2012屆高考數(shù)學二輪復習

專題十二 高考中的解答題的解題策略
【重點知識回顧】
解答題可分為低檔題、中檔題和高檔題三個檔次，低檔題主要考查基礎知識和基本方法與技能，中檔題還要考查數(shù)學思想方法和運算能力、思維能力、整合與轉化能力、空間想象能力，高檔題還要考查靈活運用數(shù)學知識的能力及分析問題和解決問題的能力．
解答題的解題步驟
1.分析條件，弄清問題
2.規(guī)范表達，實施計劃
3.演算結果，回顧反思
解答題的解題策略
1.從條件入手――分析條件，化繁為簡，注重隱含條件的挖掘；
2.從結論入手――執(zhí)果索因，搭好聯(lián)系條件的橋梁；．
3.回到定義和圖形中來；
4.換一個角度去思考；
5優(yōu)先作圖觀察分析，注意挖掘隱含條件；
6.注重通性通法，強化得分點。

【典型例題】
1.從定義信息入手
定義信息型題是近幾年來高考出現(xiàn)頻率較高的新題型之一，其命題特點是：給出一個新的定義、新的關系、新的性質、新的定理等創(chuàng)新情境知識，然后在這個新情境下，綜合所學知識并利用新知識作為解題工具使問題得到解決，求解此類問題通常分三個步驟：（1）對新知識進行信息提取，確定化歸方向；（2）對新知識中所提取的信息進行加工，探究解題方法；（3）對提取的知識加以轉換，進行有效組合，進而求解．
例1、根據(jù)定義在集合A上的函數(shù) ，構造一個數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下：
①輸入數(shù)據(jù) ，計算出 ；②若 ，則數(shù)列發(fā)生器結束工作，若 ，則輸出x1,并將x1反饋回輸入端，再計算出 ，并依此規(guī)律繼續(xù)下去，現(xiàn)在有 ， ，
（Ⅰ）求證：對任意 ，此數(shù)列發(fā)生器都可以產生一個無窮數(shù)列 ；
（Ⅱ）若 ，記 ，求數(shù)列 的通項公式．
【解析】（Ⅰ）證明：當 ，即0x>0，
∴ ，又 ，∴ ，∴ ，
即 ．故對任意 有 ；由 有 ，由 有 ；以此類推，可以一直繼續(xù)下去，從而可以產生一個無窮數(shù)列 ．
（Ⅱ）由 ，可得 ，
∴ ，即 ，
令 ，則 ，又
，
∴數(shù)列 是以 為首項，以 為公比的等差數(shù)列，
∴ ，于是 ．
【題后反思】
本題以算法語言為命題情境，構造一個數(shù)列發(fā)生器，通過定義工作原理，得到一個無窮數(shù)列 ，這是命題組成的第一部分，解答時只需依照命題程序完成即可，第（Ⅱ）問其實是一個常規(guī)的數(shù)學問題，由上可知，創(chuàng)新題的解答還是需要考生有堅實的數(shù)學解題功底．

