第17－20課時： 解析幾何問題的題型與方法

一．復習目標：
1.能正確導出由一點和斜率確定的直線的點斜式方程；從直線的點斜式方程出發(fā)推導出直線方程的其他形式，斜截式、兩點式、截距式；能根據已知條件，熟練地選擇恰當的方程形式寫出直線的方程，熟練地進行直線方程的不同形式之間的轉化，能利用直線的方程來研究與直線有關的問題了.
2.能正確畫出二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域，知道線性規(guī)劃的意義，知道線性約束條件、線性目標函數、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念，能正確地利用圖解法解決線性規(guī)劃問題，并用之解決簡單的實際問題，了解線性規(guī)劃方法在數學方面的應用；會用線性規(guī)劃方法解決一些實際問題.
3．理解“曲線的方程”、“方程的曲線”的意義，了解解析幾何的基本思想，掌握求曲線的方程的方法.
4．掌握圓的標準方程： （r＞0），明確方程中各字母的幾何意義，能根據圓心坐標、半徑熟練地寫出圓的標準方程，能從圓的標準方程中熟練地求出圓心坐標和半徑，掌握圓的一般方程： ，知道該方程表示圓的充要條件并正確地進行一般方程和標準方程的互化，能根據條件，用待定系數法求出圓的方程，理解圓的參數方程 （θ為參數），明確各字母的意義，掌握直線與圓的位置關系的判定方法.
5．正確理解橢圓、雙曲線和拋物線的定義，明確焦點、焦距的概念；能根據橢圓、雙曲線和拋物線的定義推導它們的標準方程；記住橢圓、雙曲線和拋物線的各種標準方程；能根據條件，求出橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程；掌握橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質：范圍、對稱性、頂點、離心率、準線（雙曲線的漸近線）等，從而能迅速、正確地畫出橢圓、雙曲線和拋物線；掌握a、b、c、p、e之間的關系及相應的幾何意義；利用橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質，確定橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程，并解決簡單問題；理解橢圓、雙曲線和拋物線的參數方程，并掌握它的應用；掌握直線與橢圓、雙曲線和拋物線位置關系的判定方法.
二．考試要求：
(一)直線和圓的方程
1．理解直線的斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，掌握直線方程的點斜式、兩點式、一般式，并能根據條件熟練地求出直線方程。
2．掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點到直線的距離公式，能夠根據直線的方程判斷兩條直線的位置關系。
3．了解二元一次不等式表示平面區(qū)域。
4．了解線性規(guī)劃的意義，并會簡單的應用。
5．了解解析幾何的基本思想，了解坐標法。
6．掌握圓的標準方程和一般方程，了解參數方程的概念，理解圓的參數方程。
(二)圓錐曲線方程
1．掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質。
2．掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質。
3．掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質。
4．了解圓錐曲線的初步應用。
三．過程：
（Ⅰ）基礎知識詳析
高考解析幾何試題一般共有4題(2個選擇題, 1個填空題, 1個解答題)，共計30分左右，考查的知識點約為20個左右。 其命題一般緊扣課本，突出重點，全面考查。選擇題和填空題考查直線、圓、圓錐曲線、參數方程和極坐標系中的基礎知識。解答題重點考查圓錐曲線中的重要知識點，通過知識的重組與鏈接，使知識形成網絡，著重考查直線與圓錐曲線的位置關系，求解有時還要用到平幾的基本知識和向量的基本方法，這一點值得強化。
(一)直線的方程
1.點斜式： ；2. 截距式： ；
3.兩點式： ；4. 截距式： ；
5.一般式： ，其中A、B不同時為0.
(二)兩條直線的位置關系
兩條直線 ， 有三種位置關系：平行（沒有公共點）；相交（有且只有一個公共點）；重合（有無數個公共點）.在這三種位置關系中，我們重點研究平行與相交.
設直線 ： = + ，直線 ： = + ，則
∥ 的充要條件是 = ，且 = ； ⊥ 的充要條件是 =-1.
(三)線性規(guī)劃問題
1．線性規(guī)劃問題涉及如下概念：
⑴存在一定的限制條件，這些約束條件如果由x、y的一次不等式（或方程）組成的不等式組來表示，稱為線性約束條件.
⑵都有一個目標要求，就是要求依賴于x、y的某個函數（稱為目標函數）達到最大值或最小值.特殊地，若此函數是x、y的一次解析式，就稱為線性目標函數.
⑶求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值問題，統稱為線性規(guī)劃問題.
⑷滿足線性約束條件的解（x，y）叫做可行解.
⑸所有可行解組成的集合，叫做可行域.
⑹使目標函數取得最大值或最小值的可行解，叫做這個問題的最優(yōu)解.
2．線性規(guī)劃問題有以下基本定理：
⑴ 一個線性規(guī)劃問題，若有可行解，則可行域一定是一個凸多邊形.
⑵ 凸多邊形的頂點個數是有限的.
⑶ 對于不是求最優(yōu)整數解的線性規(guī)劃問題，最優(yōu)解一定在凸多邊形的頂點中找到.
3.線性規(guī)劃問題一般用圖解法.
(四)圓的有關問題
1.圓的標準方程
（r＞0），稱為圓的標準方程，其圓心坐標為（a，b），半徑為r.
特別地，當圓心在原點（0，0），半徑為r時，圓的方程為 .
