教案17 函數的奇偶性與周期性
一、前檢測
1. 下列函數中，在其定義域內即是奇函數又是減函數的是（ A ）
A． B． C． D．

2. （08遼寧）若函數 為偶函數，則 （ C ）
A． B． C． D．

3. 已知 在R上是奇函數，且 ( A )
A. B.2 C.-98 D.98

二、知識梳理
1．函數的奇偶性：
（1）對于函數 ，其定義域關于原點對稱：
如果______________________________________，那么函數 為奇函數；
如果______________________________________，那么函數 為偶函數.
（2）奇函數的圖象關于__________對稱，偶函數的圖象關于_________對稱.
（3）奇函數在對稱區(qū)間的增減性 ；偶函數在對稱區(qū)間的增減性 .
（4）若奇函數 在 處有定義，則必有
解讀：

2．函數的周期性
對于函數 ，如果存在一個非零常數T，使得當 取定義域內的每一個值時，都有 ，則 為周期函數，T為這個函數的周期.
解讀：

3．與函數周期有關的結論：
①已知條中如果出現 、或 （ 、 均為非零常數， ），都可以得出 的周期為 ；
② 的圖象關于點 中心對稱或 的圖象關于直線 軸對稱，均可以得到 周期
解讀：
三、典型例題分析
例1 判斷下列函數的奇偶性：
（1） 答案：定義域不關于原點對稱，非奇非偶

（2）
解：定義域為：
所以 ，是奇函數。

（3）
解法一：當 ， ，
當 ， ，
所以，對 ，都有 ，
所以 是偶函數
解法二：畫出函數圖象
解法三： 還可寫成 ，故為偶函數。

（4）
解：定義域為 ，對 ，都有 ，
所以既奇又偶

變式訓練：判斷函數 的奇偶性。
解：當 時， 是偶函數
當 時， ，即 ，
且 ，
所以非奇非偶

小結與拓展：幾個常見的奇函數：
（1） （2） （3） （4）

小結與拓展：定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條

例2 已知定義在 上的函數 ，當 時，
（1）若函數 是奇函數，當 時，求函數 的解析式；答案：

（2）若函數 是偶函數，當 時，求函數 的解析式；答案：


變式訓練：已知奇函數 ，當 時， ，求函數 在R上的解析式；
解：函數 是定義在R上的奇函數，
，
當 時， ，
，

小結與拓展：奇偶性在求函數解析式上的應用

例3 設函數 是定義在R上的奇函數，對于 都有 成立。
（1）證明 是周期函數，并指出周期；
（2）若 ，求 的值。
證明：（1）

所以， 是周期函數，且
（2） ，

變式訓練1：設 是 上的奇函數， ，當 時， ，
則 等于 ( B )
A . 0.5 B. C. 1.5 D.

變式訓練2：（06安徽）函數 對于任意實數 滿足條 ，若
則 __________。
解：由 得 ，所以 ，
則 。

小結與拓展：只需證明 ，即 是以 為周期的周期函數

四、歸納與總結（以學生為主，師生共同完成）
1.知識：
2.思想與方法：
3.易錯點：
4.反思（不足并查漏）：

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