新標——回歸教材
平面向量
1、向量有關概念:
(1)向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和數(shù)量的區(qū)別.向量常用有向線段表示,注意不能說向量就是有向線段,為什么？(向量可以平移).
典例:已知 ,則把向量 按向量 平移后得到的向量是 .
(2)零向量:長度為0的向量叫零向量,記作 ,注意零向量的方向是任意的;
(3)單位向量:長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與 共線的單位向量是 );
(4)相等向量:長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量,相等向量有傳遞性;
(5)平行向量（也叫共線向量）:方向相同或相反的非零向量 、 叫做平行向量,記作 ∥ ,提醒 規(guī)定零向量和任何向量平行.
①相等向量一定是共線向量,但共線向量不一定相等;
②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念:兩個向量平行包含兩個向量共線, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合;
③平行向量無傳遞性�。ㄒ驗橛� );④三點 共線 共線;
(6)相反向量:長度相等方向相反的向量叫做相反向量. 的相反向量是 .
典例:下列命題:(1)若 ,則 .(2)兩個向量相等的充要條是它們的起點相同,終點相同.(3)若 ,則 是平行四邊形.(4)若 是平行四邊形,則 .(5)若 ,則 .(6)若 ,則 .其中正確的是 (4),(5) .
2、向量的表示方法:(1)幾何表示法:用帶箭頭的有向線段表示,如 ,注意起點在前,終點在后;(2)符號表示法:用一個小寫的英字母表示,如 , , 等;(3)坐標表示法:在平面內(nèi)建立直角坐標系,以與 軸、 軸方向相同的兩個單位向量 , 為基底,則平面內(nèi)的任一向量 可表示為 ,稱 為向量 的坐標, ＝ 叫做向量 的坐標表示.如果向量的起點在原點,那么向量的坐標與向量的終點坐標相同.
3.平面向量的基本定理:如果 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對該平面內(nèi)的任一向量 ,有且只有一對實數(shù) ,使 .
典例:(1)若 ,則 ;
(2)下列向量組中,能作為平面內(nèi)所有向量基底的是( B )
A. B.
C. D. ;
(3)已知 分別是 的邊 的中點,且 ,則 ;
(4)在 中, , ,則 的值是 0 .
4、實數(shù)與向量的積:實數(shù) 與向量 的積是一個向量,記作 ,它的長度和方向規(guī)定如下:① ,②當 時, 的方向與 的方向相同,當 時, 的方向與 的方向相反,當 時, ,注意: .
5、平面向量的數(shù)量積:
(1)兩個向量的夾角:對于非零向量 ,作 稱為向量 的夾角,當 時, 同向,當 時, 反向,當 時, 垂直.
特別提醒:根據(jù)兩個非零向量的夾角的定義,求其夾角時應保證兩個向量的起(或終)點相同.
典例:在 中,若 ,則向量 與 的夾角是 .
(2)平面向量的數(shù)量積:如果兩個非零向量 ,它們的夾角為 ,我們把數(shù)量 叫做 與 的數(shù)量積(或內(nèi)積或點積),記作: ,即 .
另規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積是0,注意數(shù)量積是一個實數(shù),不再是一個向量.
典例:1) 中, ,則 －9 ;
2)已知 , 與 的夾角為 ,則 等于 1 ;
3)已知 ,則 等于 ;
4)已知 是兩個非零向量,且 ,則 的夾角為
(3) 在 上的投影為 ,是一個實數(shù).由數(shù)量積定義有簡化公式:
典例:已知 ,且 ,則向量 在向量 上的投影為 .
(4) 的幾何意義:數(shù)量積 等于 的模 與 在 上的投影的積.
(5)向量數(shù)量積的性質(zhì):設兩個非零向量 ,其夾角為 ,則:① ;
②當 , 同向時, ＝ ,特別地, ;
當 與 反向時, ＝ ;
當 為銳角 ,且 不同向.( 是 為銳角的必要非充分條);
當 為鈍角 ,且 不反向.( 是 為鈍角的必要非充分條);
典例:若向量 與向量 夾角為銳角,則 ;
③非零向量 , 夾角 的計算公式: ;顯然可推出 .
