第一講 等差數(shù)列、等比數(shù)列
【備考策略】
根據(jù)近幾年高考命題特點和規(guī)律，復習本專題時要注意以下幾方面：
1．弄清等差、等比數(shù)列的基本概念及性質(zhì)，掌握等差、等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式。
2．掌握特殊數(shù)列的求和方法。如：倒序相加、錯位相減、裂項相消、分組求和等。
3．利用數(shù)列中 與 之間的關(guān)系，求能項公式及解決其他數(shù)列問題。
4．利用數(shù)列的遞推關(guān)系,求通項公式,結(jié)合n項和公式,解決數(shù)列應(yīng)用題。
5．數(shù)列經(jīng)常與函數(shù)、三角、不等式、解析幾何等知識結(jié)合，綜合考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式及前n項和公式的應(yīng)用。
6．利用方程的思想、根據(jù)公式列方程（組），解決等差數(shù)列、等比數(shù)列中的“知三求二”問題；利用函數(shù)的思想或根據(jù)函數(shù)的圖象、單調(diào)性、值域等解決數(shù)列中項的最值及數(shù)列的前n項和 的最值問題；利用等價轉(zhuǎn)化的思想把非等差數(shù)列、等比數(shù)列問 題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題來解決；利用分類討論的思想解決等比數(shù)列的公比q是否為1等問題。
7．結(jié)合數(shù)學歸納法解決一類歸納——猜想——證明的題目。
第一講 等差數(shù)列、等比數(shù)列
【最新考綱透析】
1．數(shù)列的概念和簡單表示法
（1）了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式）。
（2）了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)。
2．等差數(shù)列、等比數(shù)列
（1）理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念。
（2）掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式。

【核心要點突破】
要點考向1：有關(guān)等差數(shù)列的基本問題
考情聚焦：1．等差數(shù)列作為高考中數(shù)學的重點內(nèi)容，在歷年高考中都有所考查。
2．該類問題一般獨立命題，考查等差數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、前n項公式，有時與函數(shù)的單調(diào)性、不等式知識結(jié)合在一起命題。
3．多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬中、低檔題。
考向鏈接：1．涉及等差數(shù) 列的有關(guān)問題往往用等差數(shù)列的通項公式和求和公式“知三求二”解決問題；
2．等差數(shù)列前n項和的最值問題，經(jīng)常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題；有時利用數(shù)列的單調(diào)性（d＞0,遞增；d＜0，遞減）；
3．證明數(shù)列{ }為等差數(shù)列有如下方法：①定義法；證明 （與n值無關(guān)的常數(shù)）；②等差中項法：證明 。
例1：（2010?浙江 高考文科?Ｔ19）設(shè)a1，d為實數(shù)，首項為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足 +15=0。
（Ⅰ）若 =5，求 及a1；
（Ⅱ）求d的取值范圍。
【命題立意】本題主要考查等差數(shù)列概念、求和公式等基礎(chǔ)知識，同時考查運算求解能力及分析問題解決問題的能力。
【思路點撥】本題直接利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和求解即可。
【規(guī)范解答】(Ⅰ)由題意知S6= =-3, =S6-S5=-8。所以
解得a1=7，所以S6= -3,a1=7
(Ⅱ)方法一：因為S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.
故(4a1+9d)2=d2-8. 所以d2≥8.[ 故d的取值范圍為d≤-2 或d≥2 .
方法二：因為S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.
看成關(guān)于 的一元二次方程，因為有根，所以 ，解得 或 。
要點考向2：有關(guān)等比數(shù)列的基本問題
考情聚焦：1．等比數(shù)列作為高中數(shù)學的重點內(nèi)容，在歷年高考中都有所考查。
2．該類問題有時單獨命題，考查等比數(shù)列的概念、通項公式、前n項和公式；但更多的是與函數(shù)的單調(diào)性、不等式結(jié)合在一起，在知識交匯點 處命題。
3．選擇、填空及解答題中都有可能出現(xiàn)，屬中、高檔題。
考向鏈接：（1）證明數(shù)列{ }為等比數(shù)列有如下方法：
①定義法：證明 。
②等比中項法： 。
（2）求一般數(shù)列{ }通項公式時常用構(gòu)造數(shù)列法、待定系數(shù)法等。
例2：（2010?遼寧高考理科?Ｔ6）設(shè){an}是有正數(shù)組成的等比數(shù)列， 為其前n項和。已知a2a4=1, ,則 ( )
（A） (B) (C) (D)
【命題立意】本題考查了等比數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的前n項和公式
【思路點撥】列出關(guān)于a1 q 的方程組，解出a1 q 再利用前n項和公式求出
【規(guī)范解答】選B。根據(jù)題意可得：

