一、映射
（１）映射的概念：設Ａ，Ｂ是兩個集合，如果按照某種對應法則 ，對于集合Ａ中的任何一個元素，在集合Ｂ中都有惟一的元素與它對應，這樣的對應關系叫做從集合Ａ到集合Ｂ的映射，記作 ．
（２）象和原象：給定一個集合Ａ到Ｂ的映射，且 ， ，如果元素 和元素 對應，那么，我們把元素 叫做元素 的象，元素 叫做元素 的原象．
二、函數(shù)
（１）傳統(tǒng)定義：如果在某變化過程中有兩個變量 ， ，并且對于 在某個范圍內(nèi)的每一個確定的值，按照某個對應法則 ， 都有惟一確定的值和它對應，那么 就是 的函數(shù)，記為 ．
（２）近代定義：函數(shù)是由一個非空數(shù)集到另一個非空數(shù)集的映射．
（３）函數(shù)的三要素：函數(shù)是由定義域、值域以及從定義域到值域的對應法則三部分組成的特殊的映射．
（４）函數(shù)的表示法：解析法、列表法、圖象法．

理解好函數(shù)概念還必須注意以下幾點：
①函數(shù)是一種特殊的映射，集合Ａ、Ｂ都是非空的數(shù)的集合．
②確定函數(shù)的映射是從定義域Ａ到值域Ｃ上的映射，允許Ａ中的不同元素在Ｃ中有相同的象，但不允許Ｃ中的元素在Ａ中沒有原象．
③兩個函數(shù)只有當定義域、值域、對應法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才相同．
④函數(shù)的定義域、值域、對應法則 統(tǒng)稱為函數(shù)的三要素，其中對應法則 是核心， 是使對應得以實現(xiàn)的方法和途徑，是聯(lián)系 與 的紐帶．定義域是自變量 的取值范圍，是函數(shù)的一個重要組成部分．同一個函數(shù)的對應法則，由于定義域不相同，函數(shù)的圖像與性質(zhì)一般也不相同．
⑤函數(shù)的圖像可以是一條或幾條平滑的曲線也可以是一些離散的點，一些線段等．
⑥ 的含義與 的含義不同． 表示自變量 時所得的函數(shù)值，它是一個常量； 是 的函數(shù)，通常它是一個變量．

定義法
用數(shù)學概念的基本定義解決相關問題的方法，稱之為定義法．利用定義解題的關鍵是把握住定義的本質(zhì)特征．
[例1]　已知函數(shù)f(x)的定義域為[－1,5]，在同一直角坐標系下，函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝1的交點個數(shù)為(　　)
A．0個　 　B．1個　 　C．2個　 　D．0個或1個
解析：∵f(x)的定義域為[－1,5]，而1∈[－1,5]
∴點(1，f(1))在函數(shù)y＝f(x)的圖象上
而點(1，f(1))又在直線x＝1上
∴直線x＝1與函數(shù)y＝f(x)的圖象必有一個交點(1，f(1))
根據(jù)函數(shù)的定義知，函數(shù)是一個特殊的映射，即對于定義域[－1,5]中的任何一個元素，在其值域中有唯一確定的元素f(1)與之對應，故直線x＝1與y＝f(x)的圖象有且只有一個交點．選B.

三、典型例題
題型一.映射與函數(shù)的概念
[例1]　判斷下列各組中兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)．


解析：(1)函數(shù)的定義域、對應法則均相同，所以是同一函數(shù)．
(2)y＝ ＝x＋1，但x≠1，故兩函數(shù)定義域不同，所以它們不是同一函數(shù)．

(3)函數(shù)f(x)＝ ?的定義域為{xx≥0}．

而g(x)＝ 的定義域為{xx≤－1或x≥0}，

它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù)．
(4)去掉絕對值號可知f(x)與g(x)是同一函數(shù)．
總結(jié)評述：當一個函數(shù)的對應法則和定義域確定后，其值域隨之得到確定，故函數(shù)的三要素(定義域、值域、對應法則)可簡化為兩要素(定義域、對應法則)，所以兩個函數(shù)當且僅當定義域和對應法則相同時為同一函數(shù)．

練習：下列各組函數(shù)中，表示相同函數(shù)的是 （D）


例2、下列對應是否為從A到B的映射？能否構(gòu)成函數(shù)？
不，不
是，是
。是，不
（4） ，B=R f:x ，不，不
總結(jié)評述：欲判斷對應f：A→B是否是從A到B的映射，必須做兩點工作：①明確集合A、B中的元素．②根據(jù)對應法則判斷A中的每個元素是否在B中能找到惟一確定的對應元素．
例3（ 06年浙江卷）函數(shù)f:{1,2,3}→ {1,2,3}，滿足f(f(x))=f(x),這樣的函數(shù)個數(shù)（ D ）
A. 1 B. 4 C. 8 D. 10
練習： 都有
x+f(x)+xf(x)是奇數(shù)，這樣的映射f共有（）個
A、22 B、15 C、50 D、27
解:分步為-1,0,1找象,當x為偶數(shù)時,f(x)必為奇數(shù),當x為奇數(shù)時,f(x)可奇可偶,所以當x=0時,f(x)只取3,5中一個,當x=-1或,1,f(x)可取2,3,4,5,6中任意一個,由乘法原理知,這個的映射的個數(shù)共有5×5×2=50
題型二.求定義域
例4（1）求下列函數(shù)的定義域： 的定義域．
（2）已知函數(shù) 的定義域是 ，求函數(shù) 的定義域．
（3）已知函數(shù)f(2x）的定義域是［-1，1］，求f(log2x)的定義域.?

解：由函數(shù)解析式有意義，得

故函數(shù)的定義域是 ．
(2）由 ．
∵ 函數(shù)的定義域不可能為空集，∴ 必有 ，即
此時， ，函數(shù)的定義域為（ ）；
(2)∵y=f(2x)的定義域是［-1，1］，即-1≤x≤1,∴ ≤2x≤2.?
∴函數(shù)y=f(log2x)中 ≤log2x≤2.即log2 ≤log2x≤log24,∴ ≤x≤4.?
故函數(shù)f(log2x)的定義域為［ ，4］

練習：


題型三.實際問題中函數(shù)定義域的確定

四、作業(yè)：
1.求函數(shù)f(x)= 的定義域.?
解 由
∴-1＜x＜0.?
∴函數(shù)f(x)= 的定義域為（-1,0）.
2．已知向量 滿足 ，且 ，
（１）求向量 （２）若映射 ，
①求映射 下 的原象；
②若將 作點的坐標，問是否存在直線 ，使得直線 上任一點在映射 的作用下，仍在直線 上，若存在，求出 的方程，若不存在，請說明理由．
解：（１）設 則 　∴ 　∴
（２）①∵ ，　∴ 　　∴原象是 ；
②假設 存在，設其方程為
∴ ．∵點 在直線 上，∴ 　
即 與 表示同一直線

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