2.圓的一般方程
（ ＞0）稱為圓的一般方程，
其圓心坐標為（ ， ），半徑為 .
當 =0時，方程表示一個點（ ， ）；
當 ＜0時，方程不表示任何圖形.
3.圓的參數方程
圓的普通方程與參數方程之間有如下關系：
（θ為參數）
（θ為參數）
(五)橢圓及其標準方程
1.橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內動點與兩定點 、 的距離的和大于 這個條件不可忽視.若這個距離之和小于 ，則這樣的點不存在；若距離之和等于 ，則動點的軌跡是線段 .
2.橢圓的標準方程： （ ＞ ＞0）， （ ＞ ＞0）.
3.橢圓的標準方程判別方法：判別焦點在哪個軸只要看分母的大�。喝绻� 項的分母大于 項的分母，則橢圓的焦點在x軸上，反之，焦點在y軸上.
4.求橢圓的標準方程的方法：⑴ 正確判斷焦點的位置；⑵ 設出標準方程后，運用待定系數法求解.
(六)橢圓的簡單幾何性質
1.橢圓的幾何性質：設橢圓方程為 （ ＞ ＞0）.
⑴ 范圍： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以橢圓位于直線x= 和y= 所圍成的矩形里.
⑵ 對稱性：分別關于x軸、y軸成軸對稱，關于原點中心對稱.橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心.
⑶ 頂點：有四個 （-a，0）、 （a，0） （0，-b）、 （0，b）.
線段 、 分別叫做橢圓的長軸和短軸.它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長. 所以橢圓和它的對稱軸有四個交點，稱為橢圓的頂點.
⑷ 離心率：橢圓的焦距與長軸長的比 叫做橢圓的離心率.它的值表示橢圓的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1時，橢圓越扁；反之，e越接近于0時，橢圓就越接近于圓.
2.橢圓的第二定義
⑴ 定義：平面內動點M與一個頂點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數 （e＜1＝時，這個動點的軌跡是橢圓.
⑵ 準線：根據橢圓的對稱性， （ ＞ ＞0）的準線有兩條，它們的方程為 .對于橢圓 （ ＞ ＞0）的準線方程，只要把x換成y就可以了，即 .
3.橢圓的焦半徑：由橢圓上任意一點與其焦點所連的線段叫做這點的焦半徑.
設 （-c，0）， （c，0）分別為橢圓 （ ＞ ＞0）的左、右兩焦點，M（x，y）是橢圓上任一點，則兩條焦半徑長分別為 ， .
橢圓中涉及焦半徑時運用焦半徑知識解題往往比較簡便.
橢圓的四個主要元素a、b、c、e中有 = + 、 兩個關系，因此確定橢圓的標準方程只需兩個獨立條件.
(七)橢圓的參數方程
橢圓 （ ＞ ＞0）的參數方程為 （θ為參數）.
說明 ⑴ 這里參數θ叫做橢圓的離心角.橢圓上點P的離心角θ與直線OP的傾斜角α不同： ；
⑵ 橢圓的參數方程可以由方程 與三角恒等式 相比較而得到，所以橢圓的參數方程的實質是三角代換.
(八)雙曲線及其標準方程
1.雙曲線的定義：平面內與兩個定點 、 的距離的差的絕對值等于常數2a（小于 ）的動點 的軌跡叫做雙曲線.在這個定義中，要注意條件2a＜ ，這一條件可以用“三角形的兩邊之差小于第三邊”加以理解.若2a= ，則動點的軌跡是兩條射線；若2a＞ ，則無軌跡.
若 ＜ 時，動點 的軌跡僅為雙曲線的一個分支，又若 ＞ 時，軌跡為雙曲線的另一支.而雙曲線是由兩個分支組成的，故在定義中應為“差的絕對值”.
2.雙曲線的標準方程： 和 （a＞0，b＞0）.這里 ，其中 =2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關系與橢圓中的異同.
3.雙曲線的標準方程判別方法是：如果 項的系數是正數，則焦點在x軸上；如果 項的系數是正數，則焦點在y軸上.對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點在哪一條坐標軸上.
4.求雙曲線的標準方程，應注意兩個問題：⑴ 正確判斷焦點的位置；⑵ 設出標準方程后，運用待定系數法求解.
(九)雙曲線的簡單幾何性質
1.雙曲線 的實軸長為2a，虛軸長為2b，離心率 ＞1，離心率e越大，雙曲線的開口越大.
2. 雙曲線 的漸近線方程為 或表示為 .若已知雙曲線的漸近線方程是 ，即 ，那么雙曲線的方程具有以下形式：
，其中k是一個不為零的常數.
3.雙曲線的第二定義：平面內到定點（焦點）與到定直線（準線）距離的比是一個大于1的常數（離心率）的點的軌跡叫做雙曲線.對于雙曲線 ，它的焦點坐標是（-c，0）和（c，0），與它們對應的準線方程分別是 和 .
在雙曲線中，a、b、c、e四個元素間有 與 的關系，與橢圓一樣確定雙曲線的標準方程只要兩個獨立的條件.
(十)拋物線的標準方程和幾何性質
1．拋物線的定義：平面內到一定點（F）和一條定直線（l）的距離相等的點的軌跡叫拋物線。這個定點F叫拋物線的焦點，這條定直線l叫拋物線的準線。
需強調的是，點F不在直線l上，否則軌跡是過點F且與l垂直的直線，而不是拋物線。
2．拋物線的方程有四種類型：
、 、 、 .
對于以上四種方程：應注意掌握它們的規(guī)律：曲線的對稱軸是哪個軸，方程中的該項即為一次項；一次項前面是正號則曲線的開口方向向x軸或y軸的正方向；一次項前面是負號則曲線的開口方向向x軸或y軸的負方向。
3．拋物線的幾何性質，以標準方程y2=2px為例
（1）范圍：x≥0；
（2）對稱軸：對稱軸為y=0，由方程和圖像均可以看出；
（3）頂點：O（0，0），注：拋物線亦叫無心圓錐曲線（因為無中心）；
（4）離心率：e=1，由于e是常數，所以拋物線的形狀變化是由方程中的p決定的；
（5）準線方程 ；
（6）焦半徑公式：拋物線上一點P（x1，y1），F為拋物線的焦點，對于四種拋物線的焦半徑公式分別為（p＞0）：

