新標(biāo)——回歸教材
不等式
1、不等式的性質(zhì):
名稱(chēng)不等式名稱(chēng)不等式
對(duì)稱(chēng)性 (充要條)
傳遞性

可加性 (充要條)
同向不等式可加性:

異向不等式可減性:

可乘性
同向正數(shù)不等式可乘性:

異向正數(shù)不等式可除性:

乘方法則
開(kāi)方法則

倒數(shù)法則
常用結(jié)論 (充要條)

注:表中是等價(jià)關(guān)系的是解、證明不等式的依據(jù),其它的僅僅是證明不等式的依據(jù).
典例:1)對(duì)于實(shí)數(shù) 中,給出下列命題:① ;② ;
③ ;④ ;⑤ ;
⑥ ;⑦ ;⑧ .
其中正確的命題是 ②③⑥⑦⑧ .
2)已知 , ,則 的取值范圍是 ;
3)已知 ,且 則 的取值范圍是 .
2、不等式大小比較的常用方法:
(1)作差:作差后通過(guò)分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得出結(jié)果;
(2)作商(常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式);
(3)分析法;(4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;(6)利用函數(shù)的單調(diào)性;
(7)尋找中間量或放縮法;(8)圖象法.其中比較法(作差、作商)是最基本的方法.
典例:1)設(shè) ,比較 的大小
答案:①當(dāng) 時(shí), (在 時(shí)取“=”);
②當(dāng) 時(shí), (在 時(shí)取“=”);
2)已知 ,試比較 的大小.( 答: )
3)設(shè) , , ,試比較 的大小(答: );
4)比較1+ 與 的大小.
答:當(dāng) 或 時(shí),1+ ＞ ;
當(dāng) 時(shí),1+ ＜ ;當(dāng) 時(shí),1+ ＝
5)若 ,且 ,比較 的大小.(答: )
3.利用重要不等式求函數(shù)最值:“一正二定三相等,和定積最大,積定和最小”.
典例:1)下列命題中正確的是( B )
A. 的最小值是2 B. 的最大值是
C. 的最小值是2 D. 的最小值是 ;
2)若 ,則 的最小值是 ;
3)已知 ,且 ,則 的最小值為18;
變式①:已知 ,則 的最小值為 18 ;
②:已知 ,且 ,則 的最大值為 1 ;
③:已知 ,且 ,則 的最小值為 9 ;
4.常用不等式有:(1) 當(dāng) 時(shí)取=號(hào))
(2) 當(dāng) 時(shí)取=號(hào))
上式從左至右的結(jié)構(gòu)特征為:“平方和”不小于“和平方之半”不小于“積兩倍”.
(3)真分?jǐn)?shù)性質(zhì)定理:若 ,則 (糖水的濃度問(wèn)題).
典例:若 ,滿足 ,則 的取值范圍是¬ .
5、證明不等式的方法:比較法、分析法、綜合法和放縮法.
比較法的步驟是:作差(商)后通過(guò)分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號(hào)或與1的大小,然后作出結(jié)論.)
常用的放縮技巧有: (右邊當(dāng) 時(shí)成立)
　　　　
典例:1)已知 ,求證: ;
2)已知 ,求證: ;
3)已知 ,且 ,求證: ;
4)若 是不全相等的正數(shù),求證: ;
5)若 ,求證: ;
6)求證: .
6.常系數(shù)一元二次不等式的解法:判別式－圖象法
步驟:(1)化一般形式: ,其中 ;
(2)求根的情況: ;
(3)由圖寫(xiě)解集:考慮 圖象得解.
典例:解不等式 .(答: )
注:解一元二次不等式的過(guò)程實(shí)際上是一種函數(shù)、方程與不等式思維的轉(zhuǎn)換過(guò)程,從中我們不難看出“三個(gè)二次”關(guān)系是核心,即一元二次不等式解集定值端點(diǎn)(非正負(fù)無(wú)窮大)是對(duì)應(yīng)一元二次方程(函數(shù))的根(零點(diǎn)).
典例:若關(guān)于 的不等式 的解集為 ,解關(guān)于 的不等式 .(答: )
7.簡(jiǎn)單的一元高次不等式的解法:標(biāo)根法:
其步驟是:(1)分解成若干個(gè)一次因式的積,并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正;
(2)將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上,從最大根右上方依次通過(guò)每一點(diǎn)畫(huà)曲線(奇穿偶回);
(3)根據(jù)曲線顯現(xiàn) 的符號(hào)變化規(guī)律,寫(xiě)出不等式的解集.
典例:1)解不等式 .(答: 或 );
2)不等式 的解集是 ;
3)設(shè)函數(shù) 、 的定義域都是 ,且 的解集為 , 的解集為 ,則不等式 的解集為 ;
4)要使?jié)M足關(guān)于 的不等式 (解集非空)的每一個(gè) 的值至少滿足不等式 和 中的一個(gè),則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 .
8.分式不等式的解法:
分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0,再通分并將分子分母分解因式,并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正,最后用標(biāo)根法求解.解分式不等式時(shí),一般不能去分母,但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母.
