新標(biāo)——回歸教材
平面向量
1、向量有關(guān)概念:
(1)向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和數(shù)量的區(qū)別.向量常用有向線段表示,注意不能說向量就是有向線段,為什么？(向量可以平移).
典例:已知 ,則把向量 按向量 平移后得到的向量是 .
(2)零向量:長度為0的向量叫零向量,記作 ,注意零向量的方向是任意的;
(3)單位向量:長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與 共線的單位向量是 );
(4)相等向量:長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量,相等向量有傳遞性;
(5)平行向量（也叫共線向量）:方向相同或相反的非零向量 、 叫做平行向量,記作 ∥ ,提醒 規(guī)定零向量和任何向量平行.
①相等向量一定是共線向量,但共線向量不一定相等;
②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念:兩個向量平行包含兩個向量共線, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合;
③平行向量無傳遞性�。ㄒ�?yàn)橛?);④三點(diǎn) 共線 共線;
(6)相反向量:長度相等方向相反的向量叫做相反向量. 的相反向量是 .
典例:下列命題:(1)若 ,則 .(2)兩個向量相等的充要條是它們的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同.(3)若 ,則 是平行四邊形.(4)若 是平行四邊形,則 .(5)若 ,則 .(6)若 ,則 .其中正確的是 (4),(5) .
2、向量的表示方法:(1)幾何表示法:用帶箭頭的有向線段表示,如 ,注意起點(diǎn)在前,終點(diǎn)在后;(2)符號表示法:用一個小寫的英字母表示,如 , , 等;(3)坐標(biāo)表示法:在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系,以與 軸、 軸方向相同的兩個單位向量 , 為基底,則平面內(nèi)的任一向量 可表示為 ,稱 為向量 的坐標(biāo), ＝ 叫做向量 的坐標(biāo)表示.如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn),那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同.
3.平面向量的基本定理:如果 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對該平面內(nèi)的任一向量 ,有且只有一對實(shí)數(shù) ,使 .
典例:(1)若 ,則 ;
(2)下列向量組中,能作為平面內(nèi)所有向量基底的是( B )
A. B.
C. D. ;
(3)已知 分別是 的邊 的中點(diǎn),且 ,則 ;
(4)在 中, , ,則 的值是 0 .
4、實(shí)數(shù)與向量的積:實(shí)數(shù) 與向量 的積是一個向量,記作 ,它的長度和方向規(guī)定如下:① ,②當(dāng) 時, 的方向與 的方向相同,當(dāng) 時, 的方向與 的方向相反,當(dāng) 時, ,注意: .
5、平面向量的數(shù)量積:
(1)兩個向量的夾角:對于非零向量 ,作 稱為向量 的夾角,當(dāng) 時, 同向,當(dāng) 時, 反向,當(dāng) 時, 垂直.
特別提醒:根據(jù)兩個非零向量的夾角的定義,求其夾角時應(yīng)保證兩個向量的起(或終)點(diǎn)相同.
典例:在 中,若 ,則向量 與 的夾角是 .
(2)平面向量的數(shù)量積:如果兩個非零向量 ,它們的夾角為 ,我們把數(shù)量 叫做 與 的數(shù)量積(或內(nèi)積或點(diǎn)積),記作: ,即 .
另規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積是0,注意數(shù)量積是一個實(shí)數(shù),不再是一個向量.
典例:1) 中, ,則 －9 ;
2)已知 , 與 的夾角為 ,則 等于 1 ;
3)已知 ,則 等于 ;
4)已知 是兩個非零向量,且 ,則 的夾角為
(3) 在 上的投影為 ,是一個實(shí)數(shù).由數(shù)量積定義有簡化公式:
典例:已知 ,且 ,則向量 在向量 上的投影為 .
(4) 的幾何意義:數(shù)量積 等于 的模 與 在 上的投影的積.
(5)向量數(shù)量積的性質(zhì):設(shè)兩個非零向量 ,其夾角為 ,則:① ;
②當(dāng) , 同向時, ＝ ,特別地, ;
當(dāng) 與 反向時, ＝ ;
當(dāng) 為銳角 ,且 不同向.( 是 為銳角的必要非充分條);
當(dāng) 為鈍角 ,且 不反向.( 是 為鈍角的必要非充分條);
典例:若向量 與向量 夾角為銳角,則 ;
③非零向量 , 夾角 的計(jì)算公式: ;顯然可推出 .
典例:若 與 之間有關(guān)系式 .
