第17－20課時(shí)： 解析幾何問題的題型與方法

一．復(fù)習(xí)目標(biāo)：
1.能正確導(dǎo)出由一點(diǎn)和斜率確定的直線的點(diǎn)斜式方程；從直線的點(diǎn)斜式方程出發(fā)推導(dǎo)出直線方程的其他形式，斜截式、兩點(diǎn)式、截距式；能根據(jù)已知條件，熟練地選擇恰當(dāng)?shù)姆匠绦问綄懗鲋本�的方程，熟練地進(jìn)行直線方程的不同形式之間的轉(zhuǎn)化，能利用直線的方程來研究與直線有關(guān)的問題了.
2.能正確畫出二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域，知道線性規(guī)劃的意義，知道線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念，能正確地利用圖解法解決線性規(guī)劃問題，并用之解決簡單的實(shí)際問題，了解線性規(guī)劃方法在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用；會(huì)用線性規(guī)劃方法解決一些實(shí)際問題.
3．理解“曲線的方程”、“方程的曲線”的意義，了解解析幾何的基本思想，掌握求曲線的方程的方法.
4．掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程： （r＞0），明確方程中各字母的幾何意義，能根據(jù)圓心坐標(biāo)、半徑熟練地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中熟練地求出圓心坐標(biāo)和半徑，掌握?qǐng)A的一般方程： ，知道該方程表示圓的充要條件并正確地進(jìn)行一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化，能根據(jù)條件，用待定系數(shù)法求出圓的方程，理解圓的參數(shù)方程 （θ為參數(shù)），明確各字母的意義，掌握直線與圓的位置關(guān)系的判定方法.
5．正確理解橢圓、雙曲線和拋物線的定義，明確焦點(diǎn)、焦距的概念；能根據(jù)橢圓、雙曲線和拋物線的定義推導(dǎo)它們的標(biāo)準(zhǔn)方程；記住橢圓、雙曲線和拋物線的各種標(biāo)準(zhǔn)方程；能根據(jù)條件，求出橢圓、雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；掌握橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、準(zhǔn)線（雙曲線的漸近線）等，從而能迅速、正確地畫出橢圓、雙曲線和拋物線；掌握a、b、c、p、e之間的關(guān)系及相應(yīng)的幾何意義；利用橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)，確定橢圓、雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并解決簡單問題；理解橢圓、雙曲線和拋物線的參數(shù)方程，并掌握它的應(yīng)用；掌握直線與橢圓、雙曲線和拋物線位置關(guān)系的判定方法.
二．考試要求：
(一)直線和圓的方程
1．理解直線的斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式，掌握直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程。
2．掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點(diǎn)到直線的距離公式，能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系。
3．了解二元一次不等式表示平面區(qū)域。
4．了解線性規(guī)劃的意義，并會(huì)簡單的應(yīng)用。
5．了解解析幾何的基本思想，了解坐標(biāo)法。
6．掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程。
(二)圓錐曲線方程
1．掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)。
2．掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)。
3．掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì)。
4．了解圓錐曲線的初步應(yīng)用。
三．過程：
（Ⅰ）基礎(chǔ)知識(shí)詳析
高考解析幾何試題一般共有4題(2個(gè)選擇題, 1個(gè)填空題, 1個(gè)解答題)，共計(jì)30分左右，考查的知識(shí)點(diǎn)約為20個(gè)左右。 其命題一般緊扣課本，突出重點(diǎn)，全面考查。選擇題和填空題考查直線、圓、圓錐曲線、參數(shù)方程和極坐標(biāo)系中的基礎(chǔ)知識(shí)。解答題重點(diǎn)考查圓錐曲線中的重要知識(shí)點(diǎn)，通過知識(shí)的重組與鏈接，使知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò)，著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，求解有時(shí)還要用到平幾的基本知識(shí)和向量的基本方法，這一點(diǎn)值得強(qiáng)化。
(一)直線的方程
1.點(diǎn)斜式： ；2. 截距式： ；
3.兩點(diǎn)式： ；4. 截距式： ；
5.一般式： ，其中A、B不同時(shí)為0.
(二)兩條直線的位置關(guān)系
兩條直線 ， 有三種位置關(guān)系：平行（沒有公共點(diǎn)）；相交（有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）；重合（有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)）.在這三種位置關(guān)系中，我們重點(diǎn)研究平行與相交.
設(shè)直線 ： = + ，直線 ： = + ，則
∥ 的充要條件是 = ，且 = ； ⊥ 的充要條件是 =-1.
(三)線性規(guī)劃問題
1．線性規(guī)劃問題涉及如下概念：
⑴存在一定的限制條件，這些約束條件如果由x、y的一次不等式（或方程）組成的不等式組來表示，稱為線性約束條件.
⑵都有一個(gè)目標(biāo)要求，就是要求依賴于x、y的某個(gè)函數(shù)（稱為目標(biāo)函數(shù)）達(dá)到最大值或最小值.特殊地，若此函數(shù)是x、y的一次解析式，就稱為線性目標(biāo)函數(shù).
⑶求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.
⑷滿足線性約束條件的解（x，y）叫做可行解.
⑸所有可行解組成的集合，叫做可行域.
⑹使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解，叫做這個(gè)問題的最優(yōu)解.
2．線性規(guī)劃問題有以下基本定理：
⑴ 一個(gè)線性規(guī)劃問題，若有可行解，則可行域一定是一個(gè)凸多邊形.
⑵ 凸多邊形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是有限的.
⑶ 對(duì)于不是求最優(yōu)整數(shù)解的線性規(guī)劃問題，最優(yōu)解一定在凸多邊形的頂點(diǎn)中找到.
3.線性規(guī)劃問題一般用圖解法.
(四)圓的有關(guān)問題
1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（r＞0），稱為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其圓心坐標(biāo)為（a，b），半徑為r.
特別地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)（0，0），半徑為r時(shí)，圓的方程為 .
2.圓的一般方程
（ ＞0）稱為圓的一般方程，
其圓心坐標(biāo)為（ ， ），半徑為 .
當(dāng) =0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)（ ， ）；
當(dāng) ＜0時(shí)，方程不表示任何圖形.
3.圓的參數(shù)方程
圓的普通方程與參數(shù)方程之間有如下關(guān)系：
（θ為參數(shù)）
（θ為參數(shù)）
(五)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程
1.橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn) 、 的距離的和大于 這個(gè)條件不可忽視.若這個(gè)距離之和小于 ，則這樣的點(diǎn)不存在；若距離之和等于 ，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段 .