典例:若 與 之間有關系式 .
①用 表示 ;② ,此時 與 的夾角 .
④在 中,
典例:在 中, ,且 ,則 夾角 的取值范圍是 .
6、向量的運算:
(1)幾何運算:
①向量加法:利用“平行四邊形法則”進行,但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量,如此之外,向量加法還可利用“三角形法則”:設 ,那么向量 叫做 與 的和,即 ;
②向量的減法:用“三角形法則”:設 ,由減向量的終點指向被減向量的終點.注意:此處減向量與被減向量的起點相同.
典例:1)化簡: ; ; ;
2)若正方形 的邊長為1, ,則 ＝ ;
3)點O在 所在平面內(nèi),且 ,則 形狀為直角三角形;
4)在 中, 為 中點,點 滿足 .設 ,則 的值為 2 ;
5)若點 是 的外心,且 ,則 的內(nèi)角 為____（答: ）;
(2)坐標運算:設 ,則:
①向量的加減法運算: , .
典例:1)已知點 , ,若 ,則當 ＝ 時,點P在第一、三象限的角平分線上;
2)已知 , ,則 ;
3)已知作用在點 的三個力 ,則合力 的終點坐標是（9,1）.
②實數(shù)與向量的積: .
③若 ,則 ,即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標.
典例:設 ,且 , ,則C、D的坐標分別是 ;
④平面向量數(shù)量積: .
典例:已知向量 .
1)若 ,求向量 、 的夾角;(答: )
2)若 ,函數(shù) 的最大值為 ,求 的值;(答: 或 )
⑤向量的模: .
典例:已知 均為單位向量,它們的夾角為 ,那么 ＝ ;
⑥兩點間的距離:若 ,則 .
典例:如圖,在平面斜坐標系 中, ,平面上任一點P關
于斜坐標系的斜坐標是這樣定義的:若 ,其中 分
別為與x軸、y軸同方向的單位向量,則P點斜坐標為 .
(1)若點P的斜坐標為 ,求 到 的距離 ;(答:2)
(2)求以 為圓心,1為半徑的圓在斜坐標系 中的方程.（答: ）;
7、向量的運算律:(1)交換律: , , ;
(2)結(jié)合律: , ;
(3)分配律: , .
典例:給出命題:① ;② ;③
④若 ,則 或 ;⑤若 則 ;⑥ ;⑦ ;
⑧ ;⑨ .其中正確的是 ①⑥⑨ .
提醒:(1)向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別:對于一個向量等式,可以移項,兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù),兩邊同時取模,兩邊同乘以一個向量,但不能兩邊同除以一個向量,即兩邊不能約去一個向量,切記兩向量不能相除(相約);(2)向量的“”不滿足結(jié)合律,即 ,為什么？
8、向量平行(共線)的充要條: ＝0.
典例:1)若向量 ,當 ＝ 2 時 與 共線且方向相同;
2)已知 , , ,且 ,則x＝ 4 ;
3)設 ,則k＝ －2或11 時,A,B,C共線.
9、向量垂直的充要條: .
特別地 .
典例:1)已知 ,若 ,則 ;
2)以原點 和 為兩個頂點作等腰 , ,則點 的坐標是(1,3)或(3,－1);
3)已知 向量 ,且 ,則 的坐標是 .
10、向量中一些常用的結(jié)論:
(1)一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量,要注意運用;
(2) .
當 同向或有 , ;
當 反向或有 , ;
當 不共線 (這些和實數(shù)比較類似).
(3)在 中,若 .
①其重心的坐標為 .
典例:若 的三邊的中點分別為 ,則?ABC的重心的坐標 ;
② 為 的重心; 為 的重心
③ 為 的垂心;
或者 為 的垂心;
④向量 所在直線過 的內(nèi)心(是 的角平分線所在直線);
⑤ 為 的內(nèi)心;
(3)三點 共線 存在實數(shù) 使得 且 .
典例:平面直角坐標系 中,已知兩點 ,若點 滿足 ,其中 且 ,則點 的軌跡方程是 .


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