典例:1)解不等式 (答: );
2)關(guān)于 的不等式 的解集為 ,則關(guān)于 的不等式 的解集為 .
注:和一元二次不等式一樣,不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值.
9.絕對(duì)值不等式的解法:(了解)
(1)分域討論法(最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集)
典例:解不等式 ;(答: );
(3)利用絕對(duì)值的定義;(3)數(shù)形結(jié)合;
典例:解不等式 ;(答: )
(4)兩邊平方
典例:若不等式 對(duì) 恒成立,則實(shí)數(shù) 的取值范圍為
10、含參不等式的解法:通法是“定義域?yàn)榍疤?函數(shù)增減性為基礎(chǔ),分類(lèi)討論是關(guān)鍵．”
注意:①解完之后要寫(xiě)上:“綜上,原不等式的解集是…”.
②按參數(shù)討論,最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說(shuō)明其解集;但若按未知數(shù)討論,最后應(yīng)求并集.
典例:1)若 ,則 的取值范圍是 ;
2)解不等式 .
(答: 時(shí), ; 時(shí), 或 ; 時(shí), 或 )
含參數(shù)的一元二次不等式的解法:三級(jí)討論法.
一般地,設(shè)關(guān)于 的含參數(shù) 的一元二次形式的不等式為: .
(1)第一級(jí)討論:討論二次項(xiàng)系數(shù) 是否為零;
(2)第二級(jí)討論:若 時(shí),先觀察其左邊能否因式分解,否則討論 的符號(hào);
(3)第三級(jí)討論:若 時(shí),先觀察兩根 大小是否確定,否則討論兩根的大小.
注意:每一級(jí)的討論中,都有三種情況可能出現(xiàn),即“>”,“=”,“<”,應(yīng)做到不重不漏.
典例:1)解關(guān)于 的不等式 .
答:①當(dāng) 時(shí), ;②當(dāng) 時(shí), ;
③當(dāng) 時(shí), ;④當(dāng) 時(shí),
⑤當(dāng) 時(shí),
2)解關(guān)于 的不等式 .
答:①當(dāng) 時(shí), ;②當(dāng) 時(shí),
③當(dāng) 時(shí), ;④當(dāng) 時(shí), ;⑤當(dāng) 時(shí),
提醒:解不等式是求不等式的解集,最后務(wù)必有集合的形式表示.
11.不等式的恒成立、能成立、恰成立等問(wèn)題:不等式恒成立問(wèn)題的常規(guī)處理方式？
常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題,也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征,利用數(shù)形結(jié)合法.
1).恒成立問(wèn)題★★★
若不等式 在區(qū)間 上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間 上
若不等式 在區(qū)間 上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間 上
典例:1)設(shè)實(shí)數(shù) 滿足 ,當(dāng) 時(shí), 的取值范圍是 ;
2)不等式 對(duì)一切實(shí)數(shù) 恒成立,求實(shí)數(shù) 的取值范圍 ;
3)若 對(duì)滿足 的所有 都成立,則 的取值范圍 ;
4)若不等式 對(duì)于任意正整數(shù) 恒成立,則實(shí)數(shù) 的取值范圍是
5)若不等式 對(duì) 恒成立,則 的取值范圍
2).能成立問(wèn)題
若在區(qū)間 上存在實(shí)數(shù) 使不等式 成立,則等價(jià)于在區(qū)間 上 ;
若在區(qū)間 上存在實(shí)數(shù) 使不等式 成立,則等價(jià)于在區(qū)間 上的 .
注意:若方程 有解,則等價(jià)于
典例:1)已知 在實(shí)數(shù)集 上的解集不是空集,求實(shí)數(shù) 的取值范圍
2)已知 函數(shù) 的定義域?yàn)?.
①若 ,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.(答: )
②若方程 在 內(nèi)有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.(答: )
3). 恰成立問(wèn)題
若不等式 在區(qū)間 上恰成立,則等價(jià)于不等式 的解集為 ;
若不等式 在區(qū)間 上恰成立,則等價(jià)于不等式 的解集為 .
12..簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題:
(1)二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域
①一般地,二元一次不等式 在平面直角坐標(biāo)系中表示直線 某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域(半平面)不含邊界線;

本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaosan/53419.html

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