2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： （ ＞ ＞0）， （ ＞ ＞0）.
3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法：判別焦點(diǎn)在哪個(gè)軸只要看分母的大小：如果 項(xiàng)的分母大于 項(xiàng)的分母，則橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，反之，焦點(diǎn)在y軸上.
4.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：⑴ 正確判斷焦點(diǎn)的位置；⑵ 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解.
(六)橢圓的簡單幾何性質(zhì)
1.橢圓的幾何性質(zhì)：設(shè)橢圓方程為 （ ＞ ＞0）.
⑴ 范圍： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以橢圓位于直線x= 和y= 所圍成的矩形里.
⑵ 對(duì)稱性：分別關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.橢圓的對(duì)稱中心叫做橢圓的中心.
⑶ 頂點(diǎn)：有四個(gè) （-a，0）、 （a，0） （0，-b）、 （0，b）.
線段 、 分別叫做橢圓的長軸和短軸.它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長. 所以橢圓和它的對(duì)稱軸有四個(gè)交點(diǎn)，稱為橢圓的頂點(diǎn).
⑷ 離心率：橢圓的焦距與長軸長的比 叫做橢圓的離心率.它的值表示橢圓的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1時(shí)，橢圓越扁；反之，e越接近于0時(shí)，橢圓就越接近于圓.
2.橢圓的第二定義
⑴ 定義：平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M與一個(gè)頂點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù) （e＜1＝時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓.
⑵ 準(zhǔn)線：根據(jù)橢圓的對(duì)稱性， （ ＞ ＞0）的準(zhǔn)線有兩條，它們的方程為 .對(duì)于橢圓 （ ＞ ＞0）的準(zhǔn)線方程，只要把x換成y就可以了，即 .
3.橢圓的焦半徑：由橢圓上任意一點(diǎn)與其焦點(diǎn)所連的線段叫做這點(diǎn)的焦半徑.
設(shè) （-c，0）， （c，0）分別為橢圓 （ ＞ ＞0）的左、右兩焦點(diǎn)，M（x，y）是橢圓上任一點(diǎn)，則兩條焦半徑長分別為 ， .
橢圓中涉及焦半徑時(shí)運(yùn)用焦半徑知識(shí)解題往往比較簡便.
橢圓的四個(gè)主要元素a、b、c、e中有 = + 、 兩個(gè)關(guān)系，因此確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需兩個(gè)獨(dú)立條件.
(七)橢圓的參數(shù)方程
橢圓 （ ＞ ＞0）的參數(shù)方程為 （θ為參數(shù)）.
說明 ⑴ 這里參數(shù)θ叫做橢圓的離心角.橢圓上點(diǎn)P的離心角θ與直線OP的傾斜角α不同： ；
⑵ 橢圓的參數(shù)方程可以由方程 與三角恒等式 相比較而得到，所以橢圓的參數(shù)方程的實(shí)質(zhì)是三角代換.
(八)雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
1.雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) 、 的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a（小于 ）的動(dòng)點(diǎn) 的軌跡叫做雙曲線.在這個(gè)定義中，要注意條件2a＜ ，這一條件可以用“三角形的兩邊之差小于第三邊”加以理解.若2a= ，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是兩條射線；若2a＞ ，則無軌跡.
若 ＜ 時(shí)，動(dòng)點(diǎn) 的軌跡僅為雙曲線的一個(gè)分支，又若 ＞ 時(shí)，軌跡為雙曲線的另一支.而雙曲線是由兩個(gè)分支組成的，故在定義中應(yīng)為“差的絕對(duì)值”.
2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： 和 （a＞0，b＞0）.這里 ，其中 =2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.
3.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法是：如果 項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在x軸上；如果 項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在y軸上.對(duì)于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上.
4.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)注意兩個(gè)問題：⑴ 正確判斷焦點(diǎn)的位置；⑵ 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解.
(九)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
1.雙曲線 的實(shí)軸長為2a，虛軸長為2b，離心率 ＞1，離心率e越大，雙曲線的開口越大.
2. 雙曲線 的漸近線方程為 或表示為 .若已知雙曲線的漸近線方程是 ，即 ，那么雙曲線的方程具有以下形式：
，其中k是一個(gè)不為零的常數(shù).
3.雙曲線的第二定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)（焦點(diǎn)）與到定直線（準(zhǔn)線）距離的比是一個(gè)大于1的常數(shù)（離心率）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.對(duì)于雙曲線 ，它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（-c，0）和（c，0），與它們對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是 和 .
在雙曲線中，a、b、c、e四個(gè)元素間有 與 的關(guān)系，與橢圓一樣確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程只要兩個(gè)獨(dú)立的條件.
(十)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
1．拋物線的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)（F）和一條定直線（l）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線。這個(gè)定點(diǎn)F叫拋物線的焦點(diǎn)，這條定直線l叫拋物線的準(zhǔn)線。
需強(qiáng)調(diào)的是，點(diǎn)F不在直線l上，否則軌跡是過點(diǎn)F且與l垂直的直線，而不是拋物線。
2．拋物線的方程有四種類型：
、 、 、 .
對(duì)于以上四種方程：應(yīng)注意掌握它們的規(guī)律：曲線的對(duì)稱軸是哪個(gè)軸，方程中的該項(xiàng)即為一次項(xiàng)；一次項(xiàng)前面是正號(hào)則曲線的開口方向向x軸或y軸的正方向；一次項(xiàng)前面是負(fù)號(hào)則曲線的開口方向向x軸或y軸的負(fù)方向。
3．拋物線的幾何性質(zhì)，以標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px為例
（1）范圍：x≥0；
（2）對(duì)稱軸：對(duì)稱軸為y=0，由方程和圖像均可以看出；
（3）頂點(diǎn)：O（0，0），注：拋物線亦叫無心圓錐曲線（因?yàn)闊o中心）；
（4）離心率：e=1，由于e是常數(shù)，所以拋物線的形狀變化是由方程中的p決定的；
（5）準(zhǔn)線方程 ；
（6）焦半徑公式：拋物線上一點(diǎn)P（x1，y1），F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，對(duì)于四種拋物線的焦半徑公式分別為（p＞0）：