2. 由巧法向通法轉換
巧法的思維起點高，技巧性也強，有匠心獨具、出人意料等特點，而巧法本身的思路難尋，方法不易把握，而通法則體現(xiàn)了解決問題的常規(guī)思路，而順達流暢，通俗易懂的特點．
例2、已知 ，求 的取值范圍．
【解析】由 ，得 ，
∴ ，
∴
，
從而得 ．
【題后反思】
本題是一典型、常見而又方法繁多、技巧性較強的題目，求解時常常出錯，尤其是題目的隱含條件的把握難度較大，將解法退到常用的數(shù)學方法之一――消元法上來，則解法通俗、思路清晰．
3. 常量轉化為變量
轉化思想方法用于研究、解釋數(shù)學問題時思維受阻或尋求簡單方法或從一種狀況轉化成另一種情況，也就是轉化到另一種情境，使問題得到解釋的一種方法，這種轉化是解決問題的有效策略，同時也是成功的思維模式，轉化的目的是使問題變的簡單、容易、熟知，達到解決問題的有利境地，通向問題解決之策．有的問題需要常、變量相互轉化，使求解更容易．
例3、設 ，求證： ．
【解析】令 ，則有 ，若 ，則 成立；
若 ，則 ，∴方程有兩個相等的實數(shù)根，即 ，
由韋達定理， ，即 ，又 ，
∴ ，∴ ，∴ ．
【題后反思】
把變量變?yōu)槌Ａ�，也就是從一般到特殊，是我們尋找�?guī)律時常用的解題方法，而本題反其道而行之，將常量變?yōu)樽兞浚瑥奶厥獾揭话闶箚栴}得到解決．
4. 主元轉化為輔元
有的問題按常規(guī)確定主元進行處理往往受阻，陷于困境，這時可以將主元化為輔元，即可迎刃而解．
例4、對于滿足 的所有實數(shù)p，求使不等式 恒成立的x的取值范圍．
【解析】把 轉化為 ，則成為關于p的一次不等式，則 ，得 ，由一次不等式的性質有： ，
當 時， ，∴ ；
當 時， ，∴ ，綜上可得： ．
【題后反思】
視x為主元，不等式是關于x的一元二次不等到式，討論其取值情況過于繁瑣，將p轉化為主元，不等式是關于p的一次的不等式，則問題不難解決．
5. 正向轉化為反向
有些數(shù)學問題，如果是直接正向入手求解難度較大，可以反向考慮，這種方法也叫“正難則反”
例5、若橢圓 與連接A（1，2）、B（3，4）兩點的線段沒有公共點，求實數(shù)a的取值范圍．
【解析】設線段AB和橢圓有公共點，由A、B兩點的坐標可得線段AB的方程為 ， ，則方程組 ，消去y
得： ，即 ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴當橢圓與線段AB無公共點時，實數(shù)a的取值范圍為 ．
【題后反思】
在探討某一問題的解決辦法時，如果我們按照習慣的思維方式從正面思考遇到困難，則應從反面的方向去探索．
6. 數(shù)與形的轉化
數(shù)形結合，實質上是將抽象的語言與直觀圖形結合起來，以便化抽象為直觀，達到化難為易，化簡為繁的目的．
例6、已知 是定義在 上的奇函數(shù)，且在區(qū)間 上是增函數(shù)，若 ，解不等式 ．
【解析】由 在 上為增函數(shù)，且 是定義域上的奇函數(shù)，
∴ 在 上也是增函數(shù)．
∵ ，∴ ，∴ 或 ，
由函數(shù)的單調性知： 或 ，
∴原不等式的解集為：
【題后反思】
由已知， 是定義在 上的奇函數(shù)，且在區(qū)
間 上是增函數(shù)，由 ，則可得 的
大致圖像如下圖，可知
7．自變量與函數(shù)值的轉化
函數(shù)單調性的定義明確體現(xiàn)了函數(shù)自變量的不等式關系與函數(shù)值間不等關系相互轉化的思想，理解它們之間的相互轉化關系，有利于靈活運用函數(shù)的單調性解題．
例7、設 是定義在 上的增函數(shù)，且對于定義域內任意x、y，都有
，求使不等式 成立的x的取值范圍．
【解析】∵ 的定義域是 ，∴ ，即 ，
由于 ，得 ，
由 ，得 ，
∴由題設條件得： ，
∵ 是定義在 上的增函數(shù)，∴ ，解之得： ，又 ，
∴適合題意的x的取值范圍為[3，4]．
【題后反思】
這類抽象函數(shù)求解是初學者較難掌握的，解題的關鍵需實現(xiàn)三種轉化：
①將函數(shù)值間的不等關系轉化為自變量的不等關系；②根據(jù)函數(shù)的單調性意義又能比較兩個值的大小，因此需將 ，根據(jù)等價轉化為 ；③需將②轉化為某自變量的函數(shù)值，從而建立關于x的不等關系，求出x的取值范圍．
8. 類比歸納
類比是將式子結構、運算法則、解題方法、問題結論等式引申或推廣，或遷移，由已知探索未知，由舊知識探索新知識的一種研究問題的方法；歸納是從個別特殊事例，若干特殊現(xiàn)象遞推出同一類事物的一般性結論，總結出同一種現(xiàn)象的一般規(guī)律的一種思考問題的方法，這兩種推理方法可有效地鍛煉考生的創(chuàng)造性思維能力，培養(yǎng)考生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造力．因為這類創(chuàng)新題的思維含量高、知識覆蓋面廣、綜合性強，所以它們在高考中頻繁亮相，已成為高考中的又一個熱點．
例8、如下圖所示，定義在D上的函數(shù) ，如果滿足：對任意 ，存在常數(shù)A，都有 成立，則稱函數(shù) 在D上有下界，其中A稱為函數(shù)的下界（提示：下圖①②中的常數(shù)A、B可以是正數(shù)，也可以是負數(shù)或零．）
（Ⅰ）試判斷函數(shù) 在
上是否有下界？并說明理由；
（Ⅱ）具有圖②所示特征的函數(shù)稱為
在D上有上界，請你類比函數(shù)有下界 ① ②
的定義，給出函數(shù) 在D上有上界的定義，并判斷（Ⅰ）中的函數(shù)在 上是否有上界，并說明理由．
【解析】
∵ ，由 ，得 ，∵ ，∴x=2,
∵當0 當x>2時， ，∴函數(shù) 在（2， ）上是增函數(shù)；
∴x=2是函數(shù) 在區(qū)間（0， ）上的最小值點， ，
于是，對任意 ，都有 ，即在區(qū)間（0， ）是存在常數(shù)A=32，使得對任意 ，都有 成立，所以，函數(shù) 在 上有下界．
（Ⅱ）類比函數(shù)有下界的定義，函數(shù)有上界可以給出這樣的定義：定義在D上的函數(shù) ，如果滿足：對任意 ，存在常B，都有 成立，則稱函數(shù) 在D上有上界，其中B稱為函數(shù)的上界．
設x<0，則-x>0，則（Ⅰ）知，對任意 ，都有 ，∴ ，
∵函數(shù) 為奇函數(shù)，∴ ，∴ ，即 ，
即存在常數(shù)B=-32，對任意 ，都有 ，所以，函數(shù) 在 上有上界．
【題后反思】
本題以高等數(shù)學中的函數(shù)有界性為命題素材，先給出一個定義，研究問題的結論，然后提出類比的方向，這是一種直接類比的情境題．數(shù)學中有許多能夠產生類比的知識點，如等差數(shù)列與等比數(shù)列的內容有著非常和諧的“同構”現(xiàn)象，立體幾何中的很多結論和方法都可以從平面幾何中產生“靈感”進行遷移，我們復習時要注意研究知識間的縱橫聯(lián)系，把握知識間的內在規(guī)律，通過知識間的對比和類比，可以更好地掌握知識，提高解題能力．