（7）焦點弦長公式：對于過拋物線焦點的弦長，可以用焦半徑公式推導出弦長公式。設過拋物線y2=2px（p＞O）的焦點F的弦為AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的傾斜角為α，則有①AB=x +x +p


以上兩公式只適合過焦點的弦長的求法，對于其它的弦，只能用“弦長公式”來求。
（8）直線與拋物線的關系：直線與拋物線方程聯立之后得到一元二次方程：x +bx+c=0，當a≠0時，兩者的位置關系的判定和橢圓、雙曲線相同，用判別式法即可；但如果a=0，則直線是拋物線的對稱軸或是和對稱軸平行的直線，此時，直線和拋物線相交，但只有一個公共點。
(十一)軌跡方程
⑴ 曲線上的點的坐標都是這個方程的解；
⑵ 以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.
那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線（圖形或軌跡）.

（十二）注意事項
1． ⑴ 直線的斜率是一個非常重要的概念，斜率k反映了直線相對于x軸的傾斜程度.當斜率k存在時，直線方程通常用點斜式或斜截式表示，當斜率不存在時，直線方程為x=a（a∈R）.因此，利用直線的點斜式或斜截式方程解題時，斜率k存在與否，要分別考慮.
⑵ 直線的截距式是兩點式的特例，a、b分別是直線在x軸、y軸上的截距，因為a≠0，b≠0，所以當直線平行于x軸、平行于y軸或直線經過原點，不能用截距式求出它的方程，而應選擇其它形式求解.
⑶求解直線方程的最后結果，如無特別強調，都應寫成一般式.
⑷當直線 或 的斜率不存在時，可以通過畫圖容易判定兩條直線是否平行與垂直
⑸在處理有關圓的問題，除了合理選擇圓的方程，還要注意圓的對稱性等幾何性質的運用，這樣可以簡化計算.
2. ⑴用待定系數法求橢圓的標準方程時，要分清焦點在x軸上還是y軸上，還是兩種都存在.
⑵注意橢圓定義、性質的運用，熟練地進行a、b、c、e間的互求，并能根據所給的方程畫出橢圓.
⑶求雙曲線的標準方程 應注意兩個問題：⑴ 正確判斷焦點的位置；⑵ 設出標準方程后，運用待定系數法求解.
⑷雙曲線 的漸近線方程為 或表示為 .若已知雙曲線的漸近線方程是 ，即 ，那么雙曲線的方程具有以下形式：
，其中k是一個不為零的常數.
⑸雙曲線的標準方程有兩個 和 （a＞0，b＞0）.這里 ，其中 =2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關系與橢圓中的異同.
⑹求拋物線的標準方程，要線根據題設判斷拋物線的標準方程的類型，再求拋物線的標準方程，要線根據題設判斷拋物線的標準方程的類型，再由條件確定參數p的值.同時，應明確拋物線的標準方程、焦點坐標、準線方程三者相依并存，知道其中拋物線的標準方程、焦點坐標、準線方程三者相依并存，知道其中一個，就可以求出其他兩個.
（Ⅱ）范例分析
例1、求與直線3x+4y+12=0平行，且與坐標軸構成的三角形面積是24的直線l的方程。
分析：滿足兩個條件才能確定一條直線。一般地，求直線方程有兩個解法，即用其中一個條件列出含待定系數的方程，再用另一個條件求出此參數。
解法一：先用“平行”這個條件設出l 的方程為3x+4y+m=0①再用“面積”條件去求m，∵直線l交x軸于 ，交y軸于 由 ，得 ，代入①得所求直線的方程為：
解法二：先用面積這個條件列出l的方程，設l在x軸上截距離a，在y軸上截距b，則有 ，因為l的傾角為鈍角，所以a、b同號，ab=ab，l的截距式為 ，即48x+a2y-48a=0②又該直線與3x+4y+2=0平行，∴ ，∴ 代入②得所求直線l 的方程為
說明：與直線Ax+By+C=0平行的直線可寫成Ax+By+C1=0的形式；與Ax+By+C=0垂直的直線的方程可表示為Bx-Ay+C2=0的形式。

例2、若直線mx+y+2=0與線段AB有交點，其中A(-2, 3)，B(3,2)，求實數m的取值范圍。
解：直線mx+y+2=0過一定點C(0, -2)，直線mx+y+2=0實際上表示的是過定點(0, -2)的直線系，因為直線與線段AB有交點，則直線只能落在∠ABC的內部，設BC、CA這兩條直線的斜率分別為k1、k2，則由斜率的定義可知，直線mx+y+2=0的斜率k應滿足k≥k1或k≤k2， ∵A(-2, 3) B(3, 2)
∴
∴-m≥ 或-m≤ 即m≤ 或m≥
說明：此例是典型的運用數形結合的思想來解題的問題，這里要清楚直線mx+y+2=0的斜率-m應為傾角的正切，而當傾角在(0°,90°)或(90°,180°)內，角的正切函數都是單調遞增的，因此當直線在∠ACB內部變化時，k應大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，當A、B兩點的坐標變化時，也要能求出m的范圍。

