第五 數列

一、基礎知識
定義1 數列，按順序給出的一列數，例如1，2，3，…，n，…. 數列分有窮數列和無窮數列兩種，數列{an}的一般形式通常記作a1, a2, a3,…，an或a1, a2, a3,…，an…。其中a1叫做數列的首項，an是關于n的具體表達式，稱為數列的通項。
定理1 若Sn表示{an}的前n項和，則S1=a1, 當n>1時，an=Sn-Sn-1.
定義2 等差數列，如果對任意的正整數n，都有an+1-an=d（常數），則{an}稱為等差數列，d叫做公差。若三個數a, b, c成等差數列，即2b=a+c，則稱b為a和c的等差中項，若公差為d, 則a=b-d, c=b+d.
定理2 等差數列的性質：1）通項公式an=a1+(n-1)d；2）前n項和公式：Sn= ；3）an-am=(n-m)d，其中n, m為正整數；4）若n+m=p+q，則an+am=ap+a¬q；5）對任意正整數p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一個不為零，則{an}是等差數列的充要條是Sn=An2+Bn.
定義3 等比數列，若對任意的正整數n，都有 ，則{an}稱為等比數列，q叫做公比。
定理3 等比數列的性質：1）an=a1qn-1；2）前n項和Sn，當q 1時，Sn= ；當q=1時，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比數列，即b2=ac(b 0)，則b叫做a, c的等比中項；4）若m+n=p+q，則aman=apaq。
定義4 極限，給定數列{an}和實數A，若對任意的 >0，存在，對任意的n>(n∈N),都有an-A< ，則稱A為n→+∞時數列{an}的極限，記作
定義5 無窮遞縮等比數列，若等比數列{an}的公比q滿足q<1，則稱之為無窮遞增等比數列，其前n項和Sn的極限（即其所有項的和）為 （由極限的定義可得）。
定理3 第一數學歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當p(n)時n=k成立時能推出p(n)對n=k+1成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對一切自然數n≥n0成立。

競賽常用定理
定理4 第二數學歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當p(n)對一切n≤k的自然數n都成立時（k≥n0）可推出p(k+1)成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對一切自然數n≥n0成立。
定理5 對于齊次二階線性遞歸數列xn=axn-1+bxn-2，設它的特征方程x2=ax+b的兩個根為α,β:(1)若α β，則xn=c1an-1+c2βn-1，其中c1, c2由初始條x1, x2的值確定；(2)若α=β，則xn=(c1n+c2) αn-1，其中c1, c2的值由x1, x2的值確定。
二、方法與例題
1．不完全歸納法。
這種方法是從特殊情況出發(fā)去總結更一般的規(guī)律，當然結論未必都是正確的，但卻是人類探索未知世界的普遍方式。通常解題方式為：特殊→猜想→數學歸納法證明。
例1 試給出以下幾個數列的通項（不要求證明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。
【解】1）an=n2-1；2）an=3n-2n；3）an=n2-2n.
例2 已知數列{an}滿足a1= ,a1+a¬2+…+an=n2an, n≥1，求通項an.
【解】 因為a1= ,又a1+a¬2=22•a2,
所以a2= ，a3= ,猜想 (n≥1).
證明；1）當n=1時，a1= ，猜想正確。2）假設當n≤k時猜想成立。
當n=k+1時，由歸納假設及題設，a1+ a1+…+a1=[(k+1)2-1] ak+1,，
所以 =k(k+2)ak+1,
即 =k(k+2)ak+1,
所以 =k(k+2)ak+1,所以ak+1=
由數學歸納法可得猜想成立，所以
例3 設0<a<1，數列{an}滿足an=1+a, an-1=a+ ，求證：對任意n∈N+,有an>1.
【證明】 證明更強的結論：1<an≤1+a.
1)當n=1時，1<a1=1+a，①式成立；
2)假設n=k時，①式成立，即1<an≤1+a，則當n=k+1時，有