（7）焦點(diǎn)弦長公式：對(duì)于過拋物線焦點(diǎn)的弦長，可以用焦半徑公式推導(dǎo)出弦長公式。設(shè)過拋物線y2=2px（p＞O）的焦點(diǎn)F的弦為AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的傾斜角為α，則有①AB=x +x +p


以上兩公式只適合過焦點(diǎn)的弦長的求法，對(duì)于其它的弦，只能用“弦長公式”來求。
（8）直線與拋物線的關(guān)系：直線與拋物線方程聯(lián)立之后得到一元二次方程：x +bx+c=0，當(dāng)a≠0時(shí)，兩者的位置關(guān)系的判定和橢圓、雙曲線相同，用判別式法即可；但如果a=0，則直線是拋物線的對(duì)稱軸或是和對(duì)稱軸平行的直線，此時(shí)，直線和拋物線相交，但只有一個(gè)公共點(diǎn)。
(十一)軌跡方程
⑴ 曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；
⑵ 以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).
那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線（圖形或軌跡）.

（十二）注意事項(xiàng)
1． ⑴ 直線的斜率是一個(gè)非常重要的概念，斜率k反映了直線相對(duì)于x軸的傾斜程度.當(dāng)斜率k存在時(shí)，直線方程通常用點(diǎn)斜式或斜截式表示，當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程為x=a（a∈R）.因此，利用直線的點(diǎn)斜式或斜截式方程解題時(shí)，斜率k存在與否，要分別考慮.
⑵ 直線的截距式是兩點(diǎn)式的特例，a、b分別是直線在x軸、y軸上的截距，因?yàn)閍≠0，b≠0，所以當(dāng)直線平行于x軸、平行于y軸或直線經(jīng)過原點(diǎn)，不能用截距式求出它的方程，而應(yīng)選擇其它形式求解.
⑶求解直線方程的最后結(jié)果，如無特別強(qiáng)調(diào)，都應(yīng)寫成一般式.
⑷當(dāng)直線 或 的斜率不存在時(shí)，可以通過畫圖容易判定兩條直線是否平行與垂直
⑸在處理有關(guān)圓的問題，除了合理選擇圓的方程，還要注意圓的對(duì)稱性等幾何性質(zhì)的運(yùn)用，這樣可以簡化計(jì)算.
2. ⑴用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要分清焦點(diǎn)在x軸上還是y軸上，還是兩種都存在.
⑵注意橢圓定義、性質(zhì)的運(yùn)用，熟練地進(jìn)行a、b、c、e間的互求，并能根據(jù)所給的方程畫出橢圓.
⑶求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 應(yīng)注意兩個(gè)問題：⑴ 正確判斷焦點(diǎn)的位置；⑵ 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解.
⑷雙曲線 的漸近線方程為 或表示為 .若已知雙曲線的漸近線方程是 ，即 ，那么雙曲線的方程具有以下形式：
，其中k是一個(gè)不為零的常數(shù).
⑸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè) 和 （a＞0，b＞0）.這里 ，其中 =2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.
⑹求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，要線根據(jù)題設(shè)判斷拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，再求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，要線根據(jù)題設(shè)判斷拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，再由條件確定參數(shù)p的值.同時(shí)，應(yīng)明確拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程三者相依并存，知道其中拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程三者相依并存，知道其中一個(gè)，就可以求出其他兩個(gè).
（Ⅱ）范例分析
例1、求與直線3x+4y+12=0平行，且與坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形面積是24的直線l的方程。
分析：滿足兩個(gè)條件才能確定一條直線。一般地，求直線方程有兩個(gè)解法，即用其中一個(gè)條件列出含待定系數(shù)的方程，再用另一個(gè)條件求出此參數(shù)。
解法一：先用“平行”這個(gè)條件設(shè)出l 的方程為3x+4y+m=0①再用“面積”條件去求m，∵直線l交x軸于 ，交y軸于 由 ，得 ，代入①得所求直線的方程為：
解法二：先用面積這個(gè)條件列出l的方程，設(shè)l在x軸上截距離a，在y軸上截距b，則有 ，因?yàn)閘的傾角為鈍角，所以a、b同號(hào)，ab=ab，l的截距式為 ，即48x+a2y-48a=0②又該直線與3x+4y+2=0平行，∴ ，∴ 代入②得所求直線l 的方程為
說明：與直線Ax+By+C=0平行的直線可寫成Ax+By+C1=0的形式；與Ax+By+C=0垂直的直線的方程可表示為Bx-Ay+C2=0的形式。

例2、若直線mx+y+2=0與線段AB有交點(diǎn)，其中A(-2, 3)，B(3,2)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
解：直線mx+y+2=0過一定點(diǎn)C(0, -2)，直線mx+y+2=0實(shí)際上表示的是過定點(diǎn)(0, -2)的直線系，因?yàn)橹本�與線段AB有交點(diǎn)，則直線只能落在∠ABC的內(nèi)部，設(shè)BC、CA這兩條直線的斜率分別為k1、k2，則由斜率的定義可知，直線mx+y+2=0的斜率k應(yīng)滿足k≥k1或k≤k2， ∵A(-2, 3) B(3, 2)
∴
∴-m≥ 或-m≤ 即m≤ 或m≥
說明：此例是典型的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來解題的問題，這里要清楚直線mx+y+2=0的斜率-m應(yīng)為傾角的正切，而當(dāng)傾角在(0°,90°)或(90°,180°)內(nèi)，角的正切函數(shù)都是單調(diào)遞增的，因此當(dāng)直線在∠ACB內(nèi)部變化時(shí)，k應(yīng)大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，當(dāng)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)變化時(shí)，也要能求出m的范圍。