例3、已知x、y滿足約束條件
x≥1，
x-3y≤-4，
3x+5y≤30，
求目標函數z=2x-y的最大值和最小值.
解：根據x、y滿足的約束條件作出可行域，即如圖所示的陰影部分（包括邊界）.
作直線 ：2x-y=0，再作一組平行于 的直線 ：2x-y=t，t∈R.
可知，當 在 的右下方時，直線 上的點（x，y）滿足2x-y＞0，即t＞0，而且直線 往右平移時，t隨之增大.當直線 平移至 的位置時，直線經過可行域上的點B，此時所對應的t最大；當 在 的左上方時，直線 上的點（x，y）滿足2x-y＜0，即t＜0，而且直線 往左平移時，t隨之減小.當直線 平移至 的位置時，直線經過可行域上的點C，此時所對應的t最小.
x-3y+4=0，
由 解得點B的坐標為（5，3）；
3x+5y-30=0，
x=1，
由 解得點C的坐標為（1， ）.
3x+5y-30=0，
所以， =2×5-3=7； =2×1- = .

例4、某運輸公司有10輛載重量為6噸的A型卡車與載重量為8噸的B型卡車，有11名駕駛員.在建筑某段高速公路中，該公司承包了每天至少搬運480噸瀝青的任務.已知每輛卡車每天往返的次數為A型卡車8次，B型卡車7次；每輛卡車每天的成本費A型車350元，B型車400元.問每天派出A型車與B型車各多少輛，公司所花的成本費最低，最低為多少？
解：設每天派出A型車與B型車各x、y輛，并設公司每天的成本為z元.由題意，得
x≤10，
y≤5，
x+y≤11，
48x+56y≥60，
x，y∈N，
且z=350x+400y.
x≤10，
y≤5，
即 x+y≤11，
6x+7y≥55，
x，y∈N，
作出可行域，作直線 ：350x+400y=0，即7x+8y=0.
作出一組平行直線：7x+8y=t中（t為參數）經過可行域內的點和原點距離最近的直線，此直線經過6x+7y=60和y=5的交點A（ ，5），由于點A的坐標不都是整數，而x，y∈N，所以可行域內的點A（ ，5）不是最優(yōu)解.
為求出最優(yōu)解，必須進行定量分析.
因為，7× +8×5≈69.2，所以經過可行域內的整點（橫坐標和縱坐標都是整數的點）且與原點最小的直線是7x+8y=10，在可行域內滿足該方程的整數解只有x=10，y=0，所以（10，0）是最優(yōu)解，即當 通過B點時，z=350×10+400×0=3500元為最小.
答：每天派出A型車10輛不派B型車，公司所化的成本費最低為3500元.

例5、已知點T是半圓O的直徑AB上一點，AB=2、OT=t (0(1)寫出直線 的方程；
（2）計算出點P、Q的坐標；
（3）證明：由點P發(fā)出的光線，經AB反射后，反射光線通過點Q.
解: (1 ) 顯然 , 于是 直線 的方程為 ；
（2）由方程組 解出 、 ；
（3） , .
由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數知，由點P發(fā)出的光線經點T反射，反射光線通過點Q.
說明：需要注意的是, Q點的坐標本質上是三角中的萬能公式, 有趣嗎?

例6、設P是圓M：(x-5)2+(y-5)2=1上的動點，它關于A(9, 0)的對稱點為Q，把P繞原點依逆時針方向旋轉90°到點S，求SQ的最值。
解：設P(x, y)，則Q(18-x, -y)，記P點對應的復數為x+yi，則S點對應的復數為：
(x+yi)?i=-y+xi，即S(-y, x)
∴

其中 可以看作是點P到定點B(9, -9)的距離，共最大值為 最小值為 ，則
SQ的最大值為 ，SQ的最小值為

例7、 已知⊙M： 軸上的動點，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點，（1）如果 ，求直線MQ的方程；
（2）求動弦AB的中點P的軌跡方程.
解:（1）由 ，可得 由射影定理，得 在Rt△MOQ中，
，
故 ，
所以直線AB方程是

（2）連接MB，MQ，設 由
點M，P，Q在一直線上，得
由射影定理得
即 把（*）及（**）消去a，
并注意到 ，可得
說明：適時應用平面幾何知識，這是快速解答本題的要害所在。

例8、直線 過拋物線 的焦點，且與拋物線相交于A 兩點.（1）求證： ;
（2）求證：對于拋物線的任意給定的一條弦CD，直線l不是CD的垂直平分線.

