教案17 函數(shù)的奇偶性與周期性
一、前檢測
1. 下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)即是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（ A ）
A． B． C． D．

2. （08遼寧）若函數(shù) 為偶函數(shù)，則 （ C ）
A． B． C． D．

3. 已知 在R上是奇函數(shù)，且 ( A )
A. B.2 C.-98 D.98

二、知識梳理
1．函數(shù)的奇偶性：
（1）對于函數(shù) ，其定義域關(guān)于原點對稱：
如果______________________________________，那么函數(shù) 為奇函數(shù)；
如果______________________________________，那么函數(shù) 為偶函數(shù).
（2）奇函數(shù)的圖象關(guān)于__________對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于_________對稱.
（3）奇函數(shù)在對稱區(qū)間的增減性 ；偶函數(shù)在對稱區(qū)間的增減性 .
（4）若奇函數(shù) 在 處有定義，則必有
解讀：

2．函數(shù)的周期性
對于函數(shù) ，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng) 取定義域內(nèi)的每一個值時，都有 ，則 為周期函數(shù)，T為這個函數(shù)的周期.
解讀：

3．與函數(shù)周期有關(guān)的結(jié)論：
①已知條中如果出現(xiàn) 、或 （ 、 均為非零常數(shù)， ），都可以得出 的周期為 ；
② 的圖象關(guān)于點 中心對稱或 的圖象關(guān)于直線 軸對稱，均可以得到 周期
解讀：
三、典型例題分析
例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性：
（1） 答案：定義域不關(guān)于原點對稱，非奇非偶

（2）
解：定義域為：
所以 ，是奇函數(shù)。

（3）
解法一：當(dāng) ， ，
當(dāng) ， ，
所以，對 ，都有 ，
所以 是偶函數(shù)
解法二：畫出函數(shù)圖象
解法三： 還可寫成 ，故為偶函數(shù)。

（4）
解：定義域為 ，對 ，都有 ，
所以既奇又偶

變式訓(xùn)練：判斷函數(shù) 的奇偶性。
解：當(dāng) 時， 是偶函數(shù)
當(dāng) 時， ，即 ，
且 ，
所以非奇非偶

小結(jié)與拓展：幾個常見的奇函數(shù)：
（1） （2） （3） （4）

小結(jié)與拓展：定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條

例2 已知定義在 上的函數(shù) ，當(dāng) 時，
（1）若函數(shù) 是奇函數(shù)，當(dāng) 時，求函數(shù) 的解析式；答案：

（2）若函數(shù) 是偶函數(shù)，當(dāng) 時，求函數(shù) 的解析式；答案：


變式訓(xùn)練：已知奇函數(shù) ，當(dāng) 時， ，求函數(shù) 在R上的解析式；
解：函數(shù) 是定義在R上的奇函數(shù)，
，
當(dāng) 時， ，
，

小結(jié)與拓展：奇偶性在求函數(shù)解析式上的應(yīng)用

例3 設(shè)函數(shù) 是定義在R上的奇函數(shù)，對于 都有 成立。
（1）證明 是周期函數(shù)，并指出周期；
（2）若 ，求 的值。
證明：（1）

所以， 是周期函數(shù)，且
（2） ，

變式訓(xùn)練1：設(shè) 是 上的奇函數(shù)， ，當(dāng) 時， ，
則 等于 ( B )
A . 0.5 B. C. 1.5 D.

變式訓(xùn)練2：（06安徽）函數(shù) 對于任意實數(shù) 滿足條 ，若
則 __________。
解：由 得 ，所以 ，
則 。

小結(jié)與拓展：只需證明 ，即 是以 為周期的周期函數(shù)

四、歸納與總結(jié)（以學(xué)生為主，師生共同完成）
1.知識：
2.思想與方法：
3.易錯點：
4.反思（不足并查漏）：

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