高中數(shù)學復習講義 第三章 三角函數(shù)B

第5課 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)（一）
【考點導讀】
1.能畫出正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，正切函數(shù)的圖像，借助圖像理解正弦函數(shù)，余弦函數(shù)在 ，正切函數(shù)在 上的性質(zhì)；
2.了解函數(shù) 的實際意義，能畫出 的圖像；
3.了解函數(shù)的周期性，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型．
【基礎練習】
1. 已知簡諧運動 的圖象經(jīng)過點(0，1)，則該簡諧運動的最小正周期 _____6____；初相 __________．
2. 三角方程2sin( －x)=1的解集為_______________________．
3. 函數(shù) 的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達式為

______________________．
4. 要得到函數(shù) 的圖象，只需將函數(shù) 的圖象向右平移__________個單位．
【范例解析】
例1.已知函數(shù) ．
（Ⅰ）用五點法畫出函數(shù)在區(qū)間 上的圖象，長度為一個周期；
（Ⅱ）說明 的圖像可由 的圖像經(jīng)過怎樣變換而得到．
分析：化為 形式．
解：（I）由
．
列表，取點，描圖：
1 1 1
故函數(shù) 在區(qū)間 上的圖象是：


（Ⅱ）解法一：把 圖像上所有點向右平移 個單位，得到 的圖像，再把 的圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的 （縱坐標不變），得到 的圖像，然后把 的圖像上所有點縱坐標伸長到原來的 倍（橫坐標不變），得到 的圖像，再將 的圖像上所有點向上平移1個單位，即得到 的圖像．
解法二：把 圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的 （縱坐標不變），得到 的圖像，再把 圖像上所有點向右平移 個單位，得到 的圖像，然后把 的圖像上所有點縱坐標伸長到原來的 倍（橫坐標不變），得到 的圖像，再將 的圖像上所有點向上平移1個單位，即得到 的圖像．
例2.已知正弦函數(shù) 的圖像如右圖所示．
（1）求此函數(shù)的解析式 ；
（2）求與 圖像關(guān)于直線 對稱的曲線的解析式 ；
（3）作出函數(shù) 的圖像的簡圖．

分析：識別圖像，抓住關(guān)鍵點．
解：（1）由圖知， ， ， ，即 ．
將 ， 代入，得 ，解得 ，即 ．
（2）設函數(shù) 圖像上任一點為 ，與它關(guān)于直線 對稱的對稱點為 ，
得 解得 代入 中，得 ．
（3） ，簡圖如圖所示．

點評：由圖像求解析式， 比較容易求解，困難的是待定系數(shù)求 和 ，通常利用周期確定 ，代入最高點或最低點求 ．

【反饋演練】
1．為了得到函數(shù) 的圖像，只需把函數(shù) ， 的圖像上所有的點
①向左平移 個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的 倍（縱坐標不變）；
②向右平移 個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的 倍（縱坐標不變）；
③向左平移 個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變）；
④向右平移 個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變）．
其中，正確的序號有_____③______．
2．為了得到函數(shù) 的圖象，可以將函數(shù) 的圖象向右平移__ __個單位長度．
3．若函數(shù) ， （其中 ， ）的最小正周期是 ，且 ，則 __2____； __________．
4．在 內(nèi)，使 成立的 取值范圍為____________________．
5．下列函數(shù)：
① ； ② ；
③ ； ④ ．
其中函數(shù)圖象的一部分如右圖所示的序號有_____④_____．
6．如圖，某地一天從6時至14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)
（1）求這段時間的最大溫差；
（2）寫出這段時間的函數(shù)解析式．
解：（1）由圖示，這段時間的最大溫差是 ℃
（2）圖中從6時到14時的圖象是函數(shù) 的半個周期
∴ ，解得
由圖示， 　　
這時，
將 代入上式，可取
綜上，所求的解析式為 （ ）
7．如圖，函數(shù) 的圖象與 軸相交于點 ，且該函數(shù)的最小正周期為 ．
（1）求 和 的值；
（2）已知點 ，點 是該函數(shù)圖象上一點，點 是 的中點，
當 ， 時，求 的值．


