，這套設(shè)備就不能正常工作.如果在某一時間段內(nèi)每個部件不出故障的概率為p，計算在這一時間段內(nèi)，
（1）恰有一套設(shè)備能正常工作的概率；
（2）能進(jìn)行通訊的概率.
解：記“第一套通訊設(shè)備能正常工作”為事件A，“第二套通訊設(shè)備能正常工作”為事件B.
由題意知P（A）=p3，P（B）=p3，
P（ ）=1－p3，P（ ）=1－p3.
（1）恰有一套設(shè)備能正常工作的概率為P（A? + ?B）=P（A? ）+P（ ?B）
=p3（1－p3）+（1－p3）p3=2p3－2p6.
（2）方法一：兩套設(shè)備都能正常工作的概率為
P（A?B）=P（A）?P（B）=p6.
至少有一套設(shè)備能正常工作的概率，即能進(jìn)行通訊的概率為
P（A? + ?B）+P（A?B）=2p3－2p6+p6=2p3－p6.
方法二：兩套設(shè)備都不能正常工作的概率為
P（ ? ）=P（ ）?P（ ）=（1－p3）2.
至少有一套設(shè)備能正常工作的概率，
即能進(jìn)行通訊的概率為1－P（ ? ）=1－P（ ）?P（ ）=1－（1－p3）2=2p3－p6.
答：恰有一套設(shè)備能正常工作的概率為2p3－2p6，能進(jìn)行通訊的概率為2p3－p6.
7.已知甲袋中有3個白球和4個黑球，乙袋中有5個白球和4個黑球.現(xiàn)從兩袋中各取兩個球，試求取得的4個球中有3個白球和1個黑球的概率.
解：從甲袋中取2個白球，從乙袋中取1個黑球和1個白球的概率為 × = ；
從甲袋中取1個黑球和1個白球，從乙袋中取2個白球的概率為 × = .
所以，取得的4個球中有3個白球和1個黑球的概率為 + = = .
探究創(chuàng)新
8.甲、乙、丙三臺機(jī)床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為 ，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為 ，甲、丙兩臺機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為 .
（1）分別求甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；
（2）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，求至少有一個一等品的概率.
解：（1）設(shè)A、B、C分別為甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件，
由題設(shè)條件有
即
由①③得P（B）=1－ P（C），
代入②得27［P（C）］2－51P（C）+22=0.
解得P（C）= 或 （舍去）.
將P（C）= 分別代入③②可得P（A）= ，P（B）= ，
即甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率分別是 ， ， .
（2）記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗至少有一個一等品的事件，則
P（D）=1－P（ ）=1－［1－P（A）］［1－P（B）］［1－P（C）］=1－ ? ? = .
故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，至少有一個一等品的概率為 .
●思悟小結(jié)
1.應(yīng)用公式時，要注意前提條件，只有對于相互獨立事件A與B來說，才能運用公式P（A?B）=P（A）?P（B）.
2.在學(xué)習(xí)過程中，要善于將較復(fù)雜的事件分解為互斥事件的和及獨立事件的積，或其對立事件.
3.善于將具體問題化為某事件在n次獨立重復(fù)試驗中發(fā)生k次的概率.
●教師下載中心
點睛
1.首先要搞清事件間的關(guān)系（是否彼此互斥、是否互相獨立、是否對立），當(dāng)且僅當(dāng)事件A和事件B互相獨立時，才有P（A?B）=P（A）?P（B）.
2.A、B中至少有一個發(fā)生：A+B.
（1）若A、B互斥：P（A+B）=P（A）+P（B），否則不成立.
（2）若A、B相互獨立（不互斥）.
法一：P（A+B）=P（A?B）+P（A? ）+P（ ?B）；
法二：P（A+B）=1－P（ ? ）；
法三：P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB）.
3.某些事件若含有較多的互斥事件，可考慮其對立事件的概率，這樣可減少運算量，提高正確率.要注意“至多”“至少”等題型的轉(zhuǎn)化，如例1.
4.n次獨立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生k次的概率Pn（k）=C pk（1－p）n－k正好是二項式［（1－p）+p］n的展開式的第k+1項.
拓展題例
【例1】 把n個不同的球隨機(jī)地放入編號為1，2，…，m的m個盒子內(nèi)，求1號盒恰有r個球的概率.
解法一：用獨立重復(fù)試驗的概率公式.把1個球放入m個不同的盒子內(nèi)看成一次獨立試驗，其中放入1號盒的概率為P= .這樣n個球放入m個不同的盒子內(nèi)相當(dāng)于做n次獨立重復(fù)試驗.由獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率公式知，1號盒恰有r個球的概率
Pn（r）=C pr（1－p）n－r=C ?（ ）r?（1－ ）n－r= .
解法二：用古典概型.把n個不同的球任意放入m個不同的盒子內(nèi)共有mn個等可能的結(jié)果.其中1號盒內(nèi)恰有r個球的結(jié)果數(shù)為C （m－1）n－r，故所求概率P（A）= .
答：1號盒恰有r個球的概率為 .
【例2】 假設(shè)每一架飛機(jī)引擎在飛行中故障率為1－P，且各引擎是否故障是獨立的，如果至少50%的引擎能正常運行，飛機(jī)就可以成功地飛行，問對于多大的P而言，4引擎飛機(jī)比2引擎的飛機(jī)更為安全？
分析：4引擎飛機(jī)可以看作4次獨立重復(fù)試驗，要能正常運行，即求發(fā)生k次（k≥2）的概率.同理，2引擎飛機(jī)正常運行的概率即是2次獨立重復(fù)試驗中發(fā)生k次（k≥1）的概率，由此建立不等式求解.
解：4引擎飛機(jī)成功飛行的概率為
C P2（1－P）2+C P3（1－P）+C P4=6P2（1－P）2+4P3（1－P）+P4.
2引擎飛機(jī)成功飛行的概率為C P（1－P）+C P2=2P（1－P）+P2.
要使4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)安全，只要6P2（1－P）2+4P3（1－P）+P4≥2P（1－P）+P2.
化簡，分解因式得（P－1）2（3P－2）≥0.
所以3P－2≥0，
即得P≥ .

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