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等差數(shù)列（2）
【三維目標】：
一、知識與技能
1.進一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式及推導公式，掌握等差數(shù)列的特殊性質及應用；掌握證明等差數(shù)列的方法；
2.明確等差中項的概念和性質；會求兩個數(shù)的等差中項；
3.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關系，并能用有關知識解決相應的問題；
4.能通過通項公式與圖像認識等差數(shù)列的性質，體會等差數(shù)列是用來刻畫一類離散現(xiàn)象的重要數(shù)學模型，體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系；能用圖像與通項公式的關系解決某些問題。
二、過程與方法
通過等差數(shù)列的圖像的應用，進一步滲透數(shù)形結合思想、函數(shù)思想；通過等差數(shù)列通項公式的運用，滲透方程思想。
三、情感、態(tài)度與價值觀
通過對等差數(shù)列的研究，使學生明確等差數(shù)列與一般數(shù)列的內在聯(lián)系，從而滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點。
【重點與難點】：
重點：等差中項的概念及等差數(shù)列性質的應用。
難點：等差中項的概念及等差數(shù)列性質的應用。
【學法與用具】：
1. 學法：
2. 教學用具：多媒體、實物投影儀.
【授課類型】：新授課
【課時安排】：1課時
【教學思路】：
一、創(chuàng)設情景，揭示課題
1．復習等差數(shù)列的定義、通項公式
（1）等差數(shù)列定義
（2）等差數(shù)列的通項公式： ( 或 ( 是常數(shù)))
（3）公差 的求法：① - ② ③
2．等差數(shù)列的性質：
（1）在等差數(shù)列 中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；
（2）在等差數(shù)列 中，相隔等距離的項組成的數(shù)列是
如： ， ， ， ，……； ， ， ， ，……；
（3）在等差數(shù)列 中，對任意 ， ， ， ；
（4）在等差數(shù)列 中，若 ， ， ， 且 ，則
3．問題：（1）已知 是公差為 的等差數(shù)列。
① 也成等差數(shù)列嗎？如果是，公差是多少？
② 也成等差數(shù)列嗎？如果是，公差是多少？
（2）已知等差數(shù)列 的首項為 ，公差為 。
①將數(shù)列 中的每一項都乘以常數(shù) ，所得的新數(shù)列仍是等差數(shù)列嗎？如果是，公差是多少？
②由數(shù)列 中的所有奇數(shù)項按原來的順序組成的新數(shù)列 是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項和公差分別是多少？
（3）已知數(shù)列 是等差數(shù)列，當 時，是否一定有 ？
（4）如果在 與 中間插入一個數(shù) ，使得 ， ， 成等差數(shù)列，那么 應滿足什么條件？
二、研探新知
1.等差中項的概念：
如果 ， ， 成等差數(shù)列，那么 叫做 與 的等差中項。其中
， ， 成等差數(shù)列 ．
2.一個有用的公式：
（1）已知數(shù)列{ }是等差數(shù)列
① 是否成立？ 呢？為什么？
② 是否成立？據(jù)此你能得到什么結論？
③ 是否成立？？你又能得到什么結論？
（2）在等差數(shù)列 中， 為公差，若 且
求證：① ②
證明：①設首項為 ，則
∵ ∴
② ∵
∴
探究：等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系
注意：（1）由此可以證明一個結論：設 成AP，則與首末兩項距離相等的兩項和相等，即： ，
同樣：若 則
（2）表示等差數(shù)列的各個點在一條直線上，這條直線的斜率是公差d
三、質疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維
例1（教材 例3）已知等差數(shù)列 的通項公式是 ，求首項
和公差 。
解： ，∴ 或
，等差數(shù)列 的通項公式是 ，是關于 的一次式，從圖象上看，表示這個數(shù)列的各點 均在直線 上（如圖）
例2 ①在等差數(shù)列 中， ，求 ．
②在等差數(shù)列 中， ，求 的值。
解：①由條件： ；
②由條件：∵ ∴ ∴ ．
例3若 求
解：∵ 6+6=11+1, 7+7=12+2…… ∴ , ……從而
+ 2
∴ =2 ? =2×80?30=130
一般的：若 成等差數(shù)列那么 、 、 、…也成等差數(shù)列
例4如圖，三個正方形的邊 的長組成等差數(shù)列，且 ，這三個正方形的面積之和是 。（1）求 的長；（2）以 的長為等差
數(shù)列的前三項，以第10項為邊長的正方形的面積是多少？
解：（1）設公差為 ， 則
由題意得： 解得： 或 （舍去）
∴
（2）正方形的邊長組成已3為首項，公差為4的等差數(shù)列 ，
∴ ，∴ 所求正方形的面積是 。
四、鞏固深化，反饋矯正
1.教材 練習
2.在等差數(shù)列 中, 若 求
解： 即 ∴ 從而
變題：在等差數(shù)列 中，（1）若 ， 求 ；（2）若 求
解：（1） 即 ∴ ；（2） =
五、歸納整理，整體認識
本節(jié)課學習了以下內容：
1． 成等差數(shù)列，等差中項的有關性質意義
2．在等差數(shù)列中， （ ， ， ， ）
3．等差數(shù)列性質的應用；掌握證明等差數(shù)列的方法。
六、承上啟下，留下懸念
1.在等差數(shù)列{ }中, 已知 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝450, 求 ＋ 及前9項和 .
解：由等差中項公式： ＋ ＝2 ， ＋ ＝2 由條件 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝450, 得5 ＝450, ＝90, ∴ ＋ ＝2 ＝180.
＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
＝( ＋ )＋( ＋ )＋( ＋ )＋( ＋ )＋ ＝9 ＝810.
七、板書設計（略）
八、課后記：
判斷一個數(shù)列是否成等差數(shù)列的常用方法
1．定義法：即證明
例：已知數(shù)列 的前 項和 ，求證數(shù)列 成等差數(shù)列，并求其首項、公差、通項公式。
解： 當 時
時 亦滿足 ∴ 首項
∴ 成 且公差為6
2．中項法： 即利用中項公式，若 則 成 。
例：已知 ， ， 成 ，求證 ， ， 也成 。
證明： ∵ ， ， 成 ∴ 化簡得：

= ∴ ， ， 也成AP
3．通項公式法：利用等差數(shù)列得通項公式是關于 的一次函數(shù)這一性質。
例：設數(shù)列 其前 項和 ，問這個數(shù)列成AP嗎？
解： 時 時 , 不滿足
∴ ∴ 數(shù)列 不成 但從第2項起成 。



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