例3、已知x、y滿足約束條件
x≥1，
x-3y≤-4，
3x+5y≤30，
求目標(biāo)函數(shù)z=2x-y的最大值和最小值.
解：根據(jù)x、y滿足的約束條件作出可行域，即如圖所示的陰影部分（包括邊界）.
作直線 ：2x-y=0，再作一組平行于 的直線 ：2x-y=t，t∈R.
可知，當(dāng) 在 的右下方時(shí)，直線 上的點(diǎn)（x，y）滿足2x-y＞0，即t＞0，而且直線 往右平移時(shí)，t隨之增大.當(dāng)直線 平移至 的位置時(shí)，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)B，此時(shí)所對(duì)應(yīng)的t最大；當(dāng) 在 的左上方時(shí)，直線 上的點(diǎn)（x，y）滿足2x-y＜0，即t＜0，而且直線 往左平移時(shí)，t隨之減小.當(dāng)直線 平移至 的位置時(shí)，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)C，此時(shí)所對(duì)應(yīng)的t最小.
x-3y+4=0，
由 解得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，3）；
3x+5y-30=0，
x=1，
由 解得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1， ）.
3x+5y-30=0，
所以， =2×5-3=7； =2×1- = .

例4、某運(yùn)輸公司有10輛載重量為6噸的A型卡車與載重量為8噸的B型卡車，有11名駕駛員.在建筑某段高速公路中，該公司承包了每天至少搬運(yùn)480噸瀝青的任務(wù).已知每輛卡車每天往返的次數(shù)為A型卡車8次，B型卡車7次；每輛卡車每天的成本費(fèi)A型車350元，B型車400元.問每天派出A型車與B型車各多少輛，公司所花的成本費(fèi)最低，最低為多少？
解：設(shè)每天派出A型車與B型車各x、y輛，并設(shè)公司每天的成本為z元.由題意，得
x≤10，
y≤5，
x+y≤11，
48x+56y≥60，
x，y∈N，
且z=350x+400y.
x≤10，
y≤5，
即 x+y≤11，
6x+7y≥55，
x，y∈N，
作出可行域，作直線 ：350x+400y=0，即7x+8y=0.
作出一組平行直線：7x+8y=t中（t為參數(shù)）經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)和原點(diǎn)距離最近的直線，此直線經(jīng)過6x+7y=60和y=5的交點(diǎn)A（ ，5），由于點(diǎn)A的坐標(biāo)不都是整數(shù)，而x，y∈N，所以可行域內(nèi)的點(diǎn)A（ ，5）不是最優(yōu)解.
為求出最優(yōu)解，必須進(jìn)行定量分析.
因?yàn)椋?× +8×5≈69.2，所以經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(diǎn)（橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）且與原點(diǎn)最小的直線是7x+8y=10，在可行域內(nèi)滿足該方程的整數(shù)解只有x=10，y=0，所以（10，0）是最優(yōu)解，即當(dāng) 通過B點(diǎn)時(shí)，z=350×10+400×0=3500元為最小.
答：每天派出A型車10輛不派B型車，公司所化的成本費(fèi)最低為3500元.

例5、已知點(diǎn)T是半圓O的直徑AB上一點(diǎn)，AB=2、OT=t (0(1)寫出直線 的方程；
（2）計(jì)算出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；
（3）證明：由點(diǎn)P發(fā)出的光線，經(jīng)AB反射后，反射光線通過點(diǎn)Q.
解: (1 ) 顯然 , 于是 直線 的方程為 ；
（2）由方程組 解出 、 ；
（3） , .
由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數(shù)知，由點(diǎn)P發(fā)出的光線經(jīng)點(diǎn)T反射，反射光線通過點(diǎn)Q.
說明：需要注意的是, Q點(diǎn)的坐標(biāo)本質(zhì)上是三角中的萬能公式, 有趣嗎?

例6、設(shè)P是圓M：(x-5)2+(y-5)2=1上的動(dòng)點(diǎn)，它關(guān)于A(9, 0)的對(duì)稱點(diǎn)為Q，把P繞原點(diǎn)依逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)S，求SQ的最值。
解：設(shè)P(x, y)，則Q(18-x, -y)，記P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為x+yi，則S點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為：
(x+yi)?i=-y+xi，即S(-y, x)
∴

其中 可以看作是點(diǎn)P到定點(diǎn)B(9, -9)的距離，共最大值為 最小值為 ，則
SQ的最大值為 ，SQ的最小值為

例7、 已知⊙M： 軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點(diǎn)，（1）如果 ，求直線MQ的方程；
（2）求動(dòng)弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程.
解:（1）由 ，可得 由射影定理，得 在Rt△MOQ中，
，
故 ，
所以直線AB方程是

（2）連接MB，MQ，設(shè) 由
點(diǎn)M，P，Q在一直線上，得
由射影定理得
即 把（*）及（**）消去a，
并注意到 ，可得
說明：適時(shí)應(yīng)用平面幾何知識(shí)，這是快速解答本題的要害所在。

例8、直線 過拋物線 的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A 兩點(diǎn).（1）求證： ;
（2）求證：對(duì)于拋物線的任意給定的一條弦CD，直線l不是CD的垂直平分線.