解：（1）將 ， 代入函數(shù) 得 ，
因為 ，所以 ．
又因為該函數(shù)的最小正周期為 ，所以 ，
因此 ．
（2）因為點 ， 是 的中點， ，
所以點 的坐標為 ．
又因為點 在 的圖象上，所以 ．
因為 ，所以 ，
從而得 或 ．
即 或 ．


第6課 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)（二）
【考點導讀】
1.理解三角函數(shù) ， ， 的性質(zhì)，進一步學會研究形如函數(shù) 的性質(zhì)；
2.在解題中體現(xiàn)化歸的數(shù)學思想方法，利用三角恒等變形轉(zhuǎn)化為一個角的三角函數(shù)來研究．
【基礎練習】
1.寫出下列函數(shù)的定義域：
（1） 的定義域是______________________________；
（2） 的定義域是____________________．
2．函數(shù)f (x) = sin x +cos x 的最小正周期是____________．
3．函數(shù) 的最小正周期是_______．
4. 函數(shù)y=sin(2x+ )的圖象關(guān)于點_______________對稱．
5. 已知函數(shù) 在（－ ， ）內(nèi)是減函數(shù)，則 的取值范圍是______________．
【范例解析】
例1.求下列函數(shù)的定義域：
（1） ；（2） ．
解：（1） 即 ，
故函數(shù)的定義域為 且
（2） 即
故函數(shù)的定義域為 ．
點評：由幾個函數(shù)的和構(gòu)成的函數(shù)，其定義域是每一個函數(shù)定義域的交集；第（2）問可用數(shù)軸取交集．

例2．求下列函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間：
（1） ； （2） ；
解：（1）因為 ，故原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為 ．
（2）由 ，得 ，
又 ，
所以該函數(shù)遞減區(qū)間為 ，即 ．
點評：利用復合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間應注意定義域的限制．
例3．求下列函數(shù)的最小正周期：
（1） ；（2） ．
解：（1）由函數(shù) 的最小正周期為 ，得 的周期 ．
（2）

．
點評：求三角函數(shù)的周期一般有兩種：（1）化為 的形式特征，利用公式求解；（2）利用函數(shù)圖像特征求解．


【反饋演練】
1．函數(shù) 的最小正周期為_____________．
2．設函數(shù) ，則 在 上的單調(diào)遞減區(qū)間為___________________．
3．函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是________________．
4．設函數(shù) ，則 的最小正周期為_______________．
5．函數(shù) 在 上的單調(diào)遞增區(qū)間是_______________．
6．已知函數(shù) ．
（Ⅰ）求 的定義域；
（Ⅱ）若角 在第一象限且 ，求 ．
解：（Ⅰ） 由 得 ，即 ．
故 的定義域為 ．
（Ⅱ）由已知條件得 ．
從而


．
7． 設函數(shù) 圖像的一條對稱軸是直線 ．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅲ）畫出函數(shù) 在區(qū)間 上的圖像
解：（Ⅰ） 的圖像的對稱軸，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
由題意得
所以函數(shù)
（Ⅲ）由
x0
y －1010
故函數(shù)


第7課 三角函數(shù)的值域與最值
【考點導讀】
1.掌握三角函數(shù)的值域與最值的求法，能運用三角函數(shù)最值解決實際問題；
2.求三角函數(shù)值域與最值的常用方法：（1）化為一個角的同名三角函數(shù)形式，利用函數(shù)的有界性或單調(diào)性求解；（2）化為一個角的同名三角函數(shù)形式的一元二次式，利用配方法或圖像法求解；（3）借助直線的斜率的關(guān)系用數(shù)形結(jié)合求解；（4）換元法．
【基礎練習】
1.函數(shù) 在區(qū)間 上的最小值為 1 ．
2.函數(shù) 的最大值等于 ．
3.函數(shù) 且 的值域是___________________．
4.當 時，函數(shù) 的最小值為 4 ．
【范例解析】
例1.（1）已知 ，求 的最大值與最小值．
（2）求函數(shù) 的最大值．
分析：可化為二次函數(shù)求最值問題．
解：（1）由已知得： ， ，則 ．
，當 時， 有最小值 ；當 時， 有最小值 ．
（2）設 ，則 ，則 ，當 時， 有最大值為 ．
點評：第（1）小題利用消元法，第（2）小題利用換元法最終都轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題；但要注意變量的取值范圍．
例2.求函數(shù) 的最小值．
分析：利用函數(shù)的有界性求解．