解: （1）易求得拋物線的焦點 .
若l⊥x軸，則l的方程為 .
若l不垂直于x軸，可設 ,代入拋物線方程整理得 .
綜上可知 .
（2）設 ，則CD的垂直平分線 的方程為
假設 過F，則 整理得

， .
這時 的方程為y=0，從而 與拋物線 只相交于原點. 而l與拋物線有兩個不同的交點，因此 與l不重合，l不是CD的垂直平分線.
說明：此題是課本題的深化，課本是高考試題的生長點，復習要重視課本。

例9、已知橢圓 ，能否在此橢圓位于y軸左側的部分上找到一點M，使它到左準線的距離為它到兩焦點F1、F2距離的等比中項，若能找到，求出該點的坐標，若不能找到，請說明理由。
解：假設存在滿足條件的點，設M（x1，y1）a2=4，b2=3，∴a=2， ，c=1，∴ ，
，點M到橢圓左準線的距離
，∴ ，∴ ，∴ 或 ，這與x1∈[-2，0)相矛盾，∴滿足條件的點M不存在。
例10、已知橢圓中心在原點，焦點在 軸上，焦距為4，離心率為 ，
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設橢圓在y軸正半軸上的焦點為M，又點A和點B在橢圓上，且M分有向線段 所成的比為2，求線段AB所在直線的方程。
解：（Ⅰ）設橢圓方程為 由2c=4得c=2 又
故a=3， ∴所求的橢圓方程為
（Ⅱ）若k 不存在，則 ，若k 存在，則設直線AB的方程為：y=kx+2
又設A
由 得
① ②
∵點M坐標為M（0，2） ∴
由 ∴
∴ 代入①、②得 … ③ ④
由③、④ 得 ∴
∴線段AB所在直線的方程為： 。
說明：有向線段所成的比，線段的定比分點等概念，本身就是解析幾何研究的一類重要問題。向量概念的引入，使這類問題的解決顯得簡潔而流暢。求解這類問題可以用定比分點公式，也可以直接用有向線段的比解題。
另外，向量的長度，點的平移等與解析幾何都有著千絲萬縷的聯系，向量與解析幾何的結合，為解決這些問題開辟了新的解題途徑。

例11、已知直線l與橢圓 有且僅有一個交點Q，且與x軸、y軸分別交于R、S，求以線段SR為對角線的矩形ORPS的一個頂點P的軌跡方程．
解：從直線 所處的位置, 設出直線 的方程,
由已知，直線l不過橢圓的四個頂點，所以設直線l的方程為
代入橢圓方程 得

化簡后，得關于 的一元二次方程

于是其判別式
由已知，得△=0．即 ①
在直線方程 中，分別令y=0，x=0，求得
令頂點P的坐標為（x，y）， 由已知，得
代入①式并整理，得 , 即為所求頂點P的軌跡方程．
說明：方程 形似橢圓的標準方程, 你能畫出它的圖形嗎?
例12、已知雙曲線 的離心率 ，過 的直線到原點的距離是 （1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線 交雙曲線于不同的點C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值.
解：∵（1） 原點到直線AB： 的距離 .
故所求雙曲線方程為
（2）把 中消去y，整理得 .
設 的中點是 ，則


即
故所求k=± .
說明：為了求出 的值, 需要通過消元, 想法設法建構 的方程.

例13、過點 作直線 與橢圓3x2+4y2=12相交于A、B兩點，O為坐標原點，求△OAB面積的最大值及此時直線傾斜角的正切值。
分析：若直接用點斜式設 的方程為 ，則要求 的斜率一定要存在，但在這里 的斜率有可能不存在，因此要討論斜率不存在的情形，為了避免討論，我們可以設直線 的方程為 ，這樣就包含了斜率不存在時的情形了，從而簡化了運算。
解：設A（x1，y1），B（x2，y2）， ：

把 代入橢圓方程得： ，即
， ，



∴ ，此時
令直線的傾角為 ，則
即△OAB面積的最大值為 ，此時直線傾斜角的正切值為 。

例14、（2003年江蘇高考題）已知常數 ，向量
經過原點O以 為方向向量的直線與經過定點A（0，a）以 為方向向量的直線相交于點P，其中 試問：是否存在兩個定點E、F，使得PE+PF為定值.若存在，求出E、F的坐標；若不存在，說明理由.
解：∵ =（1，0）， =（0，a）， ∴ +λ =（λ，a）， －2λ =（1，－2λa）.
因此，直線OP和AP的方程分別為 和 .
消去參數λ，得點 的坐標滿足方程 .
整理得 ……①
因為 所以得：
（i）當 時，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點E和F；
（ii）當 時，方程①表示橢圓，焦點 和 為合乎題意的兩個定點；
（iii）當 時，方程①也表示橢圓，焦點 和 為合乎題意的兩個定點.
說明：由于向量可以用一條有向線段來表示，有向線段的方向可以決定解析幾何中直線的斜率，故直線的方向向量與解析幾何中的直線有著天然的聯系。求解此類問題的關鍵是：根據直線的方向向量得出直線方程，再轉化為解析幾何問題解決。

例15、已知橢圓 的長、短軸端點分別為A、B，從此橢圓上一點M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點 ，向量 與 是共線向量。
（1）求橢圓的離心率e；
（2）設Q是橢圓上任意一點， 、 分別是左、右焦點，求∠ 的取值范圍；
解：（1）∵ ，∴ 。
∵ 是共線向量，∴ ，∴b=c,故 。
（2）設

當且僅當 時，cosθ=0，∴θ 。
說明：由于共線向量與解析幾何中平行線、三點共線等具有異曲同工的作用，因此，解析幾何中與平行線、三點共線等相關的問題均可在向量共線的新情景下設計問題。求解此類問題的關鍵是：正確理解向量共線與解析幾何中平行、三點共線等的關系，把有關向量的問題轉化為解析幾何問題。

例16、一條斜率為1的直線 與離心率為 的橢圓C： （ ）交于P、Q，兩點，直線 與Y軸交于點R，且 ， ，求直線 和橢圓C的方程。
解： 橢圓離心率為 ， ，
所以橢圓方程為 ，設 方程為： ，
由 消去 得