①用 表示 ;② ,此時 與 的夾角 .
④在 中,
典例:在 中, ,且 ,則 夾角 的取值范圍是 .
6、向量的運(yùn)算:
(1)幾何運(yùn)算:
①向量加法:利用“平行四邊形法則”進(jìn)行,但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量,如此之外,向量加法還可利用“三角形法則”:設(shè) ,那么向量 叫做 與 的和,即 ;
②向量的減法:用“三角形法則”:設(shè) ,由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn).注意:此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同.
典例:1)化簡: ; ; ;
2)若正方形 的邊長為1, ,則 ＝ ;
3)點(diǎn)O在 所在平面內(nèi),且 ,則 形狀為直角三角形;
4)在 中, 為 中點(diǎn),點(diǎn) 滿足 .設(shè) ,則 的值為 2 ;
5)若點(diǎn) 是 的外心,且 ,則 的內(nèi)角 為____（答: ）;
(2)坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè) ,則:
①向量的加減法運(yùn)算: , .
典例:1)已知點(diǎn) , ,若 ,則當(dāng) ＝ 時,點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上;
2)已知 , ,則 ;
3)已知作用在點(diǎn) 的三個力 ,則合力 的終點(diǎn)坐標(biāo)是（9,1）.
②實(shí)數(shù)與向量的積: .
③若 ,則 ,即一個向量的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo).
典例:設(shè) ,且 , ,則C、D的坐標(biāo)分別是 ;
④平面向量數(shù)量積: .
典例:已知向量 .
1)若 ,求向量 、 的夾角;(答: )
2)若 ,函數(shù) 的最大值為 ,求 的值;(答: 或 )
⑤向量的模: .
典例:已知 均為單位向量,它們的夾角為 ,那么 ＝ ;
⑥兩點(diǎn)間的距離:若 ,則 .
典例:如圖,在平面斜坐標(biāo)系 中, ,平面上任一點(diǎn)P關(guān)
于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的:若 ,其中 分
別為與x軸、y軸同方向的單位向量,則P點(diǎn)斜坐標(biāo)為 .
(1)若點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為 ,求 到 的距離 ;(答:2)
(2)求以 為圓心,1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系 中的方程.（答: ）;
7、向量的運(yùn)算律:(1)交換律: , , ;
(2)結(jié)合律: , ;
(3)分配律: , .
典例:給出命題:① ;② ;③
④若 ,則 或 ;⑤若 則 ;⑥ ;⑦ ;
⑧ ;⑨ .其中正確的是 ①⑥⑨ .
提醒:(1)向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別:對于一個向量等式,可以移項(xiàng),兩邊平方、兩邊同乘以一個實(shí)數(shù),兩邊同時取模,兩邊同乘以一個向量,但不能兩邊同除以一個向量,即兩邊不能約去一個向量,切記兩向量不能相除(相約);(2)向量的“”不滿足結(jié)合律,即 ,為什么？
8、向量平行(共線)的充要條: ＝0.
典例:1)若向量 ,當(dāng) ＝ 2 時 與 共線且方向相同;
2)已知 , , ,且 ,則x＝ 4 ;
3)設(shè) ,則k＝ －2或11 時,A,B,C共線.
9、向量垂直的充要條: .
特別地 .
典例:1)已知 ,若 ,則 ;
2)以原點(diǎn) 和 為兩個頂點(diǎn)作等腰 , ,則點(diǎn) 的坐標(biāo)是(1,3)或(3,－1);
3)已知 向量 ,且 ,則 的坐標(biāo)是 .
10、向量中一些常用的結(jié)論:
(1)一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量,要注意運(yùn)用;
(2) .
當(dāng) 同向或有 , ;
當(dāng) 反向或有 , ;
當(dāng) 不共線 (這些和實(shí)數(shù)比較類似).
(3)在 中,若 .
①其重心的坐標(biāo)為 .
典例:若 的三邊的中點(diǎn)分別為 ,則?ABC的重心的坐標(biāo) ;
② 為 的重心; 為 的重心
③ 為 的垂心;
或者 為 的垂心;
④向量 所在直線過 的內(nèi)心(是 的角平分線所在直線);
⑤ 為 的內(nèi)心;
(3)三點(diǎn) 共線 存在實(shí)數(shù) 使得 且 .
典例:平面直角坐標(biāo)系 中,已知兩點(diǎn) ,若點(diǎn) 滿足 ,其中 且 ,則點(diǎn) 的軌跡方程是 .


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