要點考向3：等差、等比數(shù)列綜合問題
考情聚焦：1．等差、等比數(shù)列作為高中數(shù)學的重點內(nèi)容，在歷年高考中都有所體現(xiàn)。
2．單獨考查等差數(shù)列或等比數(shù)列的問題較少，大部分題目是等差、等比數(shù)列在同一個題中出現(xiàn)，在兩知識的交匯點處命題，同時考查其他數(shù)學知識、思想方法等。
3．多以解答題的形式出現(xiàn)，屬中、高檔題目。
例3：（2010?陜西高考理科?Ｔ１6）
已知 是公差不為零的等差數(shù)列， 且 成等比數(shù)列
（Ⅰ）求數(shù)列 的通項公式，（Ⅱ）求數(shù)列 的前n項和
【命題立意】本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項公式和前ｎ項和公式的應(yīng)用，考查考生的運算求解能力．
【思路點撥】已知 關(guān)于d的方程 d
【規(guī)范解答】

【方法技巧】1.在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題時，“基本量法”是常用的方法，但有時靈活地運用性質(zhì)，可使運算簡便，而一般數(shù)列的問題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解。
2．數(shù)列求通項的常見類型與方法：公式法、由遞推公式求通項，由 求通項，累加法、累乘法等
3.數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、分組法、倒序相加法等。
4．解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質(zhì)，揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略．

【高考真題探究】
1．（2010?福建高考理科?Ｔ3）設(shè)等差數(shù)列 的前n項和為 。若 ， ，則當 取最小值時，n等于（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
【命題立意】本題考查學生對等差數(shù)列公式、求和公式的掌握程度，以及一元二次方程最值問題的求解。
【思路點撥】 。
【規(guī)范解答】選A，由 ，得到 ，從而 ，所以 ，因此當 取得最小值時， .= ，又 ，故 ，從而 , .
2．（2010?遼寧高考文科?Ｔ3）設(shè) 為等比數(shù)列 的前n項和，已知
,則公比q = ( )
(A)3(B)4(C)5(D)6
【命題立意】本題主要考查等比數(shù)列的前n項和公式，考查等比數(shù)列的通項公式。
【思路點撥】兩式相減，即可得到相鄰兩項的關(guān)系，進而可求公比q。
【規(guī)范解答】選B，兩式相減可得： , 。故選B。
3．（2010?福建高考理科?Ｔ11）在等比數(shù)列{ }中，若公比q=4，且前3項之和等于21，則該數(shù)列的通項公式 = 。
【命題立意】本題主要考查等比數(shù)列的通項和前n項和公式。
【思路點撥】由前3項之和等于21求出 ，進而求出通項 。
【規(guī)范解答】選A， ,
【方法技巧】另解： ，
4．（2010?遼寧高考文科?Ｔ14）設(shè)Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項和，若S3=3，S6 =24，則a9= .
【命題立意】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了等差數(shù)列的前n項和公式
【思路點撥】根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，列出關(guān)于首項a1和公差d的方程組，求出a1和d，再求出
【規(guī)范解答】記首項a1公差d,則有 。
。
【答案】15
5．（2010?浙江高考文科?Ｔ14）在如下數(shù)表中，已知每行、每列中的數(shù)都成等差數(shù)列，那么，位于下表中的第n行第n+1列的數(shù)是 。

【命題立意】本題主要考察了等差數(shù)列的概念和通項公式，以及運用等差關(guān)系解決問題的能力，屬中檔題。
【思路點撥】解決本題要先觀察表格，找出表中各等差數(shù)列的特點。
【規(guī)范解答】第n行第一列的數(shù)為n，觀察得，第n行的 公差為n，所以第n0行的通項公式為 ，又因為為第n+1列，故可得答案為 。
【答案】
6．（2 010?北京高考文科?Ｔ１6）已知 為等差數(shù)列，且 ， 。
（Ⅰ）求 的通項公式；
（Ⅱ）若等比數(shù)列 滿足 ， ，求 的前n項和公式
【命題立意】本題考查等差數(shù)列的通項公式等比數(shù)列的前n項和，熟練數(shù)列的基礎(chǔ)知識是解答好本類題目的關(guān)鍵。
【思路點撥】（1）由 可列方程解出 ，從而可求出通項公式；（2）求出 ，再求出公式。代入等比數(shù)列的前n項和公式即可。
【規(guī)范解答】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列 的公差 。 因為
所以 解得 ，所以
（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列 的公比為
因為 所以 即 =3
所以 的前 項和公式為