由數學歸納法可得①式成立，所以原命題得證。
2．迭代法。
數列的通項an或前n項和Sn中的n通常是對任意n∈N成立，因此可將其中的n換成n+1或n-1等，這種辦法通常稱迭代或遞推。
例4 數列{an}滿足an+pan-1+qan-2=0, n≥3，q 0，求證：存在常數c，使得 •an+
【證明】 •an+1+ (pan+1+an+2)+ =an+2•(-qan)+ =
+an(pqn+1+qan)]=q( ).
若 =0，則對任意n, + =0，取c=0即可.
若 0，則{ + }是首項為 ，公式為q的等比數列。
所以 + = •qn.
取 • 即可.
綜上，結論成立。
例5 已知a1=0, an+1=5an+ ，求證：an都是整數，n∈N+.
【證明】 因為a1=0, a2=1，所以由題設知當n≥1時an+1>an.
又由an+1=5an+ 移項、平方得
①
當n≥2時，把①式中的n換成n-1得 ，即
②
因為an-1<an+1，所以①式和②式說明an-1, an+1是方程x2-10anx+ -1=0的兩個不等根。由韋達定理得an+1+ an-1=10an(n≥2).
再由a1=0, a2=1及③式可知，當n∈N+時，an都是整數。
3．數列求和法。
數列求和法主要有倒寫相加、裂項求和法、錯項相消法等。
例6 已知an= (n=1, 2, …)，求S99=a1+a2+…+a99.
【解】 因為an+a100-n= + = ，
所以S99=
例7 求和： +…+
【解】 一般地，
，
所以Sn=

例8 已知數列{an}滿足a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn為數列 的前n項和，求證：Sn<2。
【證明】 由遞推公式可知，數列{an}前幾項為1，1，2，3，5，8，13。
因為 ， ①
所以 。 ②
由①-②得 ，
所以 。
又因為Sn-2<Sn且 >0,
所以 Sn, 所以 ，
所以Sn<2，得證。
4．特征方程法。
例9 已知數列{an}滿足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求an.
【解】 由特征方程x2=4x-4得x1=x2=2.
故設an=(α+βn)•2n-1，其中 ，
所以α=3，β=0，
所以an=3•2n-1.
例10 已知數列{an}滿足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通項an.
【解】 由特征方程x2=2x+3得x1=3, x2=-1,
所以an=α•3n+β•(-1)n，其中 ，
解得α= ，β ，
所以 •3]。
5．構造等差或等比數列。
例11 正數列a0,a1,…,an,…滿足 =2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通項。
【解】 由 得 =1，
即
令bn= +1，則{bn}是首項為 +1=2，公比為2的等比數列，
所以bn= +1=2n，所以 =（2n-1）2，
所以an= • … • •a0=
注： C1•C2•…•Cn.
例12 已知數列{xn}滿足x1=2, xn+1= ,n∈N+, 求通項。
【解】 考慮函數f(x)= 的不動點，由 =x得x=
因為x1=2, xn+1= ,可知{xn}的每項均為正數。
又 +2≥ ，所以xn+1≥ (n≥1)。又
Xn+1- = = , ①
Xn+1+ = = , ②
由①÷②得 。 ③
又 >0，
由③可知對任意n∈N+， >0且 ,
所以 是首項為 ，公比為2的等比數列。
所以 • ，所以 ，
解得 • 。
注：本例解法是借助于不動點，具有普遍意義。
三、基礎訓練題
1． 數列{xn}滿足x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn為{xn}前n項和，當n≥2時，xn=_________.
2. 數列{xn}滿足x1= ，xn+1= ,則{xn}的通項xn=_________.
3. 數列{xn}滿足x1=1，xn= +2n-1(n≥2)，則{xn}的通項xn=_________.
4. 等差數列{an}滿足3a8=5a13，且a1>0, Sn為前n項之和，則當Sn最大時，n=_________.
5. 等比數列{an}前n項之和記為Sn,若S10=10，S30=70，則S40=_________.
6. 數列{xn}滿足xn+1=xn-xn-1(n≥2)，x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+…+ xn，則S100=_________.
7. 數列{an}中，Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1則a1+a2+…+a10=_________.
8. 若 ，并且x1+x2+…+ xn=8，則x1=_________.
9. 等差數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，若 ，則 =_________.
10. 若n!=n(n-1)…2•1, 則 =_________.
11．若{an}是無窮等比數列，an為正整數，且滿足a5+a6=48, log2a2•log2a3+ log2a2•log2a5+ log2a2•log2a6+ log2a5•log2a6=36，求 的通項。
12．已知數列{an}是公差不為零的等差數列，數列{ }是公比為q的等比數列，且b1=1, b2=5, b3=17, 求：（1）q的值；（2）數列{bn}的前n項和Sn。