解: （1）易求得拋物線的焦點(diǎn) .
若l⊥x軸，則l的方程為 .
若l不垂直于x軸，可設(shè) ,代入拋物線方程整理得 .
綜上可知 .
（2）設(shè) ，則CD的垂直平分線 的方程為
假設(shè) 過F，則 整理得

， .
這時(shí) 的方程為y=0，從而 與拋物線 只相交于原點(diǎn). 而l與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因此 與l不重合，l不是CD的垂直平分線.
說明：此題是課本題的深化，課本是高考試題的生長點(diǎn)，復(fù)習(xí)要重視課本。

例9、已知橢圓 ，能否在此橢圓位于y軸左側(cè)的部分上找到一點(diǎn)M，使它到左準(zhǔn)線的距離為它到兩焦點(diǎn)F1、F2距離的等比中項(xiàng)，若能找到，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，若不能找到，請(qǐng)說明理由。
解：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，設(shè)M（x1，y1）a2=4，b2=3，∴a=2， ，c=1，∴ ，
，點(diǎn)M到橢圓左準(zhǔn)線的距離
，∴ ，∴ ，∴ 或 ，這與x1∈[-2，0)相矛盾，∴滿足條件的點(diǎn)M不存在。
例10、已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 軸上，焦距為4，離心率為 ，
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn)為M，又點(diǎn)A和點(diǎn)B在橢圓上，且M分有向線段 所成的比為2，求線段AB所在直線的方程。
解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為 由2c=4得c=2 又
故a=3， ∴所求的橢圓方程為
（Ⅱ）若k 不存在，則 ，若k 存在，則設(shè)直線AB的方程為：y=kx+2
又設(shè)A
由 得
① ②
∵點(diǎn)M坐標(biāo)為M（0，2） ∴
由 ∴
∴ 代入①、②得 … ③ ④
由③、④ 得 ∴
∴線段AB所在直線的方程為： 。
說明：有向線段所成的比，線段的定比分點(diǎn)等概念，本身就是解析幾何研究的一類重要問題。向量概念的引入，使這類問題的解決顯得簡潔而流暢。求解這類問題可以用定比分點(diǎn)公式，也可以直接用有向線段的比解題。
另外，向量的長度，點(diǎn)的平移等與解析幾何都有著千絲萬縷的聯(lián)系，向量與解析幾何的結(jié)合，為解決這些問題開辟了新的解題途徑。

例11、已知直線l與橢圓 有且僅有一個(gè)交點(diǎn)Q，且與x軸、y軸分別交于R、S，求以線段SR為對(duì)角線的矩形ORPS的一個(gè)頂點(diǎn)P的軌跡方程．
解：從直線 所處的位置, 設(shè)出直線 的方程,
由已知，直線l不過橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，所以設(shè)直線l的方程為
代入橢圓方程 得

化簡后，得關(guān)于 的一元二次方程

于是其判別式
由已知，得△=0．即 ①
在直線方程 中，分別令y=0，x=0，求得
令頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）， 由已知，得
代入①式并整理，得 , 即為所求頂點(diǎn)P的軌跡方程．
說明：方程 形似橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程, 你能畫出它的圖形嗎?
例12、已知雙曲線 的離心率 ，過 的直線到原點(diǎn)的距離是 （1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線 交雙曲線于不同的點(diǎn)C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值.
解：∵（1） 原點(diǎn)到直線AB： 的距離 .
故所求雙曲線方程為
（2）把 中消去y，整理得 .
設(shè) 的中點(diǎn)是 ，則


即
故所求k=± .
說明：為了求出 的值, 需要通過消元, 想法設(shè)法建構(gòu) 的方程.

例13、過點(diǎn) 作直線 與橢圓3x2+4y2=12相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OAB面積的最大值及此時(shí)直線傾斜角的正切值。
分析：若直接用點(diǎn)斜式設(shè) 的方程為 ，則要求 的斜率一定要存在，但在這里 的斜率有可能不存在，因此要討論斜率不存在的情形，為了避免討論，我們可以設(shè)直線 的方程為 ，這樣就包含了斜率不存在時(shí)的情形了，從而簡化了運(yùn)算。
解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）， ：

把 代入橢圓方程得： ，即
， ，



∴ ，此時(shí)
令直線的傾角為 ，則
即△OAB面積的最大值為 ，此時(shí)直線傾斜角的正切值為 。

例14、（2003年江蘇高考題）已知常數(shù) ，向量
經(jīng)過原點(diǎn)O以 為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)A（0，a）以 為方向向量的直線相交于點(diǎn)P，其中 試問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F，使得PE+PF為定值.若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
解：∵ =（1，0）， =（0，a）， ∴ +λ =（λ，a）， －2λ =（1，－2λa）.
因此，直線OP和AP的方程分別為 和 .
消去參數(shù)λ，得點(diǎn) 的坐標(biāo)滿足方程 .
整理得 ……①
因?yàn)?所以得：
（i）當(dāng) 時(shí)，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點(diǎn)E和F；
（ii）當(dāng) 時(shí)，方程①表示橢圓，焦點(diǎn) 和 為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)；
（iii）當(dāng) 時(shí)，方程①也表示橢圓，焦點(diǎn) 和 為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn).
說明：由于向量可以用一條有向線段來表示，有向線段的方向可以決定解析幾何中直線的斜率，故直線的方向向量與解析幾何中的直線有著天然的聯(lián)系。求解此類問題的關(guān)鍵是：根據(jù)直線的方向向量得出直線方程，再轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解決。

例15、已知橢圓 的長、短軸端點(diǎn)分別為A、B，從此橢圓上一點(diǎn)M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點(diǎn) ，向量 與 是共線向量。
（1）求橢圓的離心率e；
（2）設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)， 、 分別是左、右焦點(diǎn)，求∠ 的取值范圍；
解：（1）∵ ，∴ 。
∵ 是共線向量，∴ ，∴b=c,故 。
（2）設(shè)

當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，cosθ=0，∴θ 。
說明：由于共線向量與解析幾何中平行線、三點(diǎn)共線等具有異曲同工的作用，因此，解析幾何中與平行線、三點(diǎn)共線等相關(guān)的問題均可在向量共線的新情景下設(shè)計(jì)問題。求解此類問題的關(guān)鍵是：正確理解向量共線與解析幾何中平行、三點(diǎn)共線等的關(guān)系，把有關(guān)向量的問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題。

例16、一條斜率為1的直線 與離心率為 的橢圓C： （ ）交于P、Q，兩點(diǎn)，直線 與Y軸交于點(diǎn)R，且 ， ，求直線 和橢圓C的方程。
解： 橢圓離心率為 ， ，
所以橢圓方程為 ，設(shè) 方程為： ，
由 消去 得