……（1） ……（2）
所以
而
所以
所以 ……（3）又 ， ， 從而 ……（4） 由（1）（2）（4）得 ……（5）
由（3）（5）解得 ， 適合 ，
所以所求直線 方程為： 或 ；橢圓C的方程為
說明：向量數量積的坐標表示，構建起向量與解析幾何的密切關系，使向量與解析幾何融為一體。求此類問題的關鍵是：利用向量數量積的坐標表示，溝通向量與解析幾何的聯系。體現了向量的工具性。

例17、已知橢圓C的中心在原點，焦點F1、F2在x軸上，點P為橢圓上的一個動點，且∠F1PF2的最大值為90°，直線l過左焦點F1與橢圓交于A、B兩點，△ABF2的面積最大值為12．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）求橢圓C的方程．
解法一：（1）設 , 對 由余弦定理, 得

， 解出
（2）考慮直線 的斜率的存在性，可分兩種情況：
i) 當k存在時，設l的方程為 ………………①
橢圓方程為
由 得 .
于是橢圓方程可轉化為 ………………②
將①代入②，消去 得 ,
整理為 的一元二次方程，得 .
則x1、x2是上述方程的兩根．且
，
，
AB邊上的高


ii) 當k不存在時，把直線 代入橢圓方程得

由①②知S的最大值為 由題意得 =12 所以
故當△ABF2面積最大時橢圓的方程為：
解法二：設過左焦點的直線方程為： …………①
橢圓的方程為：
由 得： 于是橢圓方程可化為： ……②
把①代入②并整理得：
于是 是上述方程的兩根.
,
AB邊上的高 ,
從而

當且僅當m=0取等號，即
由題意知 , 于是 .
故當△ABF2面積最大時橢圓的方程為：

例18、（2002年天津高考題）已知兩點M（-1，0），N（1，0）且點P使 成公差小于零的等差數列，
（Ⅰ）點P的軌跡是什么曲線？
（Ⅱ）若點P坐標為 ， 為 的夾角，求tanθ。
解：（Ⅰ）記P（x,y），由M（-1，0）N（1，0）得

所以

于是， 是公差小于零的等差數列等價于
即
所以，點P的軌跡是以原點為圓心， 為半徑的右半圓。
（Ⅱ）點P的坐標為 。 。
因為 0〈 ， 所以
說明：在引入向量的坐標表示后，可以使向量運算代數化，這樣就可以將“形”和“數”緊密地結合在一起。向量的夾角問題融入解析幾何問題中，也就顯得十分自然。求解這類問題的關鍵是：先把向量用坐標表示，再用解析幾何知識結合向量的夾角公式使問題獲解；也可以把兩向量夾角問題轉化為兩直線所成角的問題，用數形結合方法使問題獲解。

（Ⅲ）、強化訓練
1、已知P是以 、 為焦點的橢圓 上一點，若 ，則橢圓的離心率為 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2、已知△ABC的頂點A(3, -1)，AB邊上的中線所在直線的方程為6x+10y-59=0，∠B的平分線所在直線的方程為：x-4y+10=0，求邊BC所在直線的方程。
3、求直線l2：7x-y+4=0到l1：x+y-2=0的角平分線的方程。
食物P食物Q食物R
維生素A（單位/kg）400600400
維生素B（單位/kg）800200400
成本（元/kg）654
4、已知三種食物P、Q、R的維生素含量與成本如下表所示.

現在將xkg的食物P和ykg的食物Q及zkg的食物R混合，制成100kg的混合物.如果這100kg的混合物中至少含維生素A44 000單位與維生素B48 000單位，那么x，y，z為何值時，混合物的成本最��？
5、某人有樓房一幢，室內面積共180 ，擬分隔成兩類房間作為旅游客房.大房間每間面積為18 ，可住游客5名，每名游客每天住宿費為40元；小房間每間面積為15 ，可住游客3名，每名游客每天住宿費為50元.裝修大房間每間需1000元，裝修小房間每間需600元.如果他只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿客房，他應隔出大房間和小房間各多少間，能獲得最大收益？
6、已知△ABC三邊所在直線方程AB：x-6=0，BC：x-2y-8=0，CA：x+2y=0，求此三角形外接圓的方程。
7、已知橢圓x2+2y2=12，A是x軸正方向上的一定點，若過點A，斜率為1的直線被橢圓截得的弦長為 ，求點A的坐標。
8、已知橢圓 （a＞b＞0）上兩點A、B，直線 上有兩點C、D，且ABCD是正方形。此正方形外接圓為x2+y2-2y-8=0，求橢圓方程和直線 的方程。
9、求以直線 為準線，原點為相應焦點的動橢圓短軸MN端點的軌跡方程。
10、若橢圓的對稱軸在坐標軸上，兩焦點與兩短軸端點正好是正方形的四個頂點，又焦點到同側長軸端點的距離為 ，求橢圓的方程。
11、已知直線 與橢圓 相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線 上.
（１）求此橢圓的離心率；
（2 ）若橢圓的右焦點關于直線 的對稱點的在圓 上，求此橢圓的方程.
12、設A（x1，y1）為橢圓x2+2y2=2上任意一點，過點A作一條直線 ，斜率為 ，又設d為原點到直線 的距離,r1、r2分別為點A到橢圓兩焦點的距離。求證： 為定值。
13、 某工程要將直線公路l一側的土石，通過公路上的兩個道口A和B，沿著道路AP、BP運往公路另一側的P處，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，試說明怎樣運土石最省工？
14、已知橢圓 （a＞b＞0），P為橢圓上除長軸端點外的任一點，F1、F2為橢圓的兩個焦點，（1）若 ， ，求證：離心率 ；（2）若 ，求證： 的面積為 。
15、在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC= 。DO⊥AB于O點，OA=OB，DO=2，曲線E過C點，動點P在E上運動，且保持 PA + PB 的值不變.
（1）建立適當的坐標系，求曲線E的方程；
（2）過D點的直線L與曲線E相交于不同的兩點M、N且M在D、N之間，設 ，
試確定實數 的取值范圍．
16、 （2004年北京春季高考） 已知點A（2，8）， 在拋物線 上， 的重心與此拋物線的焦點F重合（如圖）