【跟蹤模擬訓練】
一、選擇題（本大題共6個小題，每小題6分，總分36分）
1.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2=1，a 3=3，則S4=( )
(A)12(B)10(C)8(D)6
2.設(shè)數(shù)列{xn}滿足log2xn+1=1+log2xn,且x1+x2+x3+…+x10=10,則x11+x12+x13+…+x20的值為( )
(A)10×211(B)10×210
(C)11×211(D)11×210
3.已知正數(shù)組成的等差數(shù)列{an}，前20項和為100，則a7?a14的最大值是( )
(A)25(B)50(C)100(D)不存在
4.已知 為等 比數(shù)列，Sn是它的前n項和。若 ， 且 與2 的等差中項為 ，則 =( )
A．35 B.33 C.31 D.29
5. 設(shè) 是任意等比數(shù)列，它的前 項和，前 項和與前 項和分別為 ，則下列等式中恒成立的是( )
A、 B、
C、 D、
6. （2010?濰坊模擬）已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，Sn是其前n項和，且有S9A．S9C．S7與S8均為Sn的最大值 D．a(chǎn)8=0

二、填空題（本大題共3個小題，每小題6分，總分18分）
7.將正偶數(shù)劃分為數(shù)組：（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20），…，則第n組各數(shù)的和是 .（用含n的式子表示）
8.已知數(shù)列{an}滿足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N*,則a2 009=_______;a2 014=_______.
9.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a4=15,S5=55,則過點P(3,a3),Q(10,a10)的直線的斜率為_______.

三、解答題（10、11題每小題15分，12題16分，總分46分）
10.數(shù)列 的通項 試問該數(shù)列有沒有最大項？若有，求 出最大項和最大項的項數(shù)；若沒有，說明理由
11.在等比數(shù)列{an}中，前n項和為Sn，若Sm,Sm+2,Sm+1成等差數(shù)列，則am,am+2,am+1成等差數(shù)列.
（1）寫出這個命題的逆命題；
（2）判斷逆命題是否為真？并給出證明.
12.已知數(shù)列 中，前n項和為 ， ，并且 （ ），
（1）求 ， 的值；
（2）設(shè) ，若實數(shù) 使得數(shù)列 為等差數(shù)列，求 的值。
（3）在（2）的條件下，設(shè)數(shù)列 的前n項和為 ，求證：


參考答案
一、選擇題
1. 【解析】選C.S4= =2×(1+3)=8.
2. 【解析】選B.∵log2xn+1-log2xn=1,

∴{xn}為等比數(shù)列，其公比q=2,
又∵x1+x2+…+x10=10,
∴x11+x12+…+x20=q10(x1+x2+…+x10)=210×10.
3. 【解析】選A.∵S20= ×20=100,
∴a 1+a20=10,
∵a1+a20=a7+a14,∴a7+a14=10.
∵an>0,∴a7?a14≤( )2=25.
4. 【解析】選
由 ，又 得
所以， ， ， ，
5. 【解析】選 D，設(shè)等比數(shù)列 的公比為 ，由題意，


， ，所以 ，故D正確。
6. 【解析】選A 由題意知d<0，a8=0，所以
二、填空題
7. 【解析】前 組共有偶數(shù)的個數(shù)為
故第 組共有 個偶數(shù)，且第一 個偶數(shù)是正偶數(shù)數(shù)列
的第 ，
所以第n組各數(shù)的和為
答案：
8. 【解析】依題意，得a2 009=a4×503-3=1,a2 014=a2×1 007=a1 007=a4×252-1=0.
答案：1 0
9. 【解析】∵a4=15,S5=55.
∴55= =5a3,∴a3=11.
∴公差d=a4-a3=15-11=4.
a10=a4+6d=15+24=39.
∴P(3,11),Q(10,39)
kPQ= =4.
答案：4

三、解答題
10. 【解析】方法1：
∴當n＜9時，
當 時 ，
當n＞9時， 　，
故 ，　　
∴數(shù)列 中最大項為 或 .其值為 ，其項數(shù)為9或10　

∴數(shù)列 中最大項為 或 .其值為 ，其項數(shù)為9或10　

11. 【解析】（1）在等比數(shù)列{an}中，前n項和為Sn，若am,am+2,am+1
成等差數(shù)列，則Sm,Sm+2,Sm+1成等差數(shù)列.
（2）設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q.
由題意知:2am+2=am+am+1，
即 2a1qm+1=a1qm-1+a1qm.
∵a1≠0,q≠0,∴2q2-q-1=0,


12. 【解析】（1）由 （ ）得
即 （ ）
∵
∴

（2）由條件


∵ 為等差數(shù)列 ∴
即
解得
∴ 且 ，
∴ ，
即數(shù)列 是公差為 ，首項為 的等差數(shù)列
（3）由（2）得 （ ）
∴ 【備課資源】


4.已知數(shù)列前n項和Sn=(k-2)+kan,其中n∈N*，k>1.
(1)證明：{an}是等比數(shù)列；
(2)當a1【解析】（1）Sn=(k-2)+kan,Sn+1=(k-2)+kan+1,

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