……（1） ……（2）
所以
而
所以
所以 ……（3）又 ， ， 從而 ……（4） 由（1）（2）（4）得 ……（5）
由（3）（5）解得 ， 適合 ，
所以所求直線 方程為： 或 ；橢圓C的方程為
說明：向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，構(gòu)建起向量與解析幾何的密切關(guān)系，使向量與解析幾何融為一體。求此類問題的關(guān)鍵是：利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，溝通向量與解析幾何的聯(lián)系。體現(xiàn)了向量的工具性。

例17、已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，點(diǎn)P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠F1PF2的最大值為90°，直線l過左焦點(diǎn)F1與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，△ABF2的面積最大值為12．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）求橢圓C的方程．
解法一：（1）設(shè) , 對(duì) 由余弦定理, 得

， 解出
（2）考慮直線 的斜率的存在性，可分兩種情況：
i) 當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)l的方程為 ………………①
橢圓方程為
由 得 .
于是橢圓方程可轉(zhuǎn)化為 ………………②
將①代入②，消去 得 ,
整理為 的一元二次方程，得 .
則x1、x2是上述方程的兩根．且
，
，
AB邊上的高


ii) 當(dāng)k不存在時(shí)，把直線 代入橢圓方程得

由①②知S的最大值為 由題意得 =12 所以
故當(dāng)△ABF2面積最大時(shí)橢圓的方程為：
解法二：設(shè)過左焦點(diǎn)的直線方程為： …………①
橢圓的方程為：
由 得： 于是橢圓方程可化為： ……②
把①代入②并整理得：
于是 是上述方程的兩根.
,
AB邊上的高 ,
從而

當(dāng)且僅當(dāng)m=0取等號(hào)，即
由題意知 , 于是 .
故當(dāng)△ABF2面積最大時(shí)橢圓的方程為：

例18、（2002年天津高考題）已知兩點(diǎn)M（-1，0），N（1，0）且點(diǎn)P使 成公差小于零的等差數(shù)列，
（Ⅰ）點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？
（Ⅱ）若點(diǎn)P坐標(biāo)為 ， 為 的夾角，求tanθ。
解：（Ⅰ）記P（x,y），由M（-1，0）N（1，0）得

所以

于是， 是公差小于零的等差數(shù)列等價(jià)于
即
所以，點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心， 為半徑的右半圓。
（Ⅱ）點(diǎn)P的坐標(biāo)為 。 。
因?yàn)?0〈 ， 所以
說明：在引入向量的坐標(biāo)表示后，可以使向量運(yùn)算代數(shù)化，這樣就可以將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起。向量的夾角問題融入解析幾何問題中，也就顯得十分自然。求解這類問題的關(guān)鍵是：先把向量用坐標(biāo)表示，再用解析幾何知識(shí)結(jié)合向量的夾角公式使問題獲解；也可以把兩向量夾角問題轉(zhuǎn)化為兩直線所成角的問題，用數(shù)形結(jié)合方法使問題獲解。

（Ⅲ）、強(qiáng)化訓(xùn)練
1、已知P是以 、 為焦點(diǎn)的橢圓 上一點(diǎn)，若 ，則橢圓的離心率為 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2、已知△ABC的頂點(diǎn)A(3, -1)，AB邊上的中線所在直線的方程為6x+10y-59=0，∠B的平分線所在直線的方程為：x-4y+10=0，求邊BC所在直線的方程。
3、求直線l2：7x-y+4=0到l1：x+y-2=0的角平分線的方程。
食物P食物Q食物R
維生素A（單位/kg）400600400
維生素B（單位/kg）800200400
成本（元/kg）654
4、已知三種食物P、Q、R的維生素含量與成本如下表所示.

現(xiàn)在將xkg的食物P和ykg的食物Q及zkg的食物R混合，制成100kg的混合物.如果這100kg的混合物中至少含維生素A44 000單位與維生素B48 000單位，那么x，y，z為何值時(shí)，混合物的成本最��？
5、某人有樓房一幢，室內(nèi)面積共180 ，擬分隔成兩類房間作為旅游客房.大房間每間面積為18 ，可住游客5名，每名游客每天住宿費(fèi)為40元；小房間每間面積為15 ，可住游客3名，每名游客每天住宿費(fèi)為50元.裝修大房間每間需1000元，裝修小房間每間需600元.如果他只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿客房，他應(yīng)隔出大房間和小房間各多少間，能獲得最大收益？
6、已知△ABC三邊所在直線方程AB：x-6=0，BC：x-2y-8=0，CA：x+2y=0，求此三角形外接圓的方程。
7、已知橢圓x2+2y2=12，A是x軸正方向上的一定點(diǎn)，若過點(diǎn)A，斜率為1的直線被橢圓截得的弦長為 ，求點(diǎn)A的坐標(biāo)。
8、已知橢圓 （a＞b＞0）上兩點(diǎn)A、B，直線 上有兩點(diǎn)C、D，且ABCD是正方形。此正方形外接圓為x2+y2-2y-8=0，求橢圓方程和直線 的方程。
9、求以直線 為準(zhǔn)線，原點(diǎn)為相應(yīng)焦點(diǎn)的動(dòng)橢圓短軸MN端點(diǎn)的軌跡方程。
10、若橢圓的對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，兩焦點(diǎn)與兩短軸端點(diǎn)正好是正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，又焦點(diǎn)到同側(cè)長軸端點(diǎn)的距離為 ，求橢圓的方程。
11、已知直線 與橢圓 相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線 上.
（１）求此橢圓的離心率；
（2 ）若橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn)的在圓 上，求此橢圓的方程.
12、設(shè)A（x1，y1）為橢圓x2+2y2=2上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作一條直線 ，斜率為 ，又設(shè)d為原點(diǎn)到直線 的距離,r1、r2分別為點(diǎn)A到橢圓兩焦點(diǎn)的距離。求證： 為定值。
13、 某工程要將直線公路l一側(cè)的土石，通過公路上的兩個(gè)道口A和B，沿著道路AP、BP運(yùn)往公路另一側(cè)的P處，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，試說明怎樣運(yùn)土石最省工？
14、已知橢圓 （a＞b＞0），P為橢圓上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，（1）若 ， ，求證：離心率 ；（2）若 ，求證： 的面積為 。
15、在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC= 。DO⊥AB于O點(diǎn)，OA=OB，DO=2，曲線E過C點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在E上運(yùn)動(dòng)，且保持 PA + PB 的值不變.
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程；
（2）過D點(diǎn)的直線L與曲線E相交于不同的兩點(diǎn)M、N且M在D、N之間，設(shè) ，
試確定實(shí)數(shù) 的取值范圍．
16、 （2004年北京春季高考） 已知點(diǎn)A（2，8）， 在拋物線 上， 的重心與此拋物線的焦點(diǎn)F重合（如圖）