（I）寫出該拋物線的方程和焦點F的坐標；
（II）求線段BC中點M的坐標； （III）求BC所在直線的方程。

（Ⅳ）、參考答案
1、解：設c為為橢圓半焦距，∵ 　∴
又 ∴
解得： 選（D）。
說明：垂直向量的引入為解決解析幾何問題開辟了新思路。求解此類問題的關鍵是利用向量垂直的充要條件：“ ”，促使問題轉化，然后利用數形結合解決問題。
2、解：設B(a, b)，B在直線BT上，∴a-4b+10=0① 又AB中點 在直線CM上，∴點M的坐標滿足方程6x+10y-59=0 ∴ ② 解①、②組成的方程組可得a=10，b=5 ∴B(10, 5)，又由角平分線的定義可知，直線BC到BT的角等于直線BT到直線BA的角，又 ∴ ∴ ，∴BC所在直線的方程為 即2x+9y-65=0
3、解法一：設l2到l1角平分線l的斜率為k，∵k1=-1，k2=7
∴ ，解之得k=-3或 ，由圖形可知k<0，
∴k=-3，又由 解得l1與l2的交點 ，
由點斜式得 即6x+2y-3=0
解法二：設l2到l1的角為θ，則 ，所以角θ為銳角，而 ，由二倍角公式可知 ∴ 或 為銳角，
∴ ，∴k=-3等同解法一。
解法三：設l：(x+y-2)+λ(7x-y+4)=0 即(1+7λ)x+(1-λ)y+(4λ-2)=0①
∴ ，由解法一知 ，∴ ，代入①化簡即得：6x+2y-3=0
解法四：用點到直線的距離公式，設l上任一點P(x, y)，則P到l1與l2的距離相等。
∴ 整理得：6x+2y-3=0與x-3y+7=0，又l是l2到l1的角的平分線，
k<0，∴x-3y+7=0不合題意所以所求直線l的方程為6x+2y-3=0.
4、分析：由x+y+z=100，得z=100-x-y，所以上述問題可以看作只含x，y兩個變量.設混合物的成本為k元，那么k=6x+5y+4（100-x-y）=2x+y+400.于是問題就歸結為求k在已知條件下的線性規(guī)劃問題.
解：已知條件可歸結為下列不等式組：
x≥0，
y≥0，
x+y≤100，
400x+600y+400（100-x-y）≥44000，
800x+200y+400（100-x-y）≥48000.
x+y≤100，
即 y≥20， ①
2x-y≥40.
在平面直角坐標系中，畫出不等式組①所表示的平面區(qū)域，這個區(qū)域是直線x+y=100，y=20，2x-y=40圍成的一個三角形區(qū)域EFG（包括邊界），即可行域，如圖所示的陰影部分.
設混合物的成本為k元，那么k=6x+5y+4（100-x-y）=2x+y+400.
作直線 ：2x+y=0，把直線 向右上方平移至 位置時，直線經過可行域上的點E，且與原點的距離最小，此時2x+y的值最小，從而k的值最小.
2x-y=40， x=30，
由 得 即點E的坐標是（30，20）.
y=20， y=20，
所以， =2×30+20+400=480（元），此時z=100-30-20=50.
答：取x=30，y=20，z=50時，混合物的成本最小，最小值是480元.

5、解：設隔出大房間x間，小房間y間時收益為z元，則x、y滿足
18x+15y≤180，
1000x+600y≤8000，
x，y∈N，
且 z=200x+150y.
所以 6x+5y≤60，
5x+3y≤40，
x，y∈N，
作出可行域及直線 ：200x+150y=0，即4x+3y=0.（如圖4）
把直線 向上平移至 的位置時，直線經過可行域上的點B，且與原點距離最大.此時，z=200x+150y取最大值.但解6x+5y=60與5x+3y=40聯立的方程組得到B（ ， ）.由于點B的坐標不是整數，而x，y∈N，所以可行域內的點B不是最優(yōu)解.
為求出最優(yōu)解，同樣必須進行定量分析.
因為4× +3× = ≈37.1，但該方程的非負整數解（1，11）、（4，7）、（7，3）均不在可行域內，所以應取4x+3y=36.同樣可以驗證，在可行域內滿足上述方程的整點為（0，12）和（3，8）.此時z取最大值1800元.