解法一：原式可化為 ，得 ，即 ，
故 ，解得 或 （舍），所以 的最小值為 ．
解法二： 表示的是點 與 連線的斜率，其中點B在左半圓 上，由圖像知，當AB與半圓相切時， 最小，此時 ，所以 的最小值為 ．
點評：解法一利用三角函數(shù)的有界性求解；解法二從結(jié)構(gòu)出發(fā)利用斜率公式，結(jié)合圖像求解．
例3.已知函數(shù) ， ．
（I）求 的最大值和最小值；
（II）若不等式 在 上恒成立，求實數(shù) 的取值范圍．
分析：觀察角，單角二次型，降次整理為 形式．
解：（Ⅰ）
．
又 ， ，即 ，
．
（Ⅱ） ， ，
且 ，
，即 的取值范圍是 ．
點評：第（Ⅱ）問屬于恒成立問題，可以先去絕對值，利用參數(shù)分離轉(zhuǎn)化為求最值問題．本小題主要考查三角函數(shù)和不等式的基本知識，以及運用三角公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題的能力．


【反饋演練】
1．函數(shù) 的最小值等于____－1_______．
2．當 時，函數(shù) 的最小值是______4 _______．
3．函數(shù) 的最大值為_______，最小值為________.
4．函數(shù) 的值域為 .
5．已知函數(shù) 在區(qū)間 上的最小值是 ，則 的最小值等于_________．
6．已知函數(shù) ．
（Ⅰ）求函數(shù) 的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù) 在區(qū)間 上的最小值和最大值．
解：（Ⅰ） ．
因此，函數(shù) 的最小正周期為 ．
（Ⅱ）因為 在區(qū)間 上為增函數(shù)，在區(qū)間 上為減函數(shù)，又 ， ， ，
故函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值為 ，最小值為 ．


第８課 解三角形
【考點導讀】
1.掌握正弦定理，余弦定理，并能運用正弦定理，余弦定理解斜三角形；
2.解三角形的基本途徑：根據(jù)所給條件靈活運用正弦定理或余弦定理，然后通過化邊為角或化角為邊，實施邊和角互化．
【基礎練習】
1．在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，則AC＝　　　　.

2．在 中，若 ，則 的大小是______________.

3．在 中，若 ， ， ，則 ．
【范例解析】
例1.在△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對邊，已知 ， ， ．
（1）求 的值；（2）求 的值．
分析：利用 轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系．
解：（1）由 ．
（2）由 得 ．由余弦定理
得： ，解得： 或 ，
若 ，則 ，得 ，即 矛盾，故 ．
點評：在解三角形時，應注意多解的情況，往往要分類討論．
例2.在三角形ABC中，已知 ，試判斷該三角形的形狀．
解法一：(邊化角)由已知得： ，
化簡得 ，
由正弦定理得： ，即 ，
又 ， ， ．
又 ， 或 ，即該三角形為等腰三角形或直角三角形．
解法二：(角化邊)同解法一得： ，
由正余弦定理得： ，
整理得： ，即 或 ，
即該三角形為等腰三角形或直角三角形．
點評：判斷三角形形狀主要利用正弦或余弦定理進行邊角互化，從而利用角或邊判定三角形形狀．
例3.如圖，D是直角△ABC斜邊BC上一點，AB=AD，記∠CAD= ，∠ABC= .
（1）證明： ；
（2）若AC= DC，求 ．
分析：識別圖中角之間的關(guān)系，從而建立等量關(guān)系.
（1）證明： ， ， ，

（2）解： AC= DC， .
， ， .
點評：本題重點是從圖中尋找到角之間的等量關(guān)系，從而建立三角函數(shù)關(guān)系，進而求出 的值.