四、高考水平訓練題
1．已知函數f(x)= ，若數列{an}滿足a1= ，an+1=f(an)(n∈N+)，則a2006=_____________.
2．已知數列{an}滿足a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，則{an}的通項an= .
3. 若an=n2+ , 且{an}是遞增數列，則實數 的取值范圍是__________.
4. 設正項等比數列{an}的首項a1= , 前n項和為Sn, 且210S30-（210+1）S20+S10=0，則an=_____________.
5. 已知 ，則a的取值范圍是______________.
6．數列{an}滿足an+1=3an+n(n ∈N+) ，存在_________個a1值，使{an}成等差數列；存在________個a1值，使{an}成等比數列。
7．已知 (n ∈N+)，則在數列{an}的前50項中，最大項與最小項分別是____________.
8．有4個數，其中前三個數成等差數列，后三個數成等比數列，并且第一個數與第四個數的和中16，第二個數與第三個數的和是12，則這四個數分別為____________.
9. 設{an}是由正數組成的數列，對于所有自然數n, an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項，則an=____________.
10. 在公比大于1的等比數列中，最多連續(xù)有__________項是在100與1000之間的整數.
11．已知數列{an}中，an 0，求證：數列{an}成等差數列的充要條是
（n≥2）①恒成立。
12．已知數列{an}和{bn}中有an=an-1bn, bn= (n≥2), 當a1=p, b1=q(p>0, q>0)且p+q=1時，（1）求證：an>0, bn>0且an+bn=1（n∈N）；（2）求證：an+1= ；（3）求數列
13．是否存在常數a, b, c，使題設等式
1•22+2•32+…+n•(n+1)2= (an2+bn+c)
對于一切自然數n都成立？證明你的結論。
五、聯賽一試水平訓練題
1．設等差數列的首項及公差均為非負整數，項數不少于3，且各項和為972，這樣的數列共有_________個。
2．設數列{xn}滿足x1=1, xn= ，則通項xn=__________.
3. 設數列{an}滿足a1=3, an>0，且 ，則通項an=__________.
4. 已知數列a0, a1, a2, …, an, …滿足關系式(3-an+1)•(6+an)=18，且a0=3，則 =__________.
5. 等比數列a+log23, a+log43, a+log83的公比為=__________.
6. 各項均為實數的等差數列的公差為4，其首項的平方與其余各項之和不超過100，這樣的數列至多有__________項.
7. 數列{an}滿足a1=2, a2=6, 且 =2，則
________.
8. 數列{an} 稱為等差比數列，當且僅當此數列滿足a0=0, {an+1-qan}構成公比為q的等比數列，q稱為此等差比數列的差比。那么，由100以內的自然數構成等差比數列而差比大于1時，項數最多有__________項.
9．設h∈N+，數列{an}定義為：a0=1, an+1= 。問：對于怎樣的h，存在大于0的整數n，使得an=1？
10．設{ak}k≥1為一非負整數列，且對任意k≥1，滿足ak≥a2k+a2k+1，（1）求證：對任意正整數n，數列中存在n個連續(xù)項為0；（2）求出一個滿足以上條，且其存在無限個非零項的數列。
11．求證：存在唯一的正整數數列a1,a2,…,使得
a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)=

六、聯賽二試水平訓練題
1．設an為下述自然數N的個數：N的各位數字之和為n且每位數字只能取1，3或4，求證：a2n是完全平方數，這里n=1, 2,….
2．設a1, a2,…, an表示整數1，2，…，n的任一排列，f(n)是這些排列中滿足如下性質的排列數目：①a1=1; ②ai-ai+1≤2, i=1,2,…,n-1。
試問f(2007)能否被3整除？
3．設數列{an}和{bn}滿足a0=1,b0=0，且

求證：an (n=0,1,2,…)是完全平方數。
4．無窮正實數數列{xn}具有以下性質：x0=1，xi+1<xi (i=0,1,2,…),
（1）求證：對具有上述性質的任一數列，總能找到一個n≥1，使 ≥3.999均成立；
（2）尋求這樣的一個數列使不等式 <4對任一n均成立。
5．設x1,x2,…,xn是各項都不大于的正整數序列且滿足xk=xk-1-xk-2(k=3,4,…,n)①.試問這樣的序列最多有多少項？
6．設a1=a2= ，且當n=3,4,5,…時，an= ,
(?)求數列{an}的通項公式；(?)求證： 是整數的平方。
7．整數列u0,u1,u2,u3,…滿足u0=1，且對每個正整數n, un+1un-1=kuu，這里k是某個固定的正整數。如果u2000=2000，求k的所有可能的值。
8．求證：存在無窮有界數列{xn}，使得對任何不同的m, k，有xm-xk≥
9.已知n個正整數a0,a1,…，an和實數q，其中0<q<1，求證：n個實數b0,b1,…，bn和滿足：（1）ak<bk(k=1,2,…,n)；
（2）q< < (k=1,2,…,n)；
（3）b1+b2+…+bn< (a0+a1+…+an).

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