（I）寫出該拋物線的方程和焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（II）求線段BC中點(diǎn)M的坐標(biāo)； （III）求BC所在直線的方程。

（Ⅳ）、參考答案
1、解：設(shè)c為為橢圓半焦距，∵ 　∴
又 ∴
解得： 選（D）。
說明：垂直向量的引入為解決解析幾何問題開辟了新思路。求解此類問題的關(guān)鍵是利用向量垂直的充要條件：“ ”，促使問題轉(zhuǎn)化，然后利用數(shù)形結(jié)合解決問題。
2、解：設(shè)B(a, b)，B在直線BT上，∴a-4b+10=0① 又AB中點(diǎn) 在直線CM上，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程6x+10y-59=0 ∴ ② 解①、②組成的方程組可得a=10，b=5 ∴B(10, 5)，又由角平分線的定義可知，直線BC到BT的角等于直線BT到直線BA的角，又 ∴ ∴ ，∴BC所在直線的方程為 即2x+9y-65=0
3、解法一：設(shè)l2到l1角平分線l的斜率為k，∵k1=-1，k2=7
∴ ，解之得k=-3或 ，由圖形可知k<0，
∴k=-3，又由 解得l1與l2的交點(diǎn) ，
由點(diǎn)斜式得 即6x+2y-3=0
解法二：設(shè)l2到l1的角為θ，則 ，所以角θ為銳角，而 ，由二倍角公式可知 ∴ 或 為銳角，
∴ ，∴k=-3等同解法一。
解法三：設(shè)l：(x+y-2)+λ(7x-y+4)=0 即(1+7λ)x+(1-λ)y+(4λ-2)=0①
∴ ，由解法一知 ，∴ ，代入①化簡即得：6x+2y-3=0
解法四：用點(diǎn)到直線的距離公式，設(shè)l上任一點(diǎn)P(x, y)，則P到l1與l2的距離相等。
∴ 整理得：6x+2y-3=0與x-3y+7=0，又l是l2到l1的角的平分線，
k<0，∴x-3y+7=0不合題意所以所求直線l的方程為6x+2y-3=0.
4、分析：由x+y+z=100，得z=100-x-y，所以上述問題可以看作只含x，y兩個(gè)變量.設(shè)混合物的成本為k元，那么k=6x+5y+4（100-x-y）=2x+y+400.于是問題就歸結(jié)為求k在已知條件下的線性規(guī)劃問題.
解：已知條件可歸結(jié)為下列不等式組：
x≥0，
y≥0，
x+y≤100，
400x+600y+400（100-x-y）≥44000，
800x+200y+400（100-x-y）≥48000.
x+y≤100，
即 y≥20， ①
2x-y≥40.
在平面直角坐標(biāo)系中，畫出不等式組①所表示的平面區(qū)域，這個(gè)區(qū)域是直線x+y=100，y=20，2x-y=40圍成的一個(gè)三角形區(qū)域EFG（包括邊界），即可行域，如圖所示的陰影部分.
設(shè)混合物的成本為k元，那么k=6x+5y+4（100-x-y）=2x+y+400.
作直線 ：2x+y=0，把直線 向右上方平移至 位置時(shí)，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)E，且與原點(diǎn)的距離最小，此時(shí)2x+y的值最小，從而k的值最小.
2x-y=40， x=30，
由 得 即點(diǎn)E的坐標(biāo)是（30，20）.
y=20， y=20，
所以， =2×30+20+400=480（元），此時(shí)z=100-30-20=50.
答：取x=30，y=20，z=50時(shí)，混合物的成本最小，最小值是480元.

5、解：設(shè)隔出大房間x間，小房間y間時(shí)收益為z元，則x、y滿足
18x+15y≤180，
1000x+600y≤8000，
x，y∈N，
且 z=200x+150y.
所以 6x+5y≤60，
5x+3y≤40，
x，y∈N，
作出可行域及直線 ：200x+150y=0，即4x+3y=0.（如圖4）
把直線 向上平移至 的位置時(shí)，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)B，且與原點(diǎn)距離最大.此時(shí)，z=200x+150y取最大值.但解6x+5y=60與5x+3y=40聯(lián)立的方程組得到B（ ， ）.由于點(diǎn)B的坐標(biāo)不是整數(shù)，而x，y∈N，所以可行域內(nèi)的點(diǎn)B不是最優(yōu)解.
為求出最優(yōu)解，同樣必須進(jìn)行定量分析.
因?yàn)?× +3× = ≈37.1，但該方程的非負(fù)整數(shù)解（1，11）、（4，7）、（7，3）均不在可行域內(nèi)，所以應(yīng)取4x+3y=36.同樣可以驗(yàn)證，在可行域內(nèi)滿足上述方程的整點(diǎn)為（0，12）和（3，8）.此時(shí)z取最大值1800元.