【反饋演練】
1．在 中， 則BC =_____________．
2． 的內(nèi)角∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，且 ，則 _____．
3．在 中，若 ， ，則 的形狀是____等邊___三角形．
4．若 的內(nèi)角 滿足 ，則 = ．
5．在 中，已知 ， ， ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值．


解：（Ⅰ）在 中， ，由正弦定理，
．所以 ．
（Ⅱ）因為 ，所以角 為鈍角，從而角 為銳角，于是
，
，
．
．
6．在 中，已知內(nèi)角 ，邊 ．設內(nèi)角 ，周長為 ．
（1）求函數(shù) 的解析式和定義域；（2）求 的最大值．
解：（1） 的內(nèi)角和 ，由 得 ．
應用正弦定理，知 ，
．因為 ，
所以 ，
（2）因為
，
所以，當 ，即 時， 取得最大值 ．

7．在 中， ， ．
（Ⅰ）求角 的大小；（Ⅱ）若 最大邊的邊長為 ，求最小邊的邊長．
解：（Ⅰ） ， ．
又 ， ．
（Ⅱ） ， 邊最大，即 ．
又 ， 角 最小， 邊為最小邊．
由 且 ，
得 ．由 得： ．
所以，最小邊 ．


第9課 解三角形的應用
【考點導讀】
1.運用正余弦定理等知識與方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題．
2.綜合運用三角函數(shù)各種知識和方法解決有關(guān)問題，深化對三角公式和基礎知識的理解，進一步提高三角變換的能力．
【基礎練習】
1．在200 高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°，60°，則塔高為_________ ．
2．某人朝正東方向走x km后，向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3km，結(jié)果他離出發(fā)點恰好 km，那么x的值為_______________ km．
3．一船以每小時15km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔B在北偏東 ，行駛4h后，船到達C處，看到這個燈塔在北偏東 ，這時船與燈塔的距離為 km．
4．如圖，我炮兵陣地位于A處，兩觀察所分別設于B，D，已知 為邊長等于 的正三角形，當目標出現(xiàn)于C時，測得 ， ，求炮擊目標的距離
解：在 中，由正弦定理得：
∴
在 中，由余弦定理得：
∴
答：線段 的長為 ．
【范例解析】
例 .如圖，甲船以每小時 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當甲船位于 處時，乙船位于甲船的北偏西 方向的 處，此時兩船相距 海里，當甲船航行 分鐘到達 處時，乙船航行到甲船的北偏西 方向的 處，此時兩船相距 海里，問乙船每小時航行多少海里？
分析：讀懂題意，正確構(gòu)造三角形，結(jié)合正弦定理或余弦定理求解．




解法一：如圖(2)，連結(jié) ，由已知 ，
， ，
又 ， 是等邊三角形，
，
由已知， ， ，
在 中，由余弦定理，
．
．因此，乙船的速度的大小為 （海里/小時）．
答：乙船每小時航行 海里．
解法二：如圖（3），連結(jié) ，
由已知 ， ， ，
，
．
在 中，由余弦定理，

．
．
由正弦定理 ，
，即 ， ．
在 中，由已知 ，由余弦定理，
．
，乙船的速度的大小為 （海里/小時）．
答：乙船每小時航行 海里．
點評：解法二也是構(gòu)造三角形的一種方法，但計算量大，通過比較二種方法，學生要善于利用條件簡化解題過程．

【反饋演練】
1．江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，由炮臺頂部測得俯角分別為 和 ，而且兩條船與炮臺底部連線成 角，則兩條船相距____________m．
2．有一長為1km的斜坡，它的傾斜角為 ，現(xiàn)要將傾斜角改為 ，則坡底要伸長____1___km．
3．某船上的人開始看見燈塔在南偏東 方向，后來船沿南偏東 方向航行45海里后，看見燈塔在正西方向，則此時船與燈塔的距離是__________海里．
4．把一根長為30cm的木條鋸成兩段，分別作鈍角三角形 的兩邊 和 ，且 ，則第三條邊 的最小值是____________cm．
5．設 是某港口水的深度y（米）關(guān)于時間t（時）的函數(shù)，其中 .下表是該港口某一天
從0時至24時記錄的時間t與水深y的關(guān)系：
t03691215182124
y1215.112.19.111.914.911.98.912.1
經(jīng)長期觀察，函數(shù) 的圖象可以近似地看成函數(shù) 的圖象.下面的函數(shù)中,
最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對應關(guān)系的函數(shù)是（ A ）
A． B．
C． D．


本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaosan/66769.html

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