【模擬演練】
（1）已知函數(shù)
（Ⅰ）若 ，求x的值；
（Ⅱ）若 對于 恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
（2）設函數(shù) ，曲線 通過點（0，2a+3）且在點（-1， ）處的切線垂直于x軸．
用a分別表示b和c；
（Ⅱ）當bc取得最小值時，求函數(shù) 的單調區(qū)間．
（3）在直角坐標系xOy中，點P到兩點（ ），（ ）的距離之和等于4，設點P的軌跡為C，直線 與C交于A、B兩點，
（Ⅰ）寫出C的方程；
（Ⅱ）若 ，求k的值；
（Ⅲ）若點A在第一象限，證明：當k>0時，恒有 ．
（4）已知函數(shù) ， ， ，
（Ⅰ）將函數(shù) 化簡成 的形式；
（Ⅱ）求函數(shù) 的值域．
（5）已知曲線C1： 所圍成的封閉圖形的面積為 ，曲線C1的內切圓半徑為 ，記C2為以曲線C1與坐標軸的交點為頂點的橢圓，
（Ⅰ）求橢圓C2的標準方程；
（Ⅱ）設AB是過橢圓C2中心的任意弦，是線段AB的垂直平分線，M是上異于橢圓中心的點，①若 （O為坐標原點），當點A在橢圓C2上運動時，求點M的軌跡方程；②若M是與橢圓C2的交點，求 面積的最小值．
（6）已知元素為實數(shù)的集合S滿足下列條件：① ；②若 ，則 ．若非空集合S為有限集，則你對集合S的元素個數(shù)有何猜測？并請證明你的猜測．
（7）已知橢圓 的右準線 與x軸相交于點P，右焦點F到上頂點的距離為 ，點C(m,0)是線段OF上的一個動點，
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在過點F且與x軸不垂直的直線，其與橢圓交于A、B兩點，且使得 ？親說明理由．
（8）設函數(shù) ，函數(shù) ， ，其中a為常數(shù)且 ，令函數(shù) 為函數(shù) 和 的積函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù) 的表達式，并求其定義域；
（Ⅱ）當 時，求函數(shù) 的值域；
（Ⅲ）是否存在自然數(shù)a，使得函數(shù) 的值域恰為 ？若存在，試寫出所有滿足條件的自然數(shù)a所構成的集合，若不存在，試說明理由．
（9）已知函數(shù) ，當點 在 的圖像上移動時，點 在孫函數(shù) 的圖像上移動．
（Ⅰ）若點P坐標為（1，-1），點Q也在 的圖像上，求t的值；
（Ⅱ）求函數(shù) 的解析式；
（Ⅲ）當 時，試探索一個函數(shù) ，使得 在限定域內為 時有最小值而沒有最大值．
（10）矩形鋼板的邊長分別為 ，現(xiàn)要將它剪焊成正四棱柱或正四棱錐，并使其底面邊長為矩形邊長的一半，表面積為ab，試比較得到所制作的正四棱柱與正四棱錐中哪一個體積最大，哪一個體積最小，并說明你的結論．

答案：
1．（1） ；
（2）
2．（1）c=2a+3，b=2a；
（2） 的單調減區(qū)間為 ，單調增區(qū)間為（-2，2）；
3．（1） ，
（2） ，
（3）略；
4．（1） ，
（2） 的值域為 ；
5．（1） ，
（2）① ，② ．

6. S的元素的個數(shù)為3的倍數(shù)；
7. （Ⅰ） ；
（Ⅱ）當 時， ，即存在這樣的直線；
當 時，k不存在，即不存在這樣的直線．
8， （Ⅰ） ；
（Ⅱ） ；
（Ⅲ） ，且 ．
9. （Ⅰ） ；
（Ⅱ） ；
（Ⅲ）當 時， 有最小值0，但沒有最大值．

10．如下圖：



易證： ，即最大 ，最小 ．

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaosan/70084.html

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