6、解：解方程組可得A(6, -3)、B(6, -1)、C(4, 2)設(shè)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，則：

解之得：D= ，E=4，F(xiàn)=30
所以所求的△ABC的外接圓方程為：

7、分析：若直線y=kx+b與圓錐曲線f（x，y）=0相交于兩點(diǎn)P（x1，y1）、Q（x2、y2），則弦PQ的長度的計(jì)算公式為 ，而
，因此只要把直線y=kx+b的方程代入圓錐曲線f（x，y）=0方程，消去y（或x），結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求出弦長。
解：設(shè)A（x0，0）（x0＞0），則直線 的方程為y=x-x0，設(shè)直線 與橢圓相交于P（x1，y1），
Q（x2、y2），由 y=x-x0 可得3x2-4x0x+2x02-12=0，
x2+2y2=12
， ，則

∴ ，即
∴x02=4，又x0＞0，∴x0=2，∴A（2，0）。

8、解：圓方程x2+y2-2y-8=0即x2+(y-1)2=9的圓心O＇（0，1），半徑r=3。
設(shè)正方形的邊長為p，則 ，∴ ，又O＇是正方形ABCD的中心，∴O＇到直線y=x+k的距離應(yīng)等于正方形邊長p的一半即 ，由點(diǎn)到直線的距離公式可知k=-2或k=4。
（1）設(shè)AB：y=x-2 由 y=x-2
CD：y=x+4 x2+y2-2y-8=0
得A（3，1）B（0，-2），又點(diǎn)A、B在橢圓 上，∴a2=12，b2=4，橢圓的方程為 。
（2）設(shè)AB：y=x+4，同理可得兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，4），（-3，1）代入橢圓方程得
，此時(shí)b2＞a2（舍去）。
綜上所述，直線 方程為y=x+4，橢圓方程為 。

9、分析：已知了橢圓的焦點(diǎn)及相應(yīng)準(zhǔn)線，常常需要運(yùn)用橢圓的第二定義：橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比等于離心率e，而該題中短軸端點(diǎn)也是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，因此只要運(yùn)用第二定義結(jié)合a、b、c的幾何意義即可。
解：設(shè)M（x，y），過M作 于A， ， ，∴ ，又過M作 軸于O＇，因?yàn)辄c(diǎn)M為短軸端點(diǎn)，則O＇必為橢圓中心，
∴ ， ，∴ ，∴ 化簡得y2=2x，∴短軸端點(diǎn)的軌跡方程為y2=2x（x≠0）。

10、解：若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，如圖，∵四邊形B1F1B2F2是正方形，且A1F1= ，由橢圓的幾何意義可知， 解之得： ，此時(shí)橢圓的方程為 ，同理焦點(diǎn)也可以在y軸上，綜上所述，橢圓的方程為 或 。
11、解:（1）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 得
,
根據(jù)韋達(dá)定理，得

∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）.
由已知得
故橢圓的離心率為 .
（2）由（1）知 從而橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為 設(shè) 關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn)為
解得
由已知得
故所求的橢圓方程為 .

12、分析：根據(jù)橢圓的第二定義，即到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比等于常數(shù)e（0＜e＜1）的點(diǎn)的軌跡是橢圓，橢圓 上任一點(diǎn)P（x1，y1）到左焦點(diǎn)F1的距離PF1=a+ex1，到右焦點(diǎn)F2的距離PF2=a-ex1；同理橢圓 上任一點(diǎn)P（x1，y1）到兩焦點(diǎn)的距離分別為a+ey1和a-ey1，這兩個(gè)結(jié)論我們稱之為焦半徑計(jì)算公式，它們?cè)跈E圓中有著廣泛的運(yùn)用。
解：由橢圓方程 可知a2=2，b2=1則c=1，∴離心率 ，由焦半徑公式可知， 。又直線 的方程為：
即x1x+2y1y-2=0，由點(diǎn)到直線的距離公式知， ，又點(diǎn)（x1，y1）在橢圓上，∴2y12=2=x12，
∴ ，
∴ 為定值。

13、解: 以直線l為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)對(duì)立直角坐標(biāo)系，則在l一側(cè)必存在經(jīng)A到P和經(jīng)B到P路程相等的點(diǎn)，設(shè)這樣的點(diǎn)為M，則
MA+AP=MB+BP,
即 MA－MB=BP－AP=50,
,
∴M在雙曲線 的右支上.
故曲線右側(cè)的土石層經(jīng)道口B沿BP運(yùn)往P處，曲線左側(cè)的土石層經(jīng)道口A沿AP運(yùn)往P處，按這種方法運(yùn)土石最省工.
相關(guān)解析幾何的實(shí)際應(yīng)用性試題在高考中似乎還未涉及，其實(shí)在課本中還可找到典型的范例，你知道嗎？

14、分析： 的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，另一點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，因此 ，F(xiàn)1F2=2c，所以我們應(yīng)以 為突破口，在該三角形中用正弦定理或余弦定理，結(jié)合橢圓的定義即可證得。
證明：（1）在 中，由正弦定理可知 ，則
∴
∴
（2）在 中由余弦定理可知
y
∴
∴ 。

15、解: （1）建立平面直角坐標(biāo)系, 如圖所示 .
∵ PA + PB = CA + CB =
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓 .
∵
∴曲線E的方程是 .
（2）設(shè)直線L的方程為 , 代入曲線E的方程 ，得

設(shè)M1（ , 則

i) L與y軸重合時(shí)，
ii) L與y軸不重合時(shí)，
由①得 又∵ ,
∵ 或
∴0＜ ＜1 , ∴ .
∵
而 ∴ ∴
∴ , ,
∴ 的取值范圍是 。
16、分析：本小題主要考查直線、拋物線等基本知識(shí)，考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力。
解：（I）由點(diǎn)A（2，8）在拋物線 上，有 解得
所以拋物線方程為 ，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（8，0）
（II）如圖，由F（8，0）是 的重心，M是BC的中點(diǎn)，所以F是線段AM的定比分點(diǎn)，且 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 ，則
解得 所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為

（III）由于線段BC的中點(diǎn)M不在x軸上，所以BC所在的直線不垂直于x軸。
設(shè)BC所成直線的方程為
由 消x得
所以 由（II）的結(jié)論得 解得
因此BC所在直線的方程為 即 。

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