6、解：解方程組可得A(6, -3)、B(6, -1)、C(4, 2)設方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，則：

解之得：D= ，E=4，F=30
所以所求的△ABC的外接圓方程為：

7、分析：若直線y=kx+b與圓錐曲線f（x，y）=0相交于兩點P（x1，y1）、Q（x2、y2），則弦PQ的長度的計算公式為 ，而
，因此只要把直線y=kx+b的方程代入圓錐曲線f（x，y）=0方程，消去y（或x），結合一元二次方程根與系數的關系即可求出弦長。
解：設A（x0，0）（x0＞0），則直線 的方程為y=x-x0，設直線 與橢圓相交于P（x1，y1），
Q（x2、y2），由 y=x-x0 可得3x2-4x0x+2x02-12=0，
x2+2y2=12
， ，則

∴ ，即
∴x02=4，又x0＞0，∴x0=2，∴A（2，0）。

8、解：圓方程x2+y2-2y-8=0即x2+(y-1)2=9的圓心O＇（0，1），半徑r=3。
設正方形的邊長為p，則 ，∴ ，又O＇是正方形ABCD的中心，∴O＇到直線y=x+k的距離應等于正方形邊長p的一半即 ，由點到直線的距離公式可知k=-2或k=4。
（1）設AB：y=x-2 由 y=x-2
CD：y=x+4 x2+y2-2y-8=0
得A（3，1）B（0，-2），又點A、B在橢圓 上，∴a2=12，b2=4，橢圓的方程為 。
（2）設AB：y=x+4，同理可得兩交點的坐標分別為（0，4），（-3，1）代入橢圓方程得
，此時b2＞a2（舍去）。
綜上所述，直線 方程為y=x+4，橢圓方程為 。

9、分析：已知了橢圓的焦點及相應準線，常常需要運用橢圓的第二定義：橢圓上的點到焦點的距離與到相應準線的距離之比等于離心率e，而該題中短軸端點也是橢圓上的動點，因此只要運用第二定義結合a、b、c的幾何意義即可。
解：設M（x，y），過M作 于A， ， ，∴ ，又過M作 軸于O＇，因為點M為短軸端點，則O＇必為橢圓中心，
∴ ， ，∴ ，∴ 化簡得y2=2x，∴短軸端點的軌跡方程為y2=2x（x≠0）。

10、解：若橢圓的焦點在x軸上，如圖，∵四邊形B1F1B2F2是正方形，且A1F1= ，由橢圓的幾何意義可知， 解之得： ，此時橢圓的方程為 ，同理焦點也可以在y軸上，綜上所述，橢圓的方程為 或 。
11、解:（1）設A、B兩點的坐標分別為 得
,
根據韋達定理，得

∴線段AB的中點坐標為（ ）.
由已知得
故橢圓的離心率為 .
（2）由（1）知 從而橢圓的右焦點坐標為 設 關于直線 的對稱點為
解得
由已知得
故所求的橢圓方程為 .

12、分析：根據橢圓的第二定義，即到定點的距離與到定直線的距離之比等于常數e（0＜e＜1）的點的軌跡是橢圓，橢圓 上任一點P（x1，y1）到左焦點F1的距離PF1=a+ex1，到右焦點F2的距離PF2=a-ex1；同理橢圓 上任一點P（x1，y1）到兩焦點的距離分別為a+ey1和a-ey1，這兩個結論我們稱之為焦半徑計算公式，它們在橢圓中有著廣泛的運用。
解：由橢圓方程 可知a2=2，b2=1則c=1，∴離心率 ，由焦半徑公式可知， 。又直線 的方程為：
即x1x+2y1y-2=0，由點到直線的距離公式知， ，又點（x1，y1）在橢圓上，∴2y12=2=x12，
∴ ，
∴ 為定值。

13、解: 以直線l為x軸，線段AB的中點為原點對立直角坐標系，則在l一側必存在經A到P和經B到P路程相等的點，設這樣的點為M，則
MA+AP=MB+BP,
即 MA－MB=BP－AP=50,
,
∴M在雙曲線 的右支上.
故曲線右側的土石層經道口B沿BP運往P處，曲線左側的土石層經道口A沿AP運往P處，按這種方法運土石最省工.
相關解析幾何的實際應用性試題在高考中似乎還未涉及，其實在課本中還可找到典型的范例，你知道嗎？

14、分析： 的兩個頂點為焦點，另一點是橢圓上的動點，因此 ，F1F2=2c，所以我們應以 為突破口，在該三角形中用正弦定理或余弦定理，結合橢圓的定義即可證得。
證明：（1）在 中，由正弦定理可知 ，則
∴
∴
（2）在 中由余弦定理可知
y
∴
∴ 。

15、解: （1）建立平面直角坐標系, 如圖所示 .
∵ PA + PB = CA + CB =
∴動點P的軌跡是橢圓 .
∵
∴曲線E的方程是 .
（2）設直線L的方程為 , 代入曲線E的方程 ，得

設M1（ , 則

i) L與y軸重合時，
ii) L與y軸不重合時，
由①得 又∵ ,
∵ 或
∴0＜ ＜1 , ∴ .
∵
而 ∴ ∴
∴ , ,
∴ 的取值范圍是 。
16、分析：本小題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力。
解：（I）由點A（2，8）在拋物線 上，有 解得
所以拋物線方程為 ，焦點F的坐標為（8，0）
（II）如圖，由F（8，0）是 的重心，M是BC的中點，所以F是線段AM的定比分點，且 設點M的坐標為 ，則
解得 所以點M的坐標為

（III）由于線段BC的中點M不在x軸上，所以BC所在的直線不垂直于x軸。
設BC所成直線的方程為
由 消x得
所以 由（II）的結論得 解得
因此BC所在直線